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1、广东省汕头市金砂中学高三数学理月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是( )A. B. C. D. 参考答案：C【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，故底面外接圆半径r=，由主视图中棱锥的高h=1，故棱锥的外接球半径R满足：R=，故该几何体外接球的体积V=R3=.【思路点拨】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，求出底面外接圆半径和棱锥的高，进而利用勾股定理，求出其外接球的半
2、径，代入球的体积公式，可得答案2. 函数的单调递减区间是 （ ）A（，+） B（，）C（0，） D（e，+）参考答案：C3. 设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足=4:3:2，则曲线的离心率等于（ ）A. B.或2 C.2 D.参考答案：A4. 已知向量，则（ ）A. 1B. 1C. 3D. 3参考答案：B【分析】根据向量加减的坐标运算求出，再根据向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】由，两式联立，可得，所以.故选：B【点睛】本题主要考查了向量加减、数量积的坐标运算，考查了学生的基本运算能力，属于基础题.5. 若复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（ ）A. 0B. C. D
3、. 参考答案：D【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0，虚部不为0可得a的值.【详解】解：由题意得：，由复数是纯虚数，可得，可得，故选D.【点睛】本题考查了复数代数形式的运算，含有分式时需要分子分母同时乘以分母的共轭复数，对分母进行实数化再化简.6. 抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点M，若在点M处的切线平行于的一条渐近线，则=(A) (B) (C) (D) 参考答案：D7. 设定义在上的函数，若关于的方程有个不同实数解，则实数的取值范围是 （ ）A. B. C. D.参考答案：D8. 复数满足，则（ ）A B2 C D 参考答案：B9. .已知向量，满足，且，则
4、在方向上的投影为（）A. 1B. C. D. 参考答案：D【分析】先根据向量垂直得，再根据向量投影公式得结果.【详解】因为，所以因此在方向上的投影为，选D.10. 已知,则（ ）（A）0 （B）1 （C） （D）参考答案：B试题分析：，故选B.考点：分段函数.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos ，向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos _参考答案：12. 等边三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为 ，此时四面体ABCD外接球体积为_参考答案：略13. 在（x2+2x+y）5的展开式中，x5y2
5、的系数为 参考答案：60【考点】DB：二项式系数的性质【分析】把（x2+2x+y）5化简成二项式机构，利用通项公式可得答案【解答】解：由（x2+2x+y）5化简为x2+2x）+y，由通项公式Tr+1=，要出现y2，r=2二项式（x2+2x）3展开式中出现x5由通项公式Tk+1=，2（3k）+k=5，可得：k=1x5y2的系数为=60故答案为：6014. 已知一元二次不等式的解集为 ，则不等式的解集为. 参考答案：15. 若指数函数的图象过点(2,4)，则不等式的解集为 参考答案：(1,1)16. 已知g(x)12x，fg(x)(x0)，那么等于_参考答案：15略17. 若抛物线y2=2px的焦
6、点坐标为（1，0）则准线方程为 参考答案：x=1考点：抛物线的简单性质；抛物线的标准方程 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由抛物线的性质可知，知=1，可知抛物线的标准方程，从而可得准线方程解答：解：抛物线y2=2px的焦点坐标为（1，0），=1，p=2，抛物线的方程为y2=4x，其标准方程为：x=1，故答案为：x=1点评：本题考查抛物线的简单性质，属于基础题三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数f（x）=ex（ax2+bx+c）的导函数y=f（x）的两个零点为3和0（其中e=2.71828）（）当a0时，求f（x）的单调区间
