四川省凉山市西昌西昌铁路中学高一数学文月考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量＝(1,2)，＝(1,0)，＝(3,4)．若λ为实数， (＋λ)∥，则λ＝( )A. B. C．1 D．2参考答案：B2. 若实数x，y，m，n满足x2+y2=a，m2+n2=b，则mx+ny的最大值为（ ）A． B． C． D．参考答案：B【考点】7F：基本不等式．【分析】利用三角换元，将其代入mx+ny中，由三角函数公式分析可得答案．【解答】解：由x2+y2=a，a≥0．∴令sinα=x， cosα=y，（0≤α＜2π）满足题意．由m2+n2=b，b≥0．∴令sinβ=m， cosβ=n，（0≤β＜2π）满足题意．则mx+ny=sinαsinβ+cosαcosβ=cos（α﹣β）．∵cos（α﹣β）的最大值为1．∴mx+ny的最大值为故选：B．3. 已知数列：2，0，2，0，2，0，…．前六项不适合下列哪个通项公式 参考答案：D略4. 下列函数中与函数相等的是（ ）.A. B. C. D. 参考答案：D5. 与角终边相同的角是A． B． C． D． 参考答案：D6. （10）两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点. 上述四个结论中，可能成立的个数是 （ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个参考答案：C略7. 在股票买卖过程中，经常用到两种曲线：一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x).例如，f(2)＝3是指开始买卖2小时的即时价格为3元；g(2)＝3是指开始买卖2小时内的平均价格为3元．下图给出的四个图象中，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是( )参考答案：C8. 已知,且在第三象限，则（ ****** ）A. B. C. D.参考答案：D9. 把十进制数15化为二进制数为（）（A） 1011 （B）1001 （2） （C） 1111（2） （D）1111参考答案：C略10. 观察以下等式：sin230°+cos260°+sin30°cos60°=，sin220°+cos250°+sin20°cos50°=，sin215°+cos245°+sin15°cos45°=，…分析上述各式的共同特点，判断下列结论中正确的个数是（1）sin2α+cos2β+sinαcosβ=（2）sin2（θ﹣30°）+cos2θ+sin（θ﹣30°）cosθ=（3）sin2（α﹣15°）+cos2（α+15°）+sin（α﹣15°）cos（α+15°）=（4）sin2α+cos2（α+30°）+sinαcos（α+30°）=（ ）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】归纳推理．【专题】对应思想；分析法；推理和证明．【分析】根据已知式子可归纳出当β﹣α=30°时有sin2α+cos2β+sinαcosβ=，依次检验所给四个式子是否符合归纳规律．【解答】解：∵所给式子中的两个角均相差30°，故而当β﹣α=30°时有sin2α+cos2β+sinαcosβ=．∴①错误，②③④正确．故选C．【点评】本题考查了归纳推理的应用，根据已知式子归纳出一般规律是关键．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数，符号表示“不超过的最大整数”，在数轴上，当是整数，就是,当不是整数时，是点左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯（Gauss）函数；如，，；则的值为 参考答案：12. 若实数满足，则称是函数的一个次不动点．记函数 与函数（其中为自然对数的底数）的所有的次不动点之和为，则 ．参考答案：013. 在各个面都是正三角形的四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中成立的是________(填序号)．①BC∥平面PDF；②DF⊥平面PAE；③平面PDF⊥平面ABC；④平面PAE⊥平面ABC.参考答案：①②④14. 已知A（3，0），B（0，4），直线AB上一动点P（x，y），则xy的最大值是 ．参考答案：3【考点】ID：直线的两点式方程；7C：简单线性规划．【分析】由A（3，0），B（0，4），知直线AB的方程是：，由均值不等式得 1==2，故xy≤3．【解答】解：∵A（3，0），B（0，4），∴直线AB的方程是：，由均值不等式得 1==2∴，∴xy≤3 即xy的最大值是3当，即x=，y=2时取最大值．故答案为：3．【点评】本题考查两点式方程和均值不等式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．15. 若直线与圆有公共点，则实数k的取值范围是__________．参考答案：【分析】直线与圆有交点，则圆心到直线的距离小于或等于半径.【详解】直线即，圆的圆心为，半径为，若直线与圆有交点，则，解得,故实数的取值范围是.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线距离公式是常用方法.16. 若扇形的周长为12cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为 cm2.参考答案：9略17. 设向量,若,则___▲_____.