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1、第六章 计数原理6.2.4 6.2.4 组合数组合数一二三学习目标类比与理解组合数的概念能利用计数原理推导组合数公式能用组合数的知识与公式求解相关问题2.判断一个计数问题是排列问题还是组合问题的方法：排列问题组合问题 若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关.若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关.复习回顾1.组合定义:一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素个元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个个不同元素中取出不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合新知探究类比排列数，我们
2、引进组合数概念：类比排列数，我们引进组合数概念：组合数：组合数：从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同个元素的所有不同组合的个数组合的个数，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示.组合的第一个字母元素总数取出元素数m，n所满足的条件是：(1)mN*，nN*；(2)mn.例如，从例如，从3个不同元素中任取个不同元素中任取2个元素的组合数为个元素的组合数为从从4个不同元素中任取个不同元素中任取3个元素的组合数为个元素的组合数为符号符号 中的中的C是英文是英文combination(组组合合)的第一个字母的第
3、一个字母.组组合数合数还还可可以用符号以用符号 表示表示.回回顾：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中名同学中选出出2名参加一名参加一项活活动，有多少种不同的，有多少种不同的选法法？组合 甲乙 甲丙 乙丙 甲乙，乙甲 甲丙，丙甲 乙丙，丙乙排列 新知探究 前面，我们利用前面，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同元素相同、顺序不同的两个组合相同”“”“元素相元素相同、顺序不同的两个排列不同同、顺序不同的两个排列不同”，以，以“元素相同元素相同”为标准，建立了排列为标准，建立了排列和组合之间的对应关系和组合之间的对应关系.那他们之间的数量关系是怎样的？那他们之间的数量关系是怎样的？应用应用同样
4、的方法，同样的方法，我们来我们来求从求从4 4个不同元素中取出个不同元素中取出3 3个元素的组合数个元素的组合数 .组合a b ca b da c db c d 排列abc bac cab acb bca cbaabd bad dab adb bda dbaacd cad dac adc cda dcabcd cbd dbc bdc cdb dcb设这设这4个元素为个元素为a,b,c,d，那么从中取出，那么从中取出3个元素的排列数个元素的排列数 .因此组合数 .以“元素相同”为标准将这24个排列分组，一共有4组新知探究新知探究追问 我们该怎么安我们该怎么安排才能和组合联系排才能和组合联系在一起
5、？在一起？组合a b ca b da c db c d 排列abc bac cab acb bca cbaabd bad dab adb bda dbaacd cad dac adc cda dcabcd cbd dbc bdc cdb dcb观察上图，也可以这样理解：根据分布乘法计数原理有=新知探究：组合数的定义=于是，根据分布乘法计数原理有于是，根据分布乘法计数原理有所以概念生成组合数公式：组合数公式：另外，我们规定所以上面的公式还可以写成典例解析 例6 计算：计算：解：思考 此关系是否具有一般性？此关系是否具有一般性？性质性质1新知探究：组合数的性质问题3 对于组合数的这个性质你能给出证
6、明与解释吗？性质性质1证明：解释：该性质反映了该性质反映了组合数的对称性组合数的对称性.其组合意义是从其组合意义是从n个不同的元素中任取个不同的元素中任取m个元素的个元素的组合与任取组合与任取(n-m)个元素的组合是一一对应个元素的组合是一一对应(一种取法对应一种剩法一种取法对应一种剩法).因为从因为从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素后，就剩下个元素后，就剩下(n-m)个元素，因此从个元素，因此从n个不同元素个不同元素中取出中取出m个元素的方法，与从个元素的方法，与从n个不同元素中取出个不同元素中取出(n-m)个元素的方法是一一对应的，个元素的方法是一一对应的，因此取法是一样多的，就
7、是说从因此取法是一样多的，就是说从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的每一个组合，都对应着个元素的每一个组合，都对应着从从n个不同元素中取出个不同元素中取出(n-m)个元素的唯一的一个组合，反过来也一样个元素的唯一的一个组合，反过来也一样.即从即从n个不同元个不同元素中取出素中取出m个元素的组合数个元素的组合数 等于从等于从n个不同元素中取出个不同元素中取出(n-m)个元素的组合数个元素的组合数 ，也就是也就是 .解释：该性质也可以根据组合数的定义与分类加法计数原理直接得出，在确定从该性质也可以根据组合数的定义与分类加法计数原理直接得出，在确定从(n+1)个不同元素个不同元素中取中取m
8、个元素的方法时，个元素的方法时，对于某一元素，只存在着对于某一元素，只存在着取取与与不取不取两种可能两种可能.如果取这一元素，则需从剩下的如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出个元素中再取出(m-1)个元素，所以共有个元素，所以共有 种取法；如种取法；如果不取这一元素，则需从剩下的果不取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出个元素中再取出m个元素，所以共有个元素，所以共有 种取法种取法.由分类加法计由分类加法计数原理，得数原理，得 .新知探究：组合数的性质性质性质21.计算：计算：追问：你有什么你有什么发发现现和猜想？和猜想？解：解：1.计算：计算：课本课本P25巩固练习证证明：明：2.
