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1、2020-2021学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1（4分）已知全集U1，0，1，2，3，4，集合A0，1，2，则UA（）A3，4B1，3，4C0，1，2D1，42（4分）已知向量（1，2），（x，4），且，则|（）ABCD83（4分）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（）ABC3D44（4分）已知等比数列an的各项均为正数，且a39，则log3a1+log3a2+log3a3+log3a4+log3a5（）ABC10D155（4分）设抛物线C：y24x
2、的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，P是C上一点若|PF|4，则|PM|（）AB5CD6（4分）已知函数，给出下列四个结论：函数f（x）是周期为的偶函数；函数f（x）在区间上单调递减；函数f（x）在区间上的最小值为1；将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得图象与g（x）sin2x的图象重合其中，所有正确结论的序号是（）ABCD7（4分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）f（x），且f（1）0，当x（0，1）时，f（x）2x+x设af（5），则a，b，c的大小关系为（）AbacBacbCcabDbca8（4分）已知圆C：x2+y24，直线l：x+y+t0，则“l与C相交”是“
3、|t|2”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件9（4分）已知双曲线（a0，b0）的左焦点为F，右顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线FD，D为垂足若|DF|DA|，则C的离心率为（）AB2CD10（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线ymx（m0）与曲线yx3从左至右依次交于A，B，C三点若直线l：kxy+30（kR）上存在点P满足|2，则实数k的取值范围是（）A（2，2）BC（，2）（2，+）D二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11（5分）设aR若复数zi（1+ai）为纯虚数，则a ，z2 12（5分）在（x2+）6的展开式中，常数项是
4、（用数字作答）13（5分）在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦根据周髀算经记载，西周数学家商高就发现勾股定理的一个特例：若勾为三，股为四，则弦为五一般地，像（3，4，5）这样能够成为一个直角三角形三条边长的正整数组称为勾股数组若从（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（8，15，17），（9，12，15），（9，40，41），（10，24，26），（11，60，61），（12，16，20）这些勾股数组中随机抽取1组，则被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的概率为 14（5分）若函数f（x）sin（x+）+cosx
5、为偶函数，则常数的一个取值为 15（5分）设函数yf（x）的定义域为D，若对任意x1D，存在x2D，使得f（x1）f（x2）1，则称函数f（x）具有性质M，给出下列四个结论：函数yx3x不具有性质M；函数具有性质M；若函数ylog8（x+2），x0，t具有性质M，则t510；若函数具有性质M，则a5其中，正确结论的序号是 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16（13分）在ABC中，c3，且bc，再从条件、条件中选择一个作为已知，求：（）b的值；（）ABC的面积条件：sinB2sinA；条件：sinA+sinB2sinC17（13分）某公司为了解用户对其产品的
6、满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分该公司将收集到的数据按照20，40），40，60），60，80），80，100分组，绘制成评分频率分布直方图如图：（）从A地区抽取的400名用户中随机选取一名，求这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率；（）从B地区抽取的100名用户中随机选取两名，记这两名用户的评分不低于80分的个数为X，求X的分布列和数学期望；（）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为1，B地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的