参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，已知四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是正三角形，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，设平面PAD∩平面PBC=l．（Ⅰ）求证：l∥平面ABCD；（Ⅱ）求证：PB⊥BC．参考答案：【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）由已知利用线面平行的判定可证BC∥平面PAD，利用线面平行的性质可证BC∥l，进而利用线面平行的判定证明l∥平面ABCD．（Ⅱ）取AD中点O，连OP、OB，由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，利用线面垂直的判定可证AD⊥平面POB，由BC∥AD，可证BC⊥平面POB，利用线面垂直的性质即可证明BC⊥PB．【解答】（本题满分为12分）证明：（Ⅰ）∵BC?平面PAD，AD?平面PAD，AD∥BC，∴BC∥平面PAD…又BC?平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l，∴BC∥l．…又∵l?平面ABCD，BC?平面ABCD，∴l∥平面ABCD．…（Ⅱ）取AD中点O，连OP、OB，由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，又∵OP∩OB=O，∴AD⊥平面POB，…∵BC∥AD，∴BC⊥平面POB，∵PB?平面POB，∴BC⊥PB．…19. （本小题满分14分）已知函数，其中a为常数.（Ｉ）当时，讨论函数的奇偶性；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）当时，求函数的值域.参考答案：（Ｉ）时，，函数的定义域为R . ……………………（1分） …………………………………………（2分）= ks5u= =0 ………………………………………………………（5分） ∴ 时，函数为奇函数. ………………………………………………（6分）（Ⅱ）设,则=, …………（8分）, ,即. ……………………………（10分）所以不论为何实数总为增函数. ……ks5u…………………（11分）（Ⅲ）时， ,, ，. ∴ 时，函数的值域为. ………………………………………（14分）20. 已知向量，，0＜β＜α＜π．（1）若，求的夹角θ的值；（2）设，若，求α，β的值．参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算；9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】（1）由向量的坐标减法运算求得，再由，两边平方后整理可得cosαcosβ+sinαsinβ=0，即，从而得到与的夹角为90°；（2）由向量相等的条件可得，结合平方关系及角的范围即可求得α，β的值．【解答】解：（1）由，，得，由=2﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2，得：cosαcosβ+sinαsinβ=0，∴，∴与的夹角为；（2）由，得：，①2+②2得：，∵0＜β＜α＜π，∴0＜α﹣β＜π，∴，，代入②得：，∵，∴，得β=，．综上所述，，．21. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，为等腰三角形，，平面PAD⊥平面ABCD，且分别为的中点．（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）求三棱锥的体积．参考答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）在平面中找的平行线；（2）转化为平面；（3）以四边形为底面，与中点的连线为高求体积.【详解】（1）证明：取的中点，连结，∵中，分别为的中点，∴，，∵分别为的中点，∴ ，，∴ ，，∴ 为平行四边形，∴ ，∵ 平面，平面，∴ 平面；（2）证明：∵ 平面平面，，平面平面，∴ 平面，∵ 平面∴平面平面（3）取中点，连结，∵平面平面及为等腰直角三角形，∴平面，即为四棱锥的高，∵，∴，∴.【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的证明；以及锥体体积的计算.22. 如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣，0），B（，0），锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标；（Ⅱ）当?=﹣时，求α的值；（Ⅲ）在x轴上是否存在定点M，使得||=||恒成立？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】向量数乘的运算及其几何意义；任意角的三角函数的定义．【分析】（Ⅰ）用α的三角函数的坐标法定义得到P 坐标；（Ⅱ）首先写成两个向量的坐标根据?=﹣，得到关于α的三角函数等式，求α的值；（Ⅲ）假设存在M（x，0），进行向量的模长运算，得到三角等式，求得成立的x值．【解答】解：锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标为（cosα，sinα）；（Ⅱ），， ?=﹣时，即（cos）（cos）+sin2α=，整理得到cos，所以锐角α=60°；（Ⅲ）在x轴上假设存在定点M，设M（x，0），，则由||=||恒成立，得到=，整理得2cosα（2+x）=x2﹣4，所以存在x=﹣2时等式恒成立，所以存在M（﹣2，0）．。