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1、山西省晋中市寺坪中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 等比数列an的前n项和为Sn，已知，则（ ）A B C14 D15参考答案：D由，得，即，又为等比数列，所以公比，又，所以.故选D.2. 在ABC中，A=60，AC=3，面积为，那么BC的长度为（）AB3C2D参考答案：A【考点】三角形中的几何计算【分析】根据三角形的面积公式求得丨AB丨，cosA=，sinA=，求得丨AD丨，丨BD丨在BDC中利用勾股定理即可求得BC的长度【解答】解：在图形中，过B作BDACSABC=丨AB丨?丨AC丨
2、sinA，即丨AB丨3sin60=，解得：丨AB丨=2，cosA=，丨AD丨=丨AB丨cosA=2=1，sinA=，则丨BD丨=丨AB丨sinA=2=，丨CD丨=丨AC丨丨AD丨=31=2，在BDC中利用勾股定理得：丨BC丨2=丨BD丨2+丨CD丨2=7，则丨BC丨=，故选A3. 曲线yx33x2在点处的切线方程为()Ay3x1 By3x5 Cy3x5 Dy2x参考答案：A略4. 对任意实数x,不等式恒成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 参考答案：答案：C5. 把函数yf(x)的图象向左、向下分别平移2个单位长度得到函数y2x的图象，则()Af(x)2x+22 Bf(x)2x+2
3、2Cf(x)2x22 Df(x)2x22参考答案：C略6. 对于直线m，n和平面. 则（1）若 （2）若（3）若 （4）若. 其中真命题的个数是A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：A略7. 已知实数x，y满足，则目标函数z=xy的最小值为（）A2B5C6D7参考答案：A【考点】简单线性规划【分析】先画出约束条件的可行域，再将可行域中各个角点的值依次代入目标函数z=xy，不难求出目标函数z=xy的最小值【解答】解：如图作出阴影部分即为满足约束条件的可行域，由得A（3，5），当直线z=xy平移到点A时，直线z=xy在y轴上的截距最大，即z取最小值，即当x=3，y=5时，z=xy取最小值为2故选
4、A8. 定义在R上的函数满足：，则不等式 的解集为（ ）A. (0,+)B. (,0)(3,+ )C. (,0)(0,+)D. (3,+ )参考答案：A【分析】由变形得，构造函数，利用导数得其单调性，即可得到不等式的解集。【详解】由变形得，设，所以原不等式等价于，因为，所以在定义域 上递增，由，得，故选A。【点睛】本题主要考查构造函数，利用导数判断其单调性，用单调性定义解不等式，意在考查学生的数学建模能力。9. 在函数的图象上有点列，若数列是等差数列，数列是等比数列，则函数的解析式可以为() A. BC D参考答案：D10. 已知集合，则AB=（ ）A.2,3B. 2,0C. 0,3D. 3,
5、3 参考答案：A【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合，再利用并集的定义求解即可.【详解】,故选A.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在平面直角坐标系中，点，若圆上存在一点满足，则实数的取值范围是_参考答案：设满足的点的坐标为，由题意有： ，整理可得： ，即所有满足题意的点组成的轨迹方程是一个圆，原问题转化为圆与圆有交点，据此可得关于实数的不等式组：，解得： ，综上可得：实数的取值范围是.12. 若，则的
6、取值范围是_参考答案：13. 已知函数f（x）=ax3+bx+1，若f（a）=8，则f（a）=参考答案：6【考点】3L：函数奇偶性的性质【分析】本题利用函数的奇偶性，得到函数解析式f（x）与f（x）的关系，从面通过f（a）的值求出f（a）的值，得到本题结论【解答】解：函数f（x）=ax3+bx+1，f（x）=a（x）3+b（x）+1=ax3bx+1，f（x）+f（x）=2，f（a）+f（a）=2f（a）=8，f（a）=6故答案为614. 函数y=的定义域是参考答案：x|x2且x3考点： 函数的定义域及其求法专题： 函数的性质及应用分析： 由分式的分母不等于0，对数的真数大于0联立不等式组求解x
7、的取值集合得答案解答： 解：由，解得：x2且x3函数y=的定义域是x|x2且x3故答案为：x|x2且x3点评： 本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的计算题15. 已知为正实数且若恒成立，则范围是参考答案： 16. 已知正三棱柱底面边长是2，外接球的表面积是，则该三棱柱的侧棱长 参考答案：该三棱柱外接球的表面积是，该球的半径R=2,又正三棱柱底面边长是2，底面三角形的外接圆半径，该三棱柱的侧棱长是.17. 如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为 参考答案：【考点】BA：茎叶图【分析】根据茎叶图中的数据求出甲、