7、平均值为2，以及A，B两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为0，试比较0和的大小（结论不要求证明）18（14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E是线段AD的中点，连结BE（）求证：BEPA；（）求二面角APDC的余弦值；（）在线段PB上是否存在点F，使得EF平面PCD？若存在，求出的值；若不存在，说明理由19（15分）已知椭圆（ab0）过点，且C的离心率为（）求椭圆C的方程；（）过点P（1，0）的直线l交椭圆C于A，B两点，求|PA|PB|的取值范围20（15分）已知函数f（x）lnx（a+2）x+ax2（aR）（）
8、当a0时，求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）求f（x）的单调区间；（）若f（x）恰有两个零点，求实数a的取值范围21（15分）已知无穷数列an满足：a10，an+1an2+c（nN*，cR）对任意正整数n2，记Mnc|对任意i1，2，3，n，|ai|2，Mc|对任意iN*，|ai|2（）写出M2，M3；（）当c时，求证：数列an是递增数列，且存在正整数k，使得cMk；（）求集合M2020-2021学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1（4分）已知全集U1，0，1，
9、2，3，4，集合A0，1，2，则UA（）A3，4B1，3，4C0，1，2D1，4【分析】进行补集的运算即可【解答】解：U1，0，1，2，3，4，A0，1，2，UA1，3，4故选：B【点评】本题考查了列举法的定义，补集及其运算，考查了计算能力，属于基础题2（4分）已知向量（1，2），（x，4），且，则|（）ABCD8【分析】根据题意，由向量数量积的坐标计算公式可得x+80，解可得x8，即可得（8，4），计算可得答案【解答】解：根据题意，向量（1，2），（x，4），若，则x+80，则x8，故（8，4），则|4，故选：C【点评】本题考查平面向量数量积的坐标计算，涉及向量垂直的判断，属于基础题3（4分
10、）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（）ABC3D4【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥PABC，底面三角形ABC是等腰直角三角形，ABBC2，ABBC，三棱锥的高为PO2，再由棱锥体积公式求解【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥PABC，底面三角形ABC是等腰直角三角形，ABBC2，ABBC，三棱锥的高为PO2该三棱锥的体积为V故选：A【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题4（4分）已知等比数列an的各项均为正数，且a39，则log3a1+log3a2+log3a3+log3a4+l
11、og3a5（）ABC10D15【分析】根据对数的运算性质和等比数列的性质即可求出【解答】解：log3a1+log3a2+log3a3+log3a4+log3a5log3（a1a2a3a4a5）log3a35log39510，故选：C【点评】本题考查了对数的运算性质和等比数列的性质，属于基础题5（4分）设抛物线C：y24x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，P是C上一点若|PF|4，则|PM|（）AB5CD【分析】根据条件求出P的纵坐标，进而求解结论【解答】解：P是C上一点且|PF|4，PD4x+1xP3代入y24x得yP212，PM2，故选：C【点评】本题考查抛物线的性质以及计算能力，属于基础
12、题6（4分）已知函数，给出下列四个结论：函数f（x）是周期为的偶函数；函数f（x）在区间上单调递减；函数f（x）在区间上的最小值为1；将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得图象与g（x）sin2x的图象重合其中，所有正确结论的序号是（）ABCD【分析】根据函数的性质，三角函数的周期性，单调性，诱导公式可以直接判断【解答】解：由f（x）cos（2x）cos（2x+）f（x），所以f（x）不是偶函数，故错误；因x，所以2x0，而余弦函数在0，上单调递减，故正确；因x，所以2x，所以f（x）的最小值为，故错误；将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后，ycos2（x）cos（2x）sin2x
13、，故正确；故选：D【点评】本题考查了函数的性质，三角函数的诱导公式，属于基础题7（4分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）f（x），且f（1）0，当x（0，1）时，f（x）2x+x设af（5），则a，b，c的大小关系为（）AbacBacbCcabDbca【分析】利用函数f（x）的解析式以及函数的周期性和奇偶性，将af（5），进行转化，然后求出数值比较即可【解答】解：因为当x（0，1）时，f（x）2x+x，又f（x+2）f（x），且f（x）为奇函数，所以f（5）f（3）f（1）0，即a0，故b0，故c0，所以bac故选：A【点评】本题考查了函数值大小的比较，涉及了函数奇偶性和周期性的应用，解题的关键是将自变量转化到（0，1）内求解8（4分）已知圆C：x2+y24，直线l：x+y+t0，则“l与C相交”是“|t|2”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】先利用直线与圆相交，将t满足的条件求出来，然后再利用充分条件和必要条件的定义分析判断即可【解答】解：圆心C（0，0），半径
