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1、江苏省南通市如皋磨头中学2022-2023学年高一数学文上学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知数列an的首项a=1,a=a+3(n2,nN),则a=( )A. 10 B. 11 C. 9 D. 8参考答案：A略2. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为() A2 B3 C5 D7参考答案：B3. 对于向量,定义为向量的向量积，其运算结果为一个向量，且规定的模(其中为向量与的夹角)，的方向与向量的方向都垂直，且使得,依次构成右手系如图所示，在平行六面体中，,则()( )A4 B8 C2 D
2、4参考答案：D4. 已知函数，则的值是（ ）A. 2B. 1C. 0D. 2参考答案：B【分析】由分段函数的解析式，结合分段条件，代入即可求解.【详解】由题意，函数，可得.故选：B.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中熟练应用分段函数的解析式，结合分段条件，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5. 若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y=0和x轴相切，则该圆的标准方程是（）AB（x2）2+（y1）2=1C（x1）2+（y3）2=1D参考答案：B【考点】圆的标准方程【分析】设圆心，然后圆心到直线的距离等于半径可解本题【解答】解：设圆心为（a，1
3、），由已知得，故选B6. 将直线y=2x绕原点逆时针旋转90，再向右平移1个单位，所得到的直线为（）ABCy=2x2D参考答案：A【考点】函数的图象【分析】根据两条垂直的直线斜率积为1，结合函数图象的平移变换法则，可得变换后直线对应的解析式【解答】解：将直线y=2x绕原点逆时针旋转90，可得：直线y=x的图象，再向右平移1个单位，可得：y=（x1），即的图象，故选：A【点评】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握函数图象的旋转变换法则及平移变换法则，是解答的关键7. 已知函数f(x)满足，则函数f(x)的图象不可能发生的情形是（ ）A B C D参考答案：C将选项C第三象限的图像向右平移一个单
4、位再作关于 轴对称所得的图像不与第一象限的原图像重合，反之其它选项的图像可以，故C错误，应选C.8. 设A、B是非空数集，定义，已知集合，则A、 B、 C、 D、参考答案：B略9. 在中，则一定是（）A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形D.等边三角形参考答案：B10. 已知ABCD为正四面体，则其侧面与底面所成角的余弦值为（）ABC2D参考答案：A【考点】MT：二面角的平面角及求法【分析】由已知中正四面体的所有面都是等边三角形，取CD的中点E，连接AE，BE，由等腰三角形“三线合一”的性质，易得AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角，解三角形ABE即可得到正四面体侧面与底面所成二
5、面角的余弦值【解答】解：不妨设正四面体为ABCD，取CD的中点E，连接AE，BE，设四面体的棱长为2，则AE=BE=且AECD，BECD，则AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角在ABE中，cosAEB=，故正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值是故选A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数的图象恒过定点P,则P点的坐标是 .参考答案：略12. 在中，已知，则 . 参考答案： 13. 如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此试验数据为依据可以估算出椭圆的面积约为 *参考答案：16.32略14. 函数的定义域是，值域是，
6、则的取值范围是 参考答案： 15. 若f（x）=x（|x|2）在区间2，m上的最大值为1，则实数m的取值范围是参考答案：1， +1【考点】函数的最值及其几何意义【分析】作函数f（x）=x（|x|2）的图象，由图象知当f（x）=1时，x=1或x=+1；从而由图象求解【解答】解：作函数f（x）=x（|x|2）的图象如下，当f（x）=1时，x=1或x=+1；故由图象可知，实数m的取值范围是1， +1故答案为：1， +116. 若集合是单元素集，则 。参考答案：略17. 已知函数 那么不等式的解集为 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （14