8、乙二人的平均数，再根据方差的定义得出乙的方差较小，求出乙的方差即可【解答】解：根据茎叶图中的数据，计算甲的平均数为=（7+7+9+14+18）=11，乙的平均数为=（8+9+10+13+15）=11；根据茎叶图中的数据知乙的成绩波动性小，较为稳定（方差较小），计算乙成绩的方差为：s2=（811）2+（911）2+（1011）2+（1311）2+（1511）2=故答案为：【点评】本题考查了茎叶图、平均数与方差的应用问题，是基础题三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 设全集，集合，集合()求集合与； ()求、参考答案：()，不等式的解为，()由()可
9、知，19. （12分）（2013?福建）已知函数f（x）=xalnx（aR）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1）处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值 【专题】导数的综合应用【分析】（1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a0时，f（x）0，函数在定义域（0，+）上单调递增，函数无极值，当a0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值【解答】解：函数f（x）的定义域
10、为（0，+），（1）当a=2时，f（x）=x2lnx，因而f（1）=1，f（1）=1，所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1）处的切线方程为y1=（x1），即x+y2=0（2）由，x0知：当a0时，f（x）0，函数f（x）为（0，+）上的增函数，函数f（x）无极值；当a0时，由f（x）=0，解得x=a又当x（0，a）时，f（x）0，当x（a，+）时，f（x）0从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=aalna，无极大值综上，当a0时，函数f（x）无极值；当a0时，函数f（x）在x=a处取得极小值aalna，无极大值【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利
11、用导数研究函数的极值，考查了分类讨论得数学思想，属中档题20. 在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（为参数，）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的方程为（1）求直线l的直角坐标方程；（2）若P为曲线C上一点，Q为l上一点，求|PQ|的最小值参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）直线l的方程转化为+=4，由此能求出直线l的直角坐标方程（2）点P（8tan2，8tan）到直线l的距离d=4（tan）2+3，由此能求出当tan=时，|PQ|取得最小值【解答】解：（1）直线l的方程为即+=4，直线l的直角坐标方程为，即x+y+8=0（2）
12、曲线C的参数方程为（为参数，）P为曲线C上一点，Q为l上一点，点P（8tan2，8tan）到直线l的距离：d=4|（tan+）2+|=4（tan）2+3，当tan=时，|PQ|取得最小值321. 如图，四边形ABCD为菱形，ACFE为平行四边形，且面ACFE面ABCD，AB=BD=2，AE=，设BD与AC相交于点G，H为FG的中点（）证明：CH面BFD；（）若CH=，求EF与面EDB所成角的大小参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定 【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（）首先根据已知条件利用菱形的性质求出垂直的关系，进一步利用面面垂直得到线线垂直，最后利用线面垂直的
13、判定求出结论（）利用上步的结论，先确定线面的夹角，进一步求出角的大小【解答】（）证明：四边形ABCD为菱形所以：BDAC又面ACEF面ABCD所以：BD平面ACFE所以：BDCH即：CHBD又H为FG的中点，CG=CF=所以：CHFG所以：CH面BFD（）连接EG，由（）知BD平面ACFE所以：面EFG面BED所以：EF与平面EDB所成的角即为FEG在FCG中，CG=CF=，CH=，CHGF所以GCF=120，GF=3所以EG=，又因为EF=2所以在EFG中，可求得FEG=60【点评】本题考查的知识要点：线面垂直的判定，线面的夹角的应用属于基础题型22. 已知抛物线与双曲线有公共焦点，点是曲线在第一象限的交点，且( I )求双曲线的方程；( II )以双曲线的另一焦点为圆心的圆与直线相切，圆：过点作互相垂直且分别与圆、圆相交的直线和，设被圆截得的弦长为，被圆截得的弦长为，问：是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由参考答案：略
