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1、普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分共100分，考试时间90分钟参考公式：球的体积公式，其中R表示球的半径第卷一、选择题：（本大题共15个小题，每小题3分，共计45分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设全集，集合，则A. B. C. D. 2. 从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在160,175(单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为()A. 0.2B. 0.3C. 0.7D. 0.83. 的值为（ ）A. B. 0C. 1D. 不存在4.
2、 下列函数中，在上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 5. 已知向量，若，则实数的值为（ ）A. -2B. 2C. -1D. 16. 设C复数集，若，且（i为虚数单位），则（ ）A. 1B. C. 4D. 7. 在下列区间中，函数的一个零点所在的区间为（ ）A. B. C. D. 8. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为A. 6B. 8C. 10D. 129. 函数是 A. 周期为的奇函数B. 周期为的偶函数C. 周期为的奇函数D. 周期为的偶函
3、数10. 如图，分别是边，的中点，则下列结论错误的是（ ）A B. C. D. 11. 某校100名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，分数不低于a即为优秀，如果优秀的人数为20人，则a的估计值是（ ）A. 130B. 140C. 133D. 13712. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象对应的表达式为（ ）A. B. C. D. 13. 在中，则 A. B. C. 或D. 或14. 设，其中e为自然对数的底，则（ ）A. B. C. D. 15. 如图，在正方体中，E为线段中点，则异面直线DE与所成角的大小为（ ）A. B. C. D. 第卷二、填空题：本大
4、题共5个小题，每小题3分，共15分请将答案填在题中横线上16. 某班有60名学生，其中女生24人，现任选一人，则选中男生的概率为_17. 在中，若，则的长为_18. 已知，则_19. 表面积为正四面体外接球的体积为_20. 若，则的最大值是_三、解答题：（本大题共4小题，共40分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21. 已知（1）求的值；（2）求的值22. 已知复数是实数，是虚数单位.（1）求复数；（2）若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围.23. 如图，四棱锥的底面是菱形，平面，是的中点，是的中点（）求证：平面平面（）求证：平面24. 已知函数（1）若为偶函数，求a的值；（2）
5、若在上有最小值9，求a的值普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分共100分，考试时间90分钟参考公式：球的体积公式，其中R表示球的半径第卷一、选择题：（本大题共15个小题，每小题3分，共计45分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设全集，集合，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】全集，又，则，故选A.2. 从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在160,175(单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为()A. 0.2B. 0.3C.
6、0.7D. 0.8【答案】B【解析】【详解】解：因为该同学的身高小于160cm的概率为0.2，该同学的身高在160，175cm的概率为0.5，和该同学的身高超过175cm的概率和为1，利用对立事件可知1-0.2-0.5=0.3，选B3. 的值为（ ）A. B. 0C. 1D. 不存在【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得；详解】解：故选：B4. 下列函数中，在上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据基本初等函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，当时，可得函数在上单调递增，满足题意；对于B中，根据二次函数的性质，可得
7、函数在上单调递减，不满足题意；对于C中，函数，可得函数在上单调递减，不满足题意；对于D中，函数，可得函数在上单调递减，不满足题意，故选：A.5. 已知向量，若，则实数的值为（ ）A. -2B. 2C. -1D. 1【答案】B【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示计算可得结果.【详解】因为，所以，所以，即.故选：B6. 设C为复数集，若，且（i为虚数单位），则（ ）A. 1B. C. 4D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的乘除运算法则计算可得；【详解】解：因为，所以，所以；故选：A7. 在下列区间中，函数的一个零点所在的区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】
8、根据函数的解析式，利用零点的存在定理，结合选项，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，所以，结合零点的存在定理，可得函数的一个零点所在的区间为.故选：B.8. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】B【解析】【详解】试题分析：根据题意，由分层抽样知识可得：在高二年级的学生中应抽取的人数为：，故选B考点：分层抽样9. 函数是 A. 周期为的奇函数B. 周期为的偶函数C. 周期为的奇函数D. 周期为的偶函数【答案】A
9、【解析】【详解】函数函数的周期是，函数是奇函数，函数是周期为的奇函数，故选A.10. 如图，分别是的边，的中点，则下列结论错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据三角形中位线性质和向量的加法法则进行判断即可【详解】A.项 且利用中位线性质有平行故B.项 ，且平行故C.项 由向量加法运算有D.项 ，不成立故选：D11. 某校100名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，分数不低于a即为优秀，如果优秀的人数为20人，则a的估计值是（ ）A. 130B. 140C. 133D. 137【答案】C【解析】【分析】根据频率分别直方图性质求解即可.【详解】优秀的频率为，的频率为
10、，的频率为，所以的值在之间.即，解得故选：C.12. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象对应的表达式为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的图象变换规律，可得结论.【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象对应的表达式为，故选：C.【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题.13. 在中，则 A. B. C. 或D. 或【答案】B【解析】【详解】由正弦定理可知，故选B.14. 设，其中e为自然对数的底，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用对数的运算法则、对数函数的性质以及作
11、差法判断即可；【详解】解：，又即，所以，又，所以，所以，所以；故选：B15. 如图，在正方体中，E为线段的中点，则异面直线DE与所成角的大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】连接，则可得为异面直线DE与所成角的平面角或其补角，然后由题意可得DE，从而在中求解即可【详解】解：连接，则，故为异面直线DE与所成角的平面角或其补角，连接，则，因为E为的中点，故DE，在中，因为，而，所以在中，故，故选：C第卷二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分请将答案填在题中横线上16. 某班有60名学生，其中女生24人，现任选一人，则选中男生的概率为_【答案】#【解析】【分析】根
12、据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：依题意选中男生的概率；故答案为：17. 在中，若，则的长为_【答案】【解析】【分析】直接利用余弦定理计算可得；【详解】解：由余弦定理，即，所以故答案为：18. 已知，则_【答案】【解析】【分析】根据数量积的运算律求出，再根据计算可得；【详解】解：因为，所以，即，即，所以，解得；所以故答案为：19. 表面积为的正四面体外接球的体积为_【答案】【解析】【分析】设正四面体的边长为，的外接圆圆心为，正四面体外接球的球心为，半径为，根据已知条件得到，从而得到外接球半径，再求外接球体积即可.【详解】设正四面体的边长为，的外接圆圆心为，正四面体外接球的球心为，半径为
13、，如图所示：因为，解得.因为，所以，.在中，解得.正四面体外接球的体积.故答案为：20. 若，则的最大值是_【答案】【解析】【分析】变形，利用基本不等式可得最值.【详解】，则.当且仅当，即时，等号成立.即的最大值是.故答案为：.三、解答题：（本大题共4小题，共40分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21. 已知（1）求的值；（2）求的值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）直接用二倍角余弦公式即可得结果；（2）由三角恒等式求出，再根据两角差的正弦公式即可得结果.【小问1详解】因为，所以.【小问2详解】因，所以，所以.22. 已知复数是实数，是虚数单位.（1）求复数；（2）若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先求出，由题得，即可解出；（2）求出，解不等式即得解.【详解】（1）， ，又是实数，得.复数.（2）由（1）得， 复数所表示点在第一象限，得.实数m的取值范围是.23. 如图，四棱锥的底面是菱形，平面，是的中点，是的中点（）求证：平面平面（）求证：平面【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【
