《2020-2021学年北京师大附中高二（下）期中数学试卷》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020-2021学年北京师大附中高二（下）期中数学试卷（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2020-2021学年北京师大附中高二（下）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1（3分）直线yx+1的倾斜角是（）ABCD2（3分）如果直线3xy0与直线mx+y10平行，那么m的值为（）A3BCD33（3分）圆（x+1）2+（y2）21与x轴的位置关系是（）A相交B相切C相离D不确定4（3分）“mn”是“方程mx2+ny21表示圆”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5（3分）1765年，数学家欧拉在其所著的三角形几何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条
2、直线就是后人所说的“欧拉线”已知ABC的顶点B（1，0），C（0，2），且|AB|AC|4，则ABC的欧拉线方程为（）A2x4y30B2x+4y+30C4x2y30D2x+4y306（3分）设O为坐标原点，点A（1，0），动点P在抛物线y24x上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的取值范围为（）A（0，1B（0，1）C（1，+）D1，+）7（3分）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间的距离的几何问题结合上述观点，可得方程的解是（）ABCD8（3
3、分）在化学课上，你一定曾注意到，当装有液体的试管稍微倾斜一点时，液面的轮廓是椭圆形的即用平面截圆柱面，当圆柱的轴与所成角为锐角时，圆柱面的截线是一一个椭圆著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，两球分别和相切于F1，F2两点，并且都与圆柱面相切给出下列四个结论：过截线上的任意一点P作圆柱的母线，分别与两球相交于M，N，则|MN|为所得椭圆的长轴长；F1，F2两点是所得椭圆的两个焦点；若球心距|O1O2|4，球的半径为1，则所得椭圆的焦距为；当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大其中，所有正确结
4、论的序号是（）ABCD二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9（3分）抛物线x24y的焦点坐标是 ；准线方程为 10（3分）双曲线的实轴长是 ，渐近线方程是 11（3分）写出一个离心率为的双曲线的标准方程 12（3分）已知抛物线C：y28x上一点M到焦点的距离为3，那么点M到y轴的距离为 13（3分）已知圆C：x2+y24与圆D：x2+y24x+2y+40相交于A，B两点，则两圆公共弦线所在的直线方程为 ，公共弦AB的长为 14（3分）2020年12月，“嫦娥五号”月球探测器首次实现从月球无人采样返回，这标志着中国航天又向前迈出一大步我校航天社团利用计算机模拟探测器某段飞行轨迹，如图，探
5、测器在环月椭圆轨道上运动，月球的球心为椭圆的一个焦点，探测器在近月点“制动”后，进入距离月球表面n千米的环月圆形轨道已知两轨道相切于近月点，远月点到月球表面的最近距离为m千米，月球半径为r千米，则椭圆轨道的长轴长为 ；离心率为 15（3分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是底面ABCD内一动点（1）若P到直线AA1与直线BC的距离相等，则动点P的轨迹所有在的曲线是 （2）若P到直线AA1与与平面A1B1C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是 16（3分）数学史上，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为“卡西尼曲线”卡西尼是法国天文学家，他在1675年研究土星及其卫星的运行
6、规律时，发现了这种类型的曲线，为纪念他对土星研究的贡献，美欧在1997年合作发射的土星探测器就是以他的名字命名的设卡西尼曲线C的两定点为F1（1，0）和F2（1，0），常数为a（a0）给出下列四个结论曲线C一定过原点；曲线C一定关于坐标轴对称；当且仅当a1时曲线C上存在到F1，F2距离相等的点；曲线C上存在点P使得F1PF2的面积大于其中，所有正确结论的序号是 三、解答题（共4题，共52分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17（12分）请选择（1）与（2）其中一组，写出该组中满足相应条件的点M的轨迹方程（请注意，只能选择其中一组作答，每组写出3个方程，不能两组混选，多选按先写的一组计分
7、）题组（1）点M满足的条件点M的轨迹方程点M到定点F（1，0）的距离与它到定直线x1的距离相等点M到定点F（1，0）的距离与它到定直线x4的距离之比为点M到定点F（2，0）的距离与它到定直线x1的距离之比为题组（2）已知两定点F1（2，0），F2（2，0）平面内，点M满足的条件点M的轨迹方程|MF1|+|MF2|6|MF1|MF2|218（15分）已知抛物线y24x，O为坐标原点，抛物线上是否存在A，B两点关于点P（1，1）对称，若存在，求OPB的面积；若不存在，说明理由19（15分）已知椭圆C：（ab0）的离心率为，右焦点为F，点A（2，0）在椭圆上（1）求椭圆C的方程；（2）过点F的直线l
