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1、河北省张家口市白旗乡中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，均为单位向量，若，则向量与的夹角为（ ）A. B. C. D. 参考答案：B【分析】根据向量的模定义与向量数量积化简式子，并可求得向量与夹角的余弦值，进而求得的值。【详解】由得即设单位向量与的夹角为则有解得又所以故选B.【点睛】本题考查了向量的模和数量积的简单应用，属于基础题。2. 已知变量满足的值范围是 （ ） 参考答案：【知识点】线性规划 E5画出约束条件所表示的平面区域可知，该区域是由点所围成的三角形区域
2、（包括边界），记点，得，所以的取值范围是.故选择.【思路点拨】画出约束条件所表示的平面区域可知为三角形，目标函数可化为：，表示为可行域的点与点连线的斜率的范围加3求得.3. 函数sinx在区间0，2上的零点个数为（）A 1个B2个C3个D4个参考答案：考点：函数零点的判定定理专题：数形结合分析：解：令f（x）=0，则x=sinx，原问题在区间0，2上的零点个数就转化为两个函数y=x和y=sinx的交点问题，分别画出它们的图象，由图知交点个数解答：解：令f（x）=0，则x=sinx，上的零点个数就转化为两个函数y=x和y=sinx的交点问题，分别画出它们的图象：由图知交点个数是2故选B点评：利用
3、函数的图象可以加强直观性，同时也便于问题的理解本题先由已知条件转化为确定f（x）的解析式，再利用数形结合的方法判断方程根的个数4. 棱长为2的正方体被一个平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（ ）A14 B4 C D3参考答案：几何体如图，体积为：，故选B5. 函数f（x）=asin（2x+）+bcos2x（a、b不全为零）的最小正周期为（）ABC2D4参考答案：B【考点】三角函数的周期性及其求法【分析】根据正弦、余弦型函数的周期T=，直接求出f（x）的最小正周期即可【解答】解：函数f（x）=asin（2x+）+bcos2x=asin2x+acos2x+bc
4、os2x=asin2x+（a+b）cos2x=sin（2x+），其中tan=；f（x）的最小正周期为T=故选：B【点评】本题考查了正弦、余弦型函数的最小正周期问题，是基础题6. 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为，焦距为，则椭圆的方程为（ ）A BC或 D以上都不对参考答案：C7. 已知函数f（x）=x2ex，当x1，1时，不等式f（x）m恒成立，则实数m的取值范围为（）A，+）B（，+）Ce，+）D（e，+）参考答案：D【考点】函数恒成立问题【分析】先求出函数的导数，通过解关于导函数的不等式，先求出f（x）在1，1上的单调性，从而求出函数的最大值和最小值【解答】解：（1）f（x）=
5、x（x+2）ex，令f（x）0，解得：x2或x0，令f（x）0，解得：2x0，x1，1，当1x0时，函数f（x）为减函数，当0x1时，函数f（x）为增函数，则当x=0时，函数取得极小值f（0）=0，f（1）=e，f（1）=，函数f（x）在1，1上的最大值为e，当x1，1时，不等式f（x）m恒成立，me，故选：D8. 若A为不等式组表示的平面区域，则当a从2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为（）AB1CD2参考答案：C【考点】简单线性规划的应用【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再分析当a从2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区
6、域的形状，然后代入相应的公式，求出区域的面积【解答】解析：作出可行域，如图，则直线扫过的面积为故选C9. 集合A1,0,4，集合Bx|x22x30，xN，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是() A4 B4，1C4,5 D1,0参考答案：B10. 已知向量，且，则与的夹角是A B C D或参考答案：D略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 二次函数满足，且有两个实根、，等于 .参考答案：6【分析】由二次函数y=f(x)满足f(3+x)=f(3-x)，得到二次函数的对称轴为x=3，则两个实数根的和为2x，从而求得结果.【详解】二次函数y=f(x)满足f(3+x)=f(3-x)
7、，二次函数y=f(x)的对称轴为x=3，二次函数f(x)与x轴的两个交点关于x=3对称，即两个交点的中点为3.根据中点坐标公式得到f(x)=0的两个实数根之和为.故本题答案为6.【点睛】本题是一道有关二次函数对称性质的题目，根据得到函数的对称轴是解题的关键，属基础题.12. =_参考答案：略13. 已知集合，若对于任意，都存在，使得成立，则称集合M是“垂直对点集”给出下列四个集合：； ； 其中是“垂直对点集”的序号是 参考答案：考点：1.集合的概念；2.新定义问题；3.函数的图象和性质.14. 定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2ak
8、中0的个数不少于1的个数若m=4，则不同的“规范01数列”共有个参考答案：14【考点】排列、组合的实际应用【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1
9、； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1共14个故答案为14【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题15. 已知函数f(x)=sinx+5x,x(-1,1),如果f(1-a)+f(1-a2)0,则a的取值范围是_.参考答案：1a 16. 已知函数那么的值为 参考答案：17. 曲线与在交点处的切线的夹角大小为 参考答案：略
10、三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分 13 分）设实数，整数，.（I）证明：当且时，；（）数列满足，证明：参考答案：（）证：用数学归纳法证明当时，原不等式成立假设时，不等式成立，当时， 所以时，原不等式也成立综合可得，当时，对一切整数，不等式均成立（）证法1：先用数学归纳法证明当时，由题设知成立假设（）时，不等式成立由易知，当时，由得由（）中的结论得，因此，即.所以时，不等式也成立综合、可得，对一切正整数，不等式均成立再由可得，即综上所述，证法2：设，则，并且由此可得，在)上单调递增，因而，当时，当时，由，即可知，并且，从而故当时，
11、不等式成立假设（）时，不等式成立，则当时，即有所以，时，原不等式也成立综合可得，对一切正整数，不等式均成立19. （本小题满分12分） 已知函数（）求的最小正周期；（）记得内角的对应边为，若求的值参考答案：解：（）已知函数2分，2分所以的最小正周期为；2分（）中，1分即，所以2分由余弦定理得：2分经检验均合适. 1分20. 如图，四边形ABCD中（图1），E是BC的中点，DB=2，DC=1，BC=，AB=AD=，将（图1）沿直线BD折起，使二面角ABDC为60（如图2）（1）求证：AE平面BDC；（2）求直线AE与平面ADC所成角的正弦值参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判
12、定【分析】（1）先根据条件得到BD平面AEM；进而通过求边长得到AEME；即可得到结论；（2）先建立空间直角坐标系，求出平面ADC的法向量的坐标，再代入向量的夹角计算公式即可【解答】（1）证明：如图1取BD中点M，连接AM，MEAB=AD=，AMBDDB=2，DC=1，BC=，DB2+DC2=BC2，BCD是BC为斜边的直角三角形，BDDC，E是BC的中点，ME为BCD的中位线MECD，ME=CD，MEBD，ME=，AME是二面角ABDC的平面角，AME=60AMBD，MEBD且AM、ME是平面AME内两相交于M的直线，BD平面AEMAE?平面AEM，BDAEAB=AD=，DB=2，ABD为等腰直角三角形，AM=BD=1，AAE2=AM2+ME22AM?ME?cosAME=，AE=，AE2+ME2=1=AM2，AEME=M，BDME，BD?平面BDC，ME?面BDC，AE平面BDC （2）解：如图2，以M为原点MB为x轴，ME为y轴，建立空间直角坐标系Mxyz，则由（1）及已知条件可知B（1，0，0），E（0，0），A（0，），D（1，0，0），C（1，1，0），=（1，），=（0，1，0），=（0，0，），设平面ACD的法向量为=（x，y，z）则，=（，0，2），设直线AE与平
