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1、 华侨大学 2016 年硕士研究生入学考试专业课试卷（答案必须写在答题纸上）招生专业 基 础 数 学 科目名称 高等代数 科目代码 823 一、（本题满分一、（本题满分 2020 分）分）计算n阶行列式123naaaaaaaaDaaaaaaana，其中a是常数 二、（本二、（本题满分题满分 2020 分）分）讨论,a b取什么值时，方程组1231231234224axxxxbxxxbxx 有唯一解？无解？有无穷多解？并在有无穷多解时，求出它的一般解。三、（本题满分三、（本题满分 2020 分）分）设我们有以下四个四维的实向量12(1,2,1,0),(1,1,1,1),TT 1(2,1,0,1)
2、,T 2(1,1,3,7)T。令112(,)VL 是由12,生成的子空间，212(,)VL 是由12,生成的子空间。求1V与2V的和12VV以及交12VV的基与维数。四、（本题满分四、（本题满分 1515 分）分）设是欧氏空间V上的一个变换，若对任意的向量,V，都有(),()(,)，其中(,)是V上的内积。求证：是V上的线性变换。共 页 第 页 招生专业 基 础 数 学 科目名称 高等代数 科目代码 823 五、（本题满分五、（本题满分 2020 分）分）设A是n阶正定矩阵。证明：(1)1A和kA都是正定的，其中k是任意正整数。（2）对任意的正实数,a b c，矩阵32naAbAcE也是正定的
3、，其中nE是n阶单位矩阵。六、（本题满分六、（本题满分 1515 分）分）设100101110A。（1）求A的特征多项式。（2）证明A在复数域上可对角化，但是A在有理数域上不可对角化。七七、（本题满分、（本题满分 2020 分）分）设2()12!nxxf xxn。（1）证明：()f x没有重因式。（2）证明：当n是素数时，()f x在有理数域上是不可约的。八八、（本题满分、（本题满分 2 20 0 分）分）设,是数域F上n维线性空间V的线性变换。（1）证明：对非零向量V，存在正整数kn，使得由,(),()k 生成的子空间W是的不变子空间，并求|W在一组基下的矩阵。（2）证明：max的零度，的零度的零度的零度+的零度。（注意：的零度是其核空间Ker的维数）共 页 第 页
