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1、2022北京三中高二（下）期中数 学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，选出符合题目要求的一项1. 数列的一个通项公式是（ ）A. B. C D. 2. 已知数列的前n项和公式为，则数列（ ）A. 是公差为2的等差数列B. 是公比为2的等比数列C. 既是等差数列又是等比数列D. 既不是等差数列又不是等比数列3. 将一枚质地均匀硬币连续抛掷次，记为“正面朝上”出现的次数，则随机变量的方差（ ）A. B. C. D. 4. 若等比数列的第4项和第6项分别是1和16，则其第5项为（ ）A. B. C. 4D. 5. 函数的图象在处的切线
2、方程是A. x-2y=0B. x-y-2=0C. x-4y+4=0D. x+4y-4=06. 在等比数列an中，“a2a1”是“an为递增数列”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要7. 已知函数，则（ ）A. B. C. D. 8. 已知函数f（x）在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确是（ ）A. B. C. D. 9. 在数列中，设其前n项和为，若，则等于（ ）A. 25B. 20C. 15D. 1010. 如果数列满足（k为常数），那么数列叫做等比差数列，k叫做公比差给出下列四个结论：若数列满足，则该数列是等比差数列；数列是等比
3、差数列；所有的等比数列都是等比差数列；存在等差数列是等比差数列其中所有正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共30分11. 等差数列中，若，则数列的前9项的和_12. 已知某一随机变量X分布列如下表：X3b8P0.20.5a且E(X)6，则a_，b_.13. 甲、乙两地降雨的概率分别为和，两地同时降雨的概率为则在甲地降雨的条件下，乙地也降雨的概率为_14. 某船队若出海后天气好，可获得5000元；若出海后天气坏，将损失2000元；若不出海也要损失1000元根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是_（元）15. 我国古代数学名著九
4、章算术中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙，大老鼠第一天打进1尺，以后每天进度是前一天的2倍小老鼠第一天也打进1尺，以后每天进度是前一天的一半如果墙的厚度为10尺，则两鼠穿透此墙至少在第_天16. 数列的通项公式，记为在区间中的项的个数，则_，数列的前100项的和等于_三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17. 已知，求：（1）当时，求；（2）当时，求a；（3）在处的切线与直线平行，求a？18. 已知等差数列的前项和为，从条件条件和条件中选择两个作为已知，并完成解答：（1）求数列的通项公式；（2）设等比数列满足，求数列前项和.条
5、件：；条件：；条件：.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19. 甲、乙两人练习投篮，每次投篮命中的概率分别为，设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响（1）如果甲、乙两人各投篮1次，求两人投篮都没有命中的概率；（2）如果甲投篮3次，求甲至多有1次投篮命中的概率20. 设数列an满足a1=3，（1）计算a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明；（2）求数列2nan的前n项和Sn21. 在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从10个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答已知这10个题目中，选手甲只能正确作答其中的7个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为0.7，且甲、乙两位选手对每
6、个题目作答都是相互独立的（1）求选手甲正确作答2个题目的概率；（2）求选手乙正确作答的题目个数的概率分布列和数学期望；（3）如果在抽取的3个题目中答对2个题目就可以晋级，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由22. 在递增数列中，设，记使得成立的n的最小值为（1）设数列为1，3，4，5，写出的值；（2）若，求的值；（3）若，求数列的前2m项和公式参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，选出符合题目要求的一项1. 数列的一个通项公式是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据各选项的通项公式写出前4
