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1、浙江省宁波市余姚老中学2022-2023学年高三数学理摸底试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知三棱锥PABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB=2，PA=PB=PC=2，则该三棱锥的外接球的表面积为 （ ） A B C D参考答案：B略2. 命题“存在，”的否定是（ ）A不存， B存在， C对任意， D对任意的，参考答案：D对于含特称量词的命题的否定，需将特称量词改为全称量词，同时否定命题的结论因此命题“存在，”的否定是：“对于任意的，”故选3. 函数的零点个数为( ) 1 2 3 4 参考答案：
2、B略4. 某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发，沿北偏东60方向进行海面巡逻，当航行半小时到达B处时，发现北偏西45方向有一艘船C，若船C位于A的北偏东30方向上，则缉私艇所在的B处与船C的距离是()A、5() B、5() C、10() D、10() 参考答案：C由题意，知BAC603030，ABC304575，ACB180753075，ACAB4020(km)由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC20220222020cos30800400400(2)，BC10 (1)10()(km)5. 设，是两条不同的直线，是两个不同平面，给出下列条件，其中能够推出
3、的是 A. ， B. ，C. ， D.，参考答案：B由，可推出与平行、相交或异面，由可推出.故选B6. 如图，己知函数f(x)的图像关于坐标原点O对称，则函数f(x)的解析式可能是（ ）A. B. C. D. 参考答案：D【分析】抓住奇函数的判定性质，代入，即可。【详解】根据关于原点对称可知该函数为奇函数,对于A选项,为偶函数,不符合;对于B选项定义域不对;对于C选项当x0的时候，恒成立不符合该函数图像，故错误；对于D选项，符合判定，故选D。【点睛】考查了奇函数的判定性质，关键抓住，即可，难度中等。7. 已知全集U=R，集合P=x|x21，那么?UP=（）A（，1B1，+）C1，1D（，1）（
4、1，+）参考答案：D【考点】补集及其运算【专题】集合【分析】先求出集合P中的不等式的解集，然后由全集U=R，根据补集的定义可知，在全集R中不属于集合P的元素构成的集合为集合A的补集，求出集合P的补集即可【解答】解：由集合P中的不等式x21，解得1x1，所以集合P=1，1，由全集U=R，得到CUP=（，1）（1，+）故选D【点评】此题属于以不等式的解集为平台，考查了补集的运算，是一道基础题8. 设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（A）2 （B）-2 （C）-（D）参考答案：A 本题主要考查复数的乘法运算和复数的概念，难度较小。法一：为纯虚数，所以；法二：为纯虚数，所以.故选A。9. 若满足
5、则下列不等式恒成立的是（A） （B） （C） （D）参考答案：D10. 求曲线与所围成图形的面积，其中正确的是 （ ） A B C D 参考答案：B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 下列各小题中，是的充分必要条件的是_或有两个不同的零点；是偶函数；参考答案： 不成立, 故不合题意；当成立；取， ，,故命题不成立, 不符合题意；当成立, 符合题意, 故正确的有,故答案为.考点：1、函数的零点及函数的奇偶性；2、三角函数的性质及集合的性质.12. 四进制数 123（4）化为十进制数为参考答案：27考点：进位制专题：计算题；算法和程序框图分析：利用累加权重法，即可将四进制数
6、转化为十进制，从而得解解答：解：由题意，123（4）=142+241+340=27，故答案为：27点评：本题考查四进制与十进制之间的转化，熟练掌握四进制与十进制之间的转化法则是解题的关键，属于基本知识的考查13. 已知数列an的前n项和为Sn，满足：a22a1，且Sn+1（n2），则数列an的通项公式为_参考答案：【分析】推导出a11，a2212，当n2时，anSnSn1，即，由此利用累乘法能求出数列an的通项公式【详解】数列an的前n项和为Sn，满足：a22a1，且Sn1（n2），a2S2S1a2+1a1，解得a11，a2212，解得a34，解得a46，当n2时，anSnSn1，即，n2时，
7、22n2，数列an的通项公式为故答案为：【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的通项公式与前n项和公式的关系，考查运算求解能力，分类讨论是本题的易错点，是基础题14. 已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m（），n（cosA,sinA）.若mn，且acosB+bcosA=csinC，则角B_ _参考答案：略15. 已知椭圆与直线，过椭圆上一点作的平行线，分别交于两点，若为定值，则 参考答案：416. 在ABC中，B(10，0)，直线BC与圆：x2(y5)225相切，切点为线段BC的中点若ABC的重心恰好为圆的圆心，则点A的坐标为 参考答案：【答案解析】(0，15) 或
8、 (8，1)解析：由已知得过点B与圆相切的切线长为10，则以B为圆心，切线长为半径的圆的方程为与已知圆的方程联立 解得切点坐标为（0,0）或（4,8），所以C点坐标为（10,0）或（2,16），又已知圆心坐标为（0,5）设A点坐标为(x,y)，利用三角形重心坐标公式得A点坐标为(0，15) 或 (8，1).【思路点拨】本题的关键是先求切点坐标，可转化为两圆的交点问题，联立方程求切点坐标.17. 某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入10，则输出的S为 参考答案：1033三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分）已知椭圆的离心率为
9、，是它的一个顶点，过点P作圆的切线PT，T为切点，且.(1)求椭圆C1及圆C2的方程；(2)过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，其中l1与椭圆的另一交点为D，l2与圆交于A，B两点，求ABD面积的最大值.参考答案：解：（1）由a=2，e=，得c=,所以b=，故所求椭圆方程为.由已知有r=,圆C2的方程为C2：x2+y2=2.(4分)（2）设直线l1方程为y=k（x+2），由得（1+2k2）x2+8k2x+8k2-4=0，所以xP+xD=，又xD=，所以=.直线l2的方程为即x+ky+2=0，所以=，当且仅当，k=时取等号，因此ABD的面积的最大值为.(12分)19. (12分) 已知函数 (
10、1)若,求以为切点的曲线的切线方程；(2)若函数恒成立，确定实数K的取值范围参考答案：略20. 某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布（单位：g）.（）求正常情况下，任意抽取一包白糖，485g的概率约为多少？（）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485g，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由.附：，则，.参考答案：（）0.0013 （）见解析【分析】（）由正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布（单位：），要求得正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于的概率，化为的形式，然后求解即可;（）由
11、（）可知正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于的概率为0.0013，可求得随机抽取两包检查，质量都小于的概率几乎为零，即可判定检测员的判断是合理的。【详解】解：（）设正常情况下，该生产线上包装出来白糖质量为，由题意可知。由于，所以根据正态分布的对称性与“原则”可知.()检测员的判断是合理的. 因为如果生产线不出现异常的话，由（）可知，随机抽取两包检查，质量都小于的概率约为，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的.【点睛】本题主要考查了正态分布中 原则，考查基本分析应用的能力，属于基础题。21. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，.（）证明：直线AC平面PBD；（）若=1，求四棱锥P-ABCD的体积.参考答案：（）连接交与 -1分， -3分, -4分直线平面 -5分（）由（）得-6分 -7分 -8分 -9分 -10分 -11分 -12分22. 设单调递增的等比数列an的前项和为Sn，已知（1）求数列an的通项公式（2）若，求数列的前n项和Tn参考答案：
