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1、安徽省淮南市洞山中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)=x?ex,且,则的最大值为()A1BC1D0参考答案:A【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;函数的最值及其几何意义【分析】先构造函数,F(x)=,根据题意求出f(x)的解析式,即可得到=,再根据基本不等式即可求出最大值【解答】解:令F(x)=,则F(x)=x,则F(x)=x2+c,f(x)=ex(x2+c),f(0)=,c=,f(x)=ex(x2+),=,x0,
2、=1,的最大值为1,故选:A【点评】本题考查了导数和函数的关系以及函数的值域问题,关键是构造函数和利用基本不等式求函数的值域,属于中档题2. 设,则下列不等式中正确的是 A B C D参考答案:B本题考查了不等式的性质、均值不等式,考查了学生灵活运用知识解题的能力。 解法1:利用均值不等式与作差法比较。 解法2:特例法,令,则B满足。3. 若为等差数列,是其前项和,且,则的值为( )A.B.C. D.参考答案:B4. 已知正方体,过顶点作平面,使得直线和与平面所成的角都为,这样的平面可以有( )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个参考答案:B5. 若,其中则( )A. B. C. D.参考答
3、案:C略6. 九章算术勾股章有一“引葭赴岸”问题:“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐问水深、葭长各几何”其意思是:有一水池一丈见方,水池正中央有一颗类似芦苇的植物,露出水面一尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐(如图所示)问谁有多深,该植物有多长?其中一丈为十尺,若从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率为( )A B C. D参考答案:B7. 如图所示,长方体中,面对角线上存在一点使得最短,则的最小值为( )A B C D2参考答案:A8. 对于直线m,n和平面. 则(1)若 (2)若(3)若 (4)若. 其中真命题的个数是A.1 B.2 C.3 D.4参考答案:A略9.
4、函数的零点所在的一个区间是( ) A(2,1) B(1,0)C(0,1)D(1,2)参考答案:C略10. 设集合,则( )A B C D参考答案:D略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知数列的前项和为,且当时是与的等差中项,则数列的通项参考答案:12. 已知定义在R上的偶函数f(x)满足?x1,x20,+),都有(x1x2)f(x1)f(x2)0,则的大小关系是参考答案:【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】先由(x1x2)f(x1)f(x2)0,得到其为增函数,再结合其为偶函数即可得到结论【解答】解:因为(x1x2)f(x1)f(x2)0,所以:f(x)在0,+)上递
5、增,又因为f(x)是偶函数,所以:f(2)=f(2)f()f(1)f(2)=f(2)故答案为:f()f(1)f(2)13. 设等差数列的前项和为,若,则=_ .参考答案:24【考点】等差数列【试题解析】等差数列中,所以所以14. 设函数是定义在上的奇函数,且满足对一切都成立,又当时,则下列四个命题:函数是以4为周期的周期函数;当时,;函数图像的一条对称轴的方程为;当时,;其中正确的命题为_(填序号即可).参考答案:解析:(1)是定义在上的奇函数,又对一切都成立 的周期为,故正确;(2)对一切都成立,又当时,当时,从而正确;(3)当时,又当时, 当时,有,于是在有对称轴,又区间长为一个周期,函数
6、图像的一条对称轴的方程为成立,故正确;(4)的周期为当时,于是故不正确; 综上知成立;15. 已知=(,),=(2cos,2sin),与的夹角为60,则|2|=参考答案:【考点】9R:平面向量数量积的运算【分析】运用向量的模的公式,求出|,|,再由向量数量积的定义可得?,运用向量的模的平方即为向量的平方,计算即可得到所求值【解答】解: =(,),=(2cos,2sin),与的夹角为60,可得|=1,|=2,?=|?|?cos60=12=1,则|2|=故答案为:16. 已知an是首项为1的等比数列,Sn是an的前n项和,且9S3=S6,则数列的前5项和为 参考答案:【考点】数列的求和【分析】利用
7、等比数列求和公式代入9s3=s6求得q,根据首项为1写出等比数列an的通项公式,从而确定出数列也为等比数列,进而根据等比数列求和公式求得数列的前5项和【解答】解:显然q1,所以,所以是首项为1,公比为的等比数列,则前5项和为:故答案为:17. 若圆x2+y2x+my4=0关于直线xy=0对称,动点P(a,b)在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动,则的取值范围是参考答案:(,22,+)【考点】简单线性规划【分析】由已知列式求得m值,代入约束条件,作出可行域,结合的几何意义,即区域OAB内点P(a,b)与点Q(1,2)连线的斜率求解【解答】解:圆x2+y2x+my4=0关于直线xy=0对称,圆
8、心在直在线xy=0上,则,约束条件表示的平面区域如图:表示区域OAB内点P(a,b)与点Q(1,2)连线的斜率,的取值范围是(,22,+)故答案为:(,22,+)【点评】本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法,是中档题三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 设和是函数的两个极值点,其中.(1)求的取值范围;(2)若,求的最大值(注:是自然对数的底数).参考答案:()解:函数的定义域为,. 依题意,方程有两个不等的正根,(其中).故 , 并且 . 所以, 故的取值范围是 ()解当时, .若设,则 . 于是有 构造函数(其
9、中),则. 所以在上单调递减,. 故得最大值为 略19. 已知数列的前n项和为且 .(1)求证为等比数列,并求出数列的通项公式;(2)设数列的前n项和为,是否存在正整数,对任意若存在,求出的最小值,若不存在,请说明理由。参考答案:1.证明 2分作差得为首项为1,公比为2等比数列 4分 6分2代入得 8分 10分,13分存在正整数,对任意 15分20. 在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC、平面ACC1A1、平面BCC1B1两两垂直. ()求证:CA,CB,CC1两两垂直; ()若,求三棱锥B1-A1BC的体积.参考答案:()见证明;()【分析】()通过辅助线以及根据面面垂直的性质定理可证
10、中任意一条直线垂直于另外两条直线构成的平面,即垂直于另外两条直线;()采用替换顶点的方式计算体积,计算出高和底面积即可计算体积.【详解】()证明:在内取一点,作,因为平面平面,其交线为,所以平面,同理,所以平面,同理,故两两垂直. ()由()可知,三棱锥的高为,所以三棱锥的体积为.【点睛】(1)面面垂直的性质定理:两个平面垂直,一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直;(2)计算棱锥的体积时,有时候可考虑采用替换顶点的方式去简化计算.a21. 已知函数.(1)若在时取得极值,求的值;(2)求的单调区间;w.w.w.zxxk.c.o.m (3)求证:当时,参考答案:解:(1),是一个极值点,3分此时.的定义域是,当时,;当时,. 当时,是的极小值点, 5分(2) 又的定义域是,当时,的单调递增区间为. 7分当时,令有,函数的单调递增区间为;令有,函数的单调递减区间为.10分(3)设,当时,在上是增函数, 13分,当时, 15分 略22. (本小题满分12分)已知函数(1)求的最小正周期和值域;(2)在中,角所对的边分别是,若且,试判断 的形状.参考答案:解: .3分 4分 所以,5分 6分由,有, 所以 7分因为,所以,即. 8分由余弦定理及,所以.10分所以 所以.11分所以为等边三角形. 12分