7、分）如图，已知圆O：x2+y2=64分别与x轴、y轴的正半轴交于点A、B，直线l：y=kxk+2分别于x轴、y轴的正半轴交于点N、M（）求证：直线l恒过定点，并求出定点P的坐标；（）求证：直线l与圆O恒有两个不同的交点；（）求当M、N恒在圆O内部时，试求四边形ABMN面积S的最大值及此时直线l的方程参考答案：考点：直线与圆相交的性质 专题：综合题；直线与圆分析：（）直线l：y=kxk+2，变形为y2=k（x1），利用点斜式，可得直线l恒过定点P（1，2）；（）证明|OP|=8，可得P在圆O内，即可证明直线l与圆O恒有两个不同的交点；（）由M、N恒在圆O内部，可得6kSABMN=（2k）（1）=
8、30+（k+），利用6k2，函数单调递增，2k函数单调递减，即可求四边形ABMN面积S的最大值及此时直线l的方程解答：（）证明：直线l：y=kxk+2，变形为y2=k（x1），由题意x=1且y=2，所以直线l恒过定点P（1，2）；（）证明：圆O：x2+y2=64的圆心为（0，0），半径为8，因为|OP|=8，所以P在圆O内，所以直线l与圆O恒有两个不同的交点；（）由题意，A（8，0），B（0，8），M（0，2k），N（1，0），因为M、N恒在圆O内部，所以6k所以SABMN=（2k）（1）=30+（k+），因为6k2，函数单调递增，2k函数单调递减，所以k=2时，四边形ABMN面积S的最大值为
9、28，此时直线l的方程为2x+y4=0点评：本题考查直线与圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19. 设.（1）先将函数经过适当的变换化成，（其中，m为常数）的形式，再写出振幅、初相和最小正周期T；（2）求函数在区间内的最大值并指出取得最大值时x的值.参考答案：解：（）= = = 由此可得， (),由于，所以当，即时，函数. 20. （本小题满分10分）某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表商店名称ABCDEE销售额x(千万元)35799利润额y(百万元)23345(1) 画出散点图观察散点图，说明两个变量有怎样的相关性。(2) 用最小二
10、乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程(3) 当销售额为4(千万元)时，估计利润额的大小.参考答案：解：（1）略3分（五个点中，有错的，不能得2分，有两个或两个以上对的，至少得1分）两个变量符合正相关 4分 （2）设回归直线的方程是：， 5分 7分y对销售额x的回归直线方程为： 8分（3）当销售额为4(千万元)时，利润额为：2.4(百万元) 10分略21. （本小题满分13分）营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供75g碳水化合物，60g的蛋白质，60g的脂肪.1000g食物A含有105g碳水化合物，70g蛋白质，140g脂肪，花费28元；而1000g食物B含有105g碳水化合物，14
11、0g蛋白质，70g脂肪，花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少g？花费多少钱？参考答案：设每天食用kg食物A，kg食物B，总成本为.那么目标函数为二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域.考虑，将它变形为，这是斜率为、随变化的一族平行直线.是直线在轴上的截距，当取最小值时，的值最小.当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数取得最小值.由3.311可见，当直线经过可行域上的点时，截距最小，即最小.解方程组得的坐标为所以答：每天食用食物A约143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最
12、低成本为16元.略22. 已知函数f（x）=x2+bx+c，其中b，cR（1）当f（x）的图象关于直线x=1对称时，b=_；（2）如果f（x）在区间-1，1不是单调函数，证明：对任意xR，都有f（x）c-1；（3）如果f（x）在区间（0，1）上有两个不同的零点求c2+（1+b）c的取值范围参考答案：（1）2 （2）证明见解析 （3）（0，）【分析】(1)求得f(x)的对称轴，由题意可得b的方程，解方程可得b；(2)由题意可得-1-1，即-2b2，运用f(x)的最小值，结合不等式的性质，即可得证；(3)f(x)在区间(0，1)上有两个不同的零点，设为r，s，(rs)，r，s(，1)，可设f(x)
13、=(x-r)(x-s)，将c2+(1+b)c写为f(0)f(1)，再改为r，s的式子，运用基本不等式即可得到所求范围【详解】(1)函数f(x)=x2+bx+c的对称轴为x=-，由f(x)的图象关于直线x=1对称，可得-=1，解得b=-2，故答案为：-2(2)证明：由f(x)在-1，1上不单调，可得-1-1，即-2b2，对任意的xR，f(x)f(-)=-+c=c-，由-2b2，可得f(x)c-c-1；(3)f(x)在区间(0，1)上有两个不同的零点，设为r，s，(rs)，r，s(0，1)，可设f(x)=(x-r)(x-s)，由c2+(1+b)c=c(1+b+c)=f(0)f(1)=rs(1-r)(1-s)，且0rs(1-r)(1-s)2?2