7、项即可判断题设数列的通项公式.【详解】A：由通项公式知：不合题设；B：由通项公式知：不合题设；C：由通项公式知：不合题设；D：由通项公式知：符合题设；故选：D.2. 已知数列的前n项和公式为，则数列（ ）A. 是公差为2的等差数列B. 是公比为2的等比数列C. 既是等差数列又是等比数列D. 既不是等差数列又不是等比数列【答案】A【解析】【分析】利用求得数列的通项公式，由此判断出正确选项.【详解】当时，当时，也符合上式，所以的通项公式为，故为首项是，公差为的等差数列，不是等比数列.故选：A3. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，记为“正面朝上”出现的次数，则随机变量的方差（ ）A. B. C. D
8、. 【答案】B【解析】【分析】先判断出，然后利用方差的计算公式求解即可详解】解：由题意可知，所以故选：4. 若等比数列的第4项和第6项分别是1和16，则其第5项为（ ）A. B. C. 4D. 【答案】D【解析】【分析】根据等比中项的性质可得选项.【详解】解：由已知得，所以，所以，故选：D.5. 函数的图象在处的切线方程是A. x-2y=0B. x-y-2=0C. x-4y+4=0D. x+4y-4=0【答案】C【解析】【详解】，切线方程为6. 在等比数列an中，“a2a1”是“an为递增数列”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】
9、【分析】根据充分发条件的定义判断【详解】是递增数列，则必有，必要性满足，若，满足，但，数列不是递增数列，充分性不满足应是必要不充分条件，故选：B【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题关键7. 已知函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用求导公式和法则求解即可【详解】解：因为，所以，故选：C8. 已知函数f（x）在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据图象在上函数的增长越来越快，再结合求解.【详解】因为函数的增长越来越快，所以函数在该点的斜率越来越大，又，所以，故选
10、：A9. 在数列中，设其前n项和，若，则等于（ ）A. 25B. 20C. 15D. 10【答案】B【解析】【分析】根据递推公式的特点，可得奇数项和偶数项的特点，根据分组求和即可求解【详解】由可知：当为奇数时，当为偶数时，所以奇数项成常数列，偶数项成等差数列，且公差为2故故选：B10. 如果数列满足（k为常数），那么数列叫做等比差数列，k叫做公比差给出下列四个结论：若数列满足，则该数列是等比差数列；数列是等比差数列；所有的等比数列都是等比差数列；存在等差数列是等比差数列其中所有正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据比等差数列的定义(为常数)，逐一判
11、断中的四个数列是否是等比差数列，即可得到答案【详解】数列满足，则，满足等比差数列的定义，故正确；数列，不满足等比差数列的定义，故错误；设等比数列，则，满足等比差数列，故正确；设等差数列的公差为，则，故当时（首项不为0），满足，故存在等差数列是等比差数列，即正确；故选：C二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共30分11. 等差数列中，若，则数列的前9项的和_【答案】【解析】【分析】应用等差中项的性质有，进而求.【详解】由等差中项的性质知：，.故答案为：.12. 已知某一随机变量X的分布列如下表：X3b8P0.20.5a且E(X)6，则a_，b_.【答案】 . 0.3 . 6【解析】【分析】第
12、一空：根据概率和为1，列方程求解即可；第二空：根据E(X)6列方程求解即可.【详解】由0.20.5a1，得a0.3.又由E(X)30.2b0.580.36，得b6.故答案为：0.3；6.13. 甲、乙两地降雨的概率分别为和，两地同时降雨的概率为则在甲地降雨的条件下，乙地也降雨的概率为_【答案】【解析】【分析】利用条件概率的概率公式求解即可【详解】解：设事件为甲地降雨，事件为乙地降雨，则（A），（B），故，所以在甲地降雨的条件下，乙地也降雨的概率为故答案为：14. 某船队若出海后天气好，可获得5000元；若出海后天气坏，将损失2000元；若不出海也要损失1000元根据预测知天气好的概率为0.6，
13、则出海的期望效益是_（元）【答案】2200【解析】【分析】由期望的公式计算可得答案.【详解】出海的期望效益为（元）.故答案为：2200.15. 我国古代数学名著九章算术中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙，大老鼠第一天打进1尺，以后每天进度是前一天的2倍小老鼠第一天也打进1尺，以后每天进度是前一天的一半如果墙的厚度为10尺，则两鼠穿透此墙至少在第_天【答案】4【解析】【分析】设两只老鼠在第天相遇，利用等比数列的求和公式列方程可求得的范围，即可得解.【详解】设两只老鼠在第天相遇，则大老鼠第天打洞的厚度成以为公比的等比数列，小老鼠第天打洞的厚度成以为公比的等比列，由等比数列的求和公式可得，整理得，可得（舍去）或，而所以，两鼠穿透此墙至少在第天.故答案为：4.16. 数列的通项公式，记为在区间中的项的个数，则_，数列的前100项的和等于_【答案】 . 2 . 384【解析】【分析】根据题意，当当时，在内有2项；进而分别讨论当，内的的取值，再求和即可.【详解】解：因为，所以，当时，在内有2项；当时，；当时，当时，；当时，；当时，；所以，数列的前100项的和等于.故答案为：2；三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17. 已知，求：（1）当时，求；（2）当时，求a；（3）在处的切线与直线
