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1、浙江省杭州市宁波市部分学校2022-2023年高三下学期4月联考数学试卷一单选题1. 已知集合,则( )A. B. C. D. 2. 已知,则在复平面内,复数对应点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 设,则( )A. 84B. 56C. 36D. 284. 已知函数,则( )A. 为奇函数B. 为偶函数C. 为奇函数D. 为偶函数5. 从含有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张,在其中1张是假钞的条件下,2张都是假钞的概率是( )A. B. C. D. 6. 已知,是关于的方程的两根,且,则( )A. B. C. D. 7. 如图,某同学用两根木条钉成十字
2、架,制成一个椭圆仪.木条中间挖一道槽,在另一活动木条的处钻一个小孔,可以容纳笔尖,各在一条槽内移动,可以放松移动以保证与的长度不变,当各在一条槽内移动时,处笔尖就画出一个椭圆.已知,且在右顶点时,恰好在点,则的离心率为( )A. B. C. D. 8. 将一个体积为的铁球切割成正三棱锥的机床零件,则该零件体积的最大值为( )A. B. C. D. 二多选题9. 已知向量,函数,则( )A. 在上有4个零点B. 在单调递增C. D. 直线是曲线的一条切线10. 已知圆是直线上一点,过点作圆的两条切线,切点分别为,则( )A. 直线经过定点B. 的最小值为C. 点到直线的距离的最大值为D. 是锐角
3、11. 已知曲线,则( )A. 曲线关于直线对称B. 曲线上恰有四个整点(横坐标与纵坐标均为整数)C. 曲线上的点到原点距离的最大值为D. 曲线上存在点在圆的内部12. 如图,在正方体中,是正方形内部(含边界)的一个动点,则( )A. 存在唯一点,使得B. 存在唯一点,使得直线与平面所成的角取到最小值C. 若,则三棱锥外接球的表面积为D. 若异面直线与所成的角为,则动点的轨迹是抛物线的一部分三,填空题13. 已知随机变量服从,若,则_.14. 如图,为了测量两点间的距离,选取同一平面上两点,已知,则的长为_15. 定义:对于数列,如果存在常数,使得对于任意,都有,成立,则称数列为“摆动数列”,
4、称为数列的摆动值.若,且数列的摆动值为0,则的取值范围为_.16. 是抛物线准线为上一点,在抛物线上,的中点也在抛物线上,直线与交于点,则的最小值为_.四解答题17. 已知函数(1)求的单调递增区间;(2)若对任意,都有,求实数的取值范围18. 已知数列为等比数列,是与等差中项,为的前项和(1)求的通项公式及;(2)集合A为正整数集的某一子集,对于正整数,若存在正整数,使得,则,否则记数列满足,求的前20项和19. 已知在多面体中,且平面平面.(1)设点为线段的中点,试证明平面;(2)若直线与平面所成的角为,求二面角的余弦值.20. 为保障全民阅读权利,培养全民阅读习惯,提高全民阅读能力,推动
5、文明城市和文化强市建设某高校为了解全校学生的阅读情况,随机调查了200名学生的每周阅读时间x(单位:小时)并绘制如图所示的频率分布直方图:(1)求这200名学生每周阅读时间样本平均数和样本方差(同一组的数据用该组区间中点值代表);(2)由直方图可以看出,目前该校学生每周的阅读时间x大致服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本方差.一般正态分布概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算:若,令,则,且利用直方图得到的正态分布,求;从该高校的学生中随机抽取20名,记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数,求Z的均值.参考数据:,若,则.21. 坐标平面中,是椭圆上一点,经过的直线(不过点)与交于两点,直线与的斜率乘积为.(1)求方程;(2)直线与交于点,且.当点到直线的距离最大时,求直线的方程.22. 已知函数.(1)若,证明:当时,;(2)讨论函数在上零点个数.