7、；（）若f（x）的极小值为e3，求f（x）在区间5，1上的最大值参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出f（x）=exax2+（2a+b）x+b+c，推导出ax2+（2a+b）x+b+c=0的两根为3和0，从而得到b=c，a=c，由此能求出f（x）的单调区间（）由f（x）=aex（x2+x1），当a0时，由f（0）=e3，解得c=e3，a=e3；当a0时，由f（3）=e3，得a=，由此能求出f（x）在区间5，1上的最大值【解答】解：（）函数f（x）=ex（ax2+bx+c），f（x）=exax2+（2a+b）x+b+c，导函数y=f（x）的两个零
8、点为3和0，ax2+（2a+b）x+b+c=0的两根为3和0，即b=c，a=c，f（x）=ex（ax2+3ax），a0，令f（x）0，解得x0或x3；令f（x）0，解得3x0，f（x）的单调递增区间为（，3），（0，+），单调递减区间为（3，0）（）由（）知f（x）=aex（x2+x1），当a0时，由（）知f（0）=e3，解得c=e3，a=e3，在区间5，1上，f（3）=5，f（1）=e4，f（x）max=e4当a0时，f（3）=e3，解得a=，在区间5，1上，f（0）=，f（5）=，f（x）max=，综上所述，当a0时，f（x）max=e4，当a0时，19. 已知椭圆的右焦点为F（1，0），
9、M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且OMF是等腰直角三角形（）求椭圆的方程；（）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为PQM的垂心（即三角形三条高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（）由OMF是等腰直角三角形，得c=b=1，即可得到椭圆方程；（）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为PQM的垂心，设P（x1，y1），Q（x2，y2），于是设直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，运用韦达定理，结合垂心的定义和向量垂直的条件，化简整理计算即可得到所求直线方程【解答】解：（）由OMF是等腰直角三角形，得c=b=1，故椭
10、圆方程为 （）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为PQM的垂心，设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为M（0，1），F（1，0），故kPQ=1于是设直线l的方程为y=x+m，由得3x2+4mx+2m22=0由0，得m23，且，由题意应有，又，故x1（x21）+y2（y11）=0，得x1（x21）+（x2+m）（x1+m1）=0即整理得解得或m=1经检验，当m=1时，PQM不存在，故舍去m=1当时，所求直线l存在，且直线l的方程为20. 已知函数f（x）=是奇函数：（1）求实数a和b的值；（2）判断函数y=f（x）在区间（1，+）上的单调性；（3）已知k0且不等式f（t22t+3）+f（
11、k1）0对任意的tR恒成立，求实数k的取值范围参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质；奇偶性与单调性的综合 【专题】综合题；函数的性质及应用【分析】（1）利用奇函数的定义，列出等式，即可求实数a和b的值；（2）求导函数，确定导数小于0，即可确定函数y=f（x）在区间（1，+）上的单调性；（3）利用函数的单调性与奇偶性，不等式可转化为t22t+31k任意的tR恒成立，由此可求实数k的取值范围【解答】解：（1）函数f（x）=是奇函数由定义=，a=b=0；（2）由（1）知，x1，f（x）0，y=f（x）在区间（1，+）上的单调递减；（3）由f（t22t+3）+f（k1）0及f（
12、x）为奇函数得：f（t22t+3）f（1k）因为t22t+32，1k1，且y=f（x）在区间（1，+）上的单调递减，所以t22t+31k任意的tR恒成立，因为t22t+3的最小值为2，所以21k，k1k0，1k0【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性，考查恒成立问题，确定函数的单调性，转化为具体不等式是关键，21. （本小题满分12分）设函数（1）求函数的值域和函数的单调递增区间; （2）当,且时,求的值.参考答案：依题意 2分（1） 函数的值域是； 4分令，解得 7分所以函数的单调增区间为. 8分（2）由得,因为所以得, 10分 12分22. （本题满分15分）已知抛物线().抛物线上的点到焦点的距离为2(1)求抛物线的方程和的值；(2)如图，是抛物线上的一点，过作圆的两条切线交轴于两点，若的面积为,求点坐标.参考答案：（）由抛物线定义易得 抛物线方程为5分(2)设点 ,当切线斜率不存在, ,设切线,圆心到切线距离为半径1, 不符合题意 同理当切线斜率不存在, 当切线,斜率都存在.即,设切线方程为： 圆心到切线距离为半径1,即 ,两边平方整理得: 韦达定理得: 则切线, 切线,得 15分
