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1、2022年湖北省荆州市直荀中学高二数学理测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）A B CD参考答案：D 解析：正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设棱长是 2. 等比数列中，若、是方程的两根，则的值为( )A.2 B. C. D. 参考答案：B3. 设 则的值为 （ ） 参考答案：C略4. 已知抛物线的焦点为，是上一点，则（ ）A1 B-1或1 C.2 D-2或2参考答案：D抛物线的焦点为是C上一点, ，由抛物线定义可得：，解得=2，可得=2.故选：
2、D.5. 已知双曲线 （ ， ）的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A.(1,2B.(1,2)C. 2,+)D. (2,+) 参考答案：C已知双曲线双曲线 （ ， ）的右焦点为 ，若过点 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，离心率 ，故选C【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件6. 在极坐标系中，以点（，）为圆心，为半径的圆的方程为（ ） Aacos Basin Ccos=a Dsin=a 参考答案：B略7. 下列曲线中离心率为的是 （A
3、） （B） （C） （D）参考答案：B8. 把一个周长为12的长方形卷成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为（）A1：2B1：C2：1D2：参考答案：C【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】设圆柱高为x，即长方形的宽为x，则圆柱底面周长即长方形的长为6x，圆柱底面半径：R=，圆柱的体积V，利用导数法分析出函数取最大值时的x值，进而可得答案【解答】解：设圆柱高为x，即长方形的宽为x，则圆柱底面周长即长方形的长为=6x，圆柱底面半径：R=圆柱的体积V=R2h=（）2x=，V=，当x2或x6时，V0，函数单调递增；当2x6时，V0，函数单调递
4、减；当x6时，函数无实际意义x=2时体积最大此时底面周长=62=4，该圆柱底面周长与高的比：4：2=2：1故选：C9. 在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）A2B4C8D16参考答案：B【考点】简单线性规划【专题】数形结合；定义法；不等式【分析】先作出不等式组对应的平面区域，然后根据区域确定面积即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由得，即A（2，2），则三角形的面积S=，故选：B【点评】本题主要考查不等式组表示的平面区域，利用二元一次不等式组表示平面区域，作出不等式组对应的区域是解决本题的关键，然后根据相应的面积公式进行求解10. 在数列an中，a1=2，an+1
5、=an+ln（1+），则an=( )A2+lnnB2+（n1）lnnC2+nlnnD1+n+lnn参考答案：A考点：数列的概念及简单表示法专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：把递推式整理，先整理对数的真数，通分变成，用迭代法整理出结果，约分后选出正确选项解答：解：，=故选：A点评：数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意nN成立，因此可将其中的n换成n+1或n1等，这种办法通常称迭代或递推解答本题需了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，则的最小值是_。参考答案：12. 已知三
6、棱锥SABC的所有顶点都在球O的球 面上，SA平面ABC，ABBC且AB=BC=1，SA=，则球O的表面积是参考答案：4【考点】球的体积和表面积【分析】由三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，ABBC，可得SAAC，SBBC，则SC的中点为球心，由勾股定理解得SC，再由球的表面积公式计算即可得到【解答】解：如图，三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，SA=，ABBC且AB=BC=1，AC=，SAAC，SBBC，SC=2，球O的半径R=SC=1，球O的表面积S=4R2=4故答案为413. 在区间-1,2上随机取一个数x,则x0,1的概率为.参考答案：14.
7、 矩阵A的逆矩阵为 参考答案：15. 函数的导函数为 参考答案：略16. 已知点，是坐标原点，点的坐标满足，则的取值范围是_.参考答案：略17. 直线与直线平行，则= 参考答案：2三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知命题p：函数y=x2+mx+1在（1，+）上单调递增，命题q：对函数y=4x2+4（2m）x1，y0恒成立若pq为真，pq为假，求m的取值范围参考答案：【考点】命题的真假判断与应用；二次函数的性质【分析】求出两个命题是真命题时，m的范围，利用复合命题的真假，推出一真一假，然后求解即可【解答】解：若函数y=x2+mx+1在（1，+
8、）上单调递增，则2，m2，即p：m2 若函数y=4x2+4（2m）x10恒成立，则=16（m2）2160，解得1m3，即q：1m3 pq为真，pq为假，p、q一真一假当p真q假时，由解得：m3 当p 假q真时，由解得：1m2综上，m的取值范围是m|m3或1m219. （14分）已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点求证：（1）C1O面AB1D1；（2）A1C面AB1D1参考答案：【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 【专题】证明题【分析】（1）欲证C1O面AB1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证C1O与面AB1D1内一直线平行，连接A1C1，设A1C1B1D
9、1=O1，连接AO1，易得C1OAO1，AO1?面AB1D1，C1O?面AB1D1，满足定理所需条件；（2）欲证A1C面AB1D1，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证A1C与面AB1D1内两相交直线垂直根据线面垂直的性质可知A1CB1D1，同理可证A1CAB1，又D1B1AB1=B1，满足定理所需条件【解答】证明：（1）连接A1C1，设A1C1B1D1=O1，连接AO1，ABCDA1B1C1D1是正方体，A1ACC1是平行四边形，A1C1AC且A1C1=AC，又O1，O分别是A1C1，AC的中点，O1C1AO且O1C1=AO，AOC1O1是平行四边形，C1OAO1，AO1?面AB1D1，C
10、1O?面AB1D1，C1O面AB1D1；（2）CC1面A1B1C1D1CC1B1D!，又A1C1B1D1，B1D1面A1C1C，即A1CB1D1，A1BAB1，BCAB1，又A1BBC=B，AB1平面A1BC，又A1C?平面A1BC，A1CAB1，又D1B1AB1=B1，A1C面AB1D1【点评】本题主要考查了线面平行、线面垂直的判定定理，考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力20. 已知数列满足,().() 求,，并猜测的通项公式；(）试写出常数的一个值，使数列是等差数列；(无需证明)(）证明(）中的数列是等差数列，并求的通项公式.参考答案：（）,，通项公式为； 4分 （）； 6分
11、（）因为()，所以 ().从而数列是首项为，公差为的等差数列，即().故(). 12分21. 在中，角、对应的边分别是已知（）求角的大小；（）若的面积，求的值参考答案：解：（）由得，解得，所以 6分（）由，得，所以12分由余弦定理得又由正弦定理，略22. 本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过两点，是上的动点（1）求的最大值；（2）若平行于的直线在轴上的截距为，直线交椭圆于两个不同点，求证：直线与直线的倾斜角互补参考答案：（1）设椭圆的方程为将代入椭圆的方程，得 2分解得，所以椭圆的方程为 2分设点的坐标为，则又是上的动点，所以，得，代入上式得，故时，的最大值为 2分（2）因为直线平行于，且在轴上的截距为，又，所以直线的方程为由 得 2分设、，则又 故 2分又，所以上式分子 2分 故所以直线与直线的倾斜角互补2分略