8、（不与x轴重合）交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别与直线x4交于点P，Q求证：以线段PQ为直径的圆被x轴截得的弦长为定值20（10分）下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整（1）圆O：x2+y2r2上点M（x0，y0）处的切线方程为 理由如下： （2）椭圆（ab0）上一点（x0，y0）处的切线方程为；（3）P（m，n）是椭圆L：外一点，过点P作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，如图，则直线AB的方程是 这是因为在A（x1，y1），B（x2，y2）两点处，椭圆L的切线方程为和两切线都过P点，所以得到了和，由这两个“同构方程”得
9、到了直线AB的方程；（4）问题（3）中两切线PA，PB斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为ynk（xm），由，得（1+3k2）x2+6k（nkm）x+3（nkm）230，化简得0得（3m2）x2+2mnk+1n20若PAPB，则由这个方程可知P点一定在一个圆上，这个圆的方程为 （5）抛物线y22px（p0）上一点（x0，y0）处的切线方程为y0yp（x0+x）；（6）抛物线C：x24y，过焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，分别过点A，B作抛物线的两条切线l1和l2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线l1的方程为x1x2（y1+y）直线l2的方程为x2x2（y2+y），设l1和
10、l2相交于点M则点M在以线段AB为直径的圆上；点M在抛物线C的准线上2020-2021学年北京师大附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1（3分）直线yx+1的倾斜角是（）ABCD【分析】根据题意，设直线的倾斜角为，由直线的方程可得直线的斜率，进而可得tan1，据此分析可得答案【解答】解：根据题意，直线yx+1，设其倾斜角为，其斜率k1，则有tan1，则故选：B【点评】本题考查直线的倾斜角与斜率，涉及直线的斜截式方程，属于基础题2（3分）如果直线3xy0与直线mx+y10平行，那么m的值为（）A
11、3BCD3【分析】根据题意，求出两条直线的斜率，由直线平行与斜率的关系，分析可得m3，解可得m的值，即可得答案【解答】解：根据题意，直线3xy0的斜率k13，直线mx+y10的斜率k2m，若直线3xy0与直线mx+y10平行，则有m3，即m3；故选：A【点评】本题考查直线平行的判定方法，注意直线平行与直线斜率的关系3（3分）圆（x+1）2+（y2）21与x轴的位置关系是（）A相交B相切C相离D不确定【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，再由圆心到x轴的距离大于半径得答案【解答】解：圆（x+1）2+（y2）21的圆心坐标为（1，2），半径为1，圆心（1，2）到x轴的距离d21，圆（x+1）2+（
12、y2）21与x轴的位置关系是相离故选：C【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，是基础题4（3分）“mn”是“方程mx2+ny21表示圆”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据圆的方程，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若mn0时，方程mx2+ny21等价为01，无意义，不能表示圆，若方程mx2+ny21表示圆，则mn0，“mn”是“方程mx2+ny21表示圆”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查 充分条件和必要条件的判断，利用圆的标准方程是解决本题的关键，比较基础5（3分）1765年，数学家欧拉在其所著的三角形几
13、何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线就是后人所说的“欧拉线”已知ABC的顶点B（1，0），C（0，2），且|AB|AC|4，则ABC的欧拉线方程为（）A2x4y30B2x+4y+30C4x2y30D2x+4y30【分析】由|AB|AC|4，可得ABC的外心、重心、垂心都位于线段BC的垂直平分线上，求出线段BC的垂直平分线，即可求出ABC的欧拉线方程【解答】解：|AB|AC|4，ABC的外心、重心、垂心都位于线段BC的垂直平分线上，ABC的顶点B（1，0），C（0，2），线段BC的中点的坐标为（，1），线段BC所在直线的斜率，线段BC垂直平分线的方程为y1，即2x
14、+4y30，ABC的欧拉线方程为2x+4y30故选：D【点评】本题主要考查了欧拉线的方程，三角形的外心重心垂心的性质，属于中档题6（3分）设O为坐标原点，点A（1，0），动点P在抛物线y24x上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的取值范围为（）A（0，1B（0，1）C（1，+）D1，+）【分析】首先设出点P的坐标，然后结合中点坐标公式和斜率公式求得斜率的表达式，最后求解斜率的取值范围即可【解答】解：设点P的坐标为P（4m2，4m）（m0），很明显直线的斜率为正数，则：，当且仅当 时等号成立即直线OM的斜率的取值范围为（0，1故选：A【点评】本题主要考查圆锥曲线中的范围问题，函数值域的求解，等价转化的数学思想等