9、求证：求证：课本课本P25巩固练习巩固训练：巩固训练：1.计算：计算：解：解：解：解：解：例3 在在100100件产品中，有件产品中，有9898件合格品，件合格品，2 2件次品件次品.从这从这100100件产品中任意抽出件产品中任意抽出3 3件件.(1)(1)有多少种不同的抽法？有多少种不同的抽法？(2)(2)抽出的抽出的3 3件中恰好有件中恰好有1 1件是次品的抽法有多少种？件是次品的抽法有多少种？(3)(3)抽出的抽出的3 3件中至少有件中至少有1 1件是次品的抽法有多少种？件是次品的抽法有多少种？典例解析解：解：(1)所有的不同抽法种数，就是从所有的不同抽法种数，就是从100件件产产品中
10、抽出品中抽出3件的件的组组合数，合数，所以抽法种数所以抽法种数为为(2)从从2件次品中抽出件次品中抽出1件的抽法有件的抽法有 种，从种，从98件合格品中抽出件合格品中抽出2件的抽件的抽法有法有 种，因此抽出的种，因此抽出的3件中恰好有件中恰好有1件次品的抽法种数为件次品的抽法种数为典例解析例3 在在100100件产品中，有件产品中，有9898件合格品，件合格品，2 2件次品件次品.从这从这100100件产品中任意抽出件产品中任意抽出3 3件件.(1)(1)有多少种不同的抽法？有多少种不同的抽法？(2)(2)抽出的抽出的3 3件中恰好有件中恰好有1 1件是次品的抽法有多少种？件是次品的抽法有多少
11、种？(3)(3)抽出的抽出的3 3件中至少有件中至少有1 1件是次品的抽法有多少种？件是次品的抽法有多少种？从从100件件产产品抽出的品抽出的3件中至少有件中至少有1件是次品，包括有件是次品，包括有1件次品和有件次品和有2件次品两种情况，因此根据分件次品两种情况，因此根据分类类加法加法计计数原理，抽出的数原理，抽出的3件中至少有件中至少有1件是次品的件是次品的抽法种数抽法种数为为(3)(3)解解1(1(直接法直接法)：解解2(2(间接法间接法)：抽出的抽出的3 件中至少有件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从件是次品的抽法种数，就是从100件件产产品中抽出品中抽出3件的抽法种数减去件的抽法种数
12、减去3件都是合格品的抽法种数，即件都是合格品的抽法种数，即 变式：变式：把把(3)(3)中的中的“至少至少”改为改为“至多至多”，则抽法有多少种则抽法有多少种?“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解3.有政治、历史、地理、物理、化学、生物这有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，门学科的学业水平考试成绩，现要从中选现要从中选3门考试成绩门考试成绩.(1)共有多少种不同的选法共有多少种不同的选法?(2)如果物理和化学恰有如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法门被选，那么共有多少种不同的选法?(3)如果物理和化学至少有如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法门被选，那么共有多少种不同的选法?解：解：课本课本P25巩固练习1.组合数的定义和表示 把从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，并用符号 表示.2.组合数的公式3.组合数的性质课堂小结
