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1、湖南省郴州市英杰高级中学2022-2023学年高三数学理下学期摸底试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 用数学归纳法证明：“,在验证n1时，左端计算所得的项为( )A1 B C D参考答案：C2. 直线按向量平移后得到的直线与圆相切，则m的值为 A9或 B5或 C或7 D3或13参考答案：答案:A 3. 已知定义在上的函数，则 ( )A.在上，方程有5个零点 B.关于的方程（）有个不同的零点 C.当（）时，函数的图象与轴围成的面积为 D.对于实数，不等式恒成立 参考答案：D略4. 在ABC中，是边所在直线上任意一
2、点，若，则（ ） A1 B2 C3 D4参考答案：C略5. 设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，则展开式中的系数为 （ ） A-150 B150 C300 D-300参考答案：答案：B6. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点P在正视图上的对应点为P，点A，B，C在俯视图上的对应点为A，B，C，则PA与BC所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 参考答案：B【分析】由三视图知该几何体是直四棱锥，找出异面直线PA与BC所成的角，再计算所成角的余弦值【详解】由三视图知，该几何体是直四棱锥PABCD，且PD平面ABCD，如图所示；取CD的中点M，连接A
3、M、PM，则AMBC，PAM或其补角是异面直线PA与BC所成的角，PAM中，PA2，AMPM，cosPAM，又异面直线所成角为锐角即PA与BC所成角的余弦值为故选：B【点睛】本题考查了异面直线所成的角计算问题，可以根据定义法找角再求值，也可以用空间向量法计算，是基础题7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )AB64CD参考答案：D考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条棱两两垂直，长度都为4，代入棱锥体积公式，可得答案解答：解：由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且
4、由一个顶点出发的三条棱两两垂直，长度都为4，其体积V=444=，故选D点评：本小题主要考查立体几何中的三视图问题，并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查，同时考查简单几何体的体积公式8. 已知幂函数f(x)(t3t1)(tN)是偶函数，则实数t的值为()A0 B1或1C1 D0或1参考答案：B略9. 已知曲线y=x2-1在x=xo点处的切线与曲线y=l-x3 在x=xo点处的切线互相平行，则xo的值为（ ）。A0 B0或 C D0或参考答案：答案：B 10. 在ABC中，若,，则b=（ ）A3 B4 C.5 D .6参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共
5、28分11. 设是一元二次方程的两个虚根.若，则实数 参考答案：412. i为虚数单位，设复数z满足 ，则z的虚部是 参考答案：； 13. 若集合A=x|x1|2，B=x|0，则AB=参考答案：（1，2）【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合思想；集合【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可【解答】解：由A中不等式变形得：2x12，即1x3，A=（1，3），由B中不等式变形得：（x2）（x+4）0，解得：4x2，即B=（4，2），则AB=（1，2），故答案为：（1，2）【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键14. 已知函数是偶函数,则 参考
6、答案：2略15. （5分）设随机变量X服从正态分布N（1，2），且P（Xa21）=P（Xa3），则正数a=参考答案：3或2【考点】： 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【专题】： 计算题；概率与统计【分析】： 根据正态曲线关于x=1对称，得到两个概率相等的区间关于x=1对称，得到关于a的方程，解方程即可解：随机变量X服从正态分布N（1，2），且P（Xa21）=P（Xa3），a21+a3=2，a=3或2，故答案为：3或2【点评】： 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于x=1对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题16. 已知ABC的外接圆圆心为O，若（t
7、为实数）有最小值，则参数t的取值范围是.参考答案：由已知得： 原式有最小值；所以17. 如图是一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的体积为 参考答案：10+40【考点】由三视图求面积、体积 【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离【分析】几何体为半圆柱与三棱柱的组合体，分别计算他们的体积即可【解答】解：由三视图可知该几何体为半圆柱与三棱柱的组合体，半圆柱底面半径为2，高为5，三棱柱底面三角形一边长为4，该边上的高为4，三棱柱的高为5V=225+=10+40故答案为10+40【点评】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题三、
8、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知数列an，从中选取第i1项、第i2项、第im项(i1i2im)，若，则称新数列为an的长度为m的递增子列规定：数列an的任意一项都是an的长度为1的递增子列（）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（）已知数列an的长度为p的递增子列的末项的最小值为，长度为q的递增子列的末项的最小值为.若pq，求证：；（）设无穷数列an的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若an的长度为s的递增子列末项的最小值为2s1，且长度为s末项为2s1的递增子列恰有2s-1个（s=1，2，），求数列an的通项公式
9、参考答案：() 1,3,5,6.()见解析；()见解析.【分析】()由题意结合新定义的知识给出一个满足题意的递增子列即可；()利用数列的性质和递增子列的定义证明题中的结论即可；()观察所要求解数列的特征给出一个满足题意的通项公式，然后证明通项公式满足题中所有的条件即可.【详解】()满足题意的一个长度为4的递增子列为：1,3,5,6.()对于每一个长度为的递增子列，都能从其中找到若干个长度为的递增子列，此时，设所有长度为的子列的末项分别为：，所有长度为的子列的末项分别为：，则，注意到长度为的子列可能无法进一步找到长度为的子列，故，据此可得：()满足题意的一个数列的通项公式可以是，下面说明此数列满
10、足题意.很明显数列为无穷数列，且各项均为正整数，任意两项均不相等.长度为的递增子列末项的最小值为2s-1，下面用数学归纳法证明长度为s末项为2s-1的递增子列恰有个：当时命题显然成立，假设当时命题成立，即长度为k末项为2k-1的递增子列恰有个，则当时，对于时得到的每一个子列，可构造：和两个满足题意的递增子列，则长度为k+1末项为2k+1的递增子列恰有个，综上可得，数列是一个满足题意的数列的通项公式.注：当时，所有满足题意的数列为：，当时，数列对应的两个递增子列为：和.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法
11、去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.19. 已知函数的部分图象如图所示，其中点P是图象的一个最高点。() 求函数的解析式；() 已知,且，求参考答案：（1） 6分（2） 12分略20. （本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱中，AC=BC，D为AB的中点，且（I）；（II）证明：平面参考答案：21. . 已知函数的定义域为集合，关于的不等式的解集为，求使的实数的取值范围.参考答案：解：由解得 于是 所以 因为，所以， 即的取值范围是.22. （本题满分12分）.
12、某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A,B等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为km（）按下列要求写出函数关系式：设BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；设OP(km) ，将表示成的函数关系式（）请你选用（）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短参考答案：解（）由条件知PQ 垂直平分AB，若BAO=(rad) ，则, 故，又OP所以， 所求函数关系式为3分若OP=(km) ，则OQ10，所以OA =OB=所求函数关系式为6分（）选择函数模型，令0 得sin ，因为，所以=，9分当时，是的减函数；当时，是的增函数，所以当=时，。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边km处。12分
