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1、1.如图1,E是直线AB,CD内部一点,ABCD,连接EA,ED(1)探究猜想:若A=25,D=35,则AED等于60度若A=35,D=45,则AED等于80度猜想图1中AED,EAB,EDC的关系并证明你的结论(2)拓展应用:如图2,射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E,与边CD交于点F,分别是被射线FE隔开的4个区域(不含边界,其中区域、位于直线AB上方,P是位于以上四个区域上的点,猜想:PEB,PFC,EPF的关系(直接写出结论,不要求证明)【考点】平行线的性质菁优网版权所有【分析】(1)过点E作EFAB,再由平行线的性质即可得出结论;根据的过程可得出结论;(2)根据题意画出图形,再根
2、据平行线的性质及三角形内角和定理即可得出结论【解答】解:(1)过点E作EFAB,ABCD,ABCDEF,A=25,D=35,1=A=25,2=D=35,AED=1+2=60;过点E作EFAB,ABCD,ABCDEF,A=35,D=45,1=A=35,2=D=45,AED=1+2=80;猜想:AED=EAB+EDC理由:过点E作EFCD,ABDCEFAB(平行于同一条直线的两直线平行),1=EAB,2=EDC(两直线平行,内错角相等),AED=1+2=EAB+EDC(等量代换)(2)如图2,当点P在区域时,ABCD,BEF+CFE=180,PEF+PFE=(PEB+PFC)180PEF+PFE+
3、EPF=180,EPF=180(PEF+PFE)=180(PEB+PFC)+180=360(PEB+PFC);当点P在区域时,如图3所示,ABCD,BEF+CFE=180,EPF+FEP+PFE=180,EPF=PEB+PFC故答案为:(1)60,80【点评】本题考查的是平行线的性质,根据题意画出图形,利用数形结合求解是解答此题的关键2.已知:ABC是等腰直角三角形,动点P在斜边AB所在的直线上,以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ,其中PCQ=90,探究并解决下列问题:(1)如图,若点P在线段AB上,且AC=1+,PA=,则:线段PB=,PC=2;猜想:PA2,PB2,PQ2三者之间的数量关
4、系为PA2+PB2=PQ2;(2)如图,若点P在AB的延长线上,在(1)中所猜想的结论仍然成立,请你利用图给出证明过程;(3)若动点P满足=,求的值(提示:请利用备用图进行探求) 【考点】勾股定理的应用;相似形综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】(1)在等腰直角三角形ACB中,由勾股定理先求得AB的长,然后根据PA的长,可求得PB的长;过点C作CDAB,垂足为D,从而可求得CD、PD的长,然后在Rt三角形CDP中依据勾股定理可求得PC的长;ACB为等腰直角三角形,CDAB,从而可求得:CD=AD=DB,然后根据AP=DCPD,PB=DC+PD,可证明AP2+BP2=2PC2,因为在RtP
5、CQ中,PQ2=2CP2,所以可得出AP2+BP2=PQ2的结论;(2)过点C作CDAB,垂足为D,则AP=(AD+PD)=(DC+PD),PB=(DPBD)=(PDDC),可证明AP2+BP2=2PC2,因为在RtPCQ中,PQ2=2CP2,所以可得出AP2+BP2=PQ2的结论;(3)根据点P所在的位置画出图形,然后依据题目中的比值关系求得PD的长(用含有CD的式子表示),然后在RtACP和RtDCP中由勾股定理求得AC和PC的长度即可【解答】解:(1)如图:ABC是等腰直直角三角形,AC=1+AB=+,PA=,PB=,作CDAB于D,则AD=CD=,PD=ADPA=,在RtPCD中,PC
6、=2,故答案为:,2;如图1ACB为等腰直角三角形,CDAB,CD=AD=DBAP2=(ADPD)2=(DCPD)2=DC22DCPD+PD2,PB2=(DB+PD)2=(DC+DP)2=CD2+2DCPD+PD2AP2+BP2=2CD2+2PD2,在RtPCD中,由勾股定理可知:PC2=DC2+PD2,AP2+BP2=2PC2CPQ为等腰直角三角形,2PC2=PQ2AP2+BP2=PQ2(2)如图:过点C作CDAB,垂足为DACB为等腰直角三角形,CDAB,CD=AD=DBAP2=(AD+PD)2=(DC+PD)2=CD2+2DCPD+PD2,PB2=(DPBD)2=(PDDC)2=DC22
7、DCPD+PD2,AP2+BP2=2CD2+2PD2,在RtPCD中,由勾股定理可知:PC2=DC2+PD2,AP2+BP2=2PC2CPQ为等腰直角三角形,2PC2=PQ2AP2+BP2=PQ2(3)如图:过点C作CDAB,垂足为D当点P位于点P1处时,在RtCP1D中,由勾股定理得:=DC,在RtACD中,由勾股定理得:AC=DC,=当点P位于点P2处时=,在RtCP2D中,由勾股定理得:=,在RtACD中,由勾股定理得:AC=DC,综上所述,的比值为或【点评】本题主要考查的是等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用,根据等腰直角三角形的性质证得:CD=AD=DB,将PA、PA、PQ、AC、P
8、C用含DC的式子表示出来是解题的关键3.问题背景:如图1:在四边形ABCD中,AB=AD,BAD=120,B=ADC=90E,F分别是BC,CD上的点且EAF=60探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是,延长FD到点G使DG=BE连结AG,先证明ABEADG,再证明AEFAGF,可得出结论,他的结论应是EF=BE+DF;探索延伸:如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,B+D=180E,F分别是BC,CD上的点,且EAF=BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由;实际应用:如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东
9、70的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之间的夹角为70,试求此时两舰艇之间的距离【考点】全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】压轴题;探究型【分析】问题背景:根据全等三角形对应边相等解答;探索延伸:延长FD到G,使DG=BE,连接AG,根据同角的补角相等求出B=ADG,然后利用“边角边”证明ABE和ADG全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=AG,BAE=DAG,再求出EAF=GAF,然后利用“边角边”证
10、明AEF和GAF全等,根据全等三角形对应边相等可得EF=GF,然后求解即可;实际应用:连接EF,延长AE、BF相交于点C,然后求出EOF=AOB,判断出符合探索延伸的条件,再根据探索延伸的结论解答即可【解答】解:问题背景:EF=BE+DF;探索延伸:EF=BE+DF仍然成立证明如下:如图,延长FD到G,使DG=BE,连接AG,B+ADC=180,ADC+ADG=180,B=ADG,在ABE和ADG中,ABEADG(SAS),AE=AG,BAE=DAG,EAF=BAD,GAF=DAG+DAF=BAE+DAF=BADEAF=EAF,EAF=GAF,在AEF和GAF中,AEFGAF(SAS),EF=
11、FG,FG=DG+DF=BE+DF,EF=BE+DF;实际应用:如图,连接EF,延长AE、BF相交于点C,AOB=30+90+(9070)=140,EOF=70,EOF=AOB,又OA=OB,OAC+OBC=(9030)+(70+50)=180,符合探索延伸中的条件,结论EF=AE+BF成立,即EF=1.5(60+80)=210海里答:此时两舰艇之间的距离是210海里【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,读懂问题背景的求解思路,作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键,也是本题的难点4.(1)如图(1),已知:在ABC中,BAC=90,AB=AC,直线m经过点A,BD直线m
12、,CE直线m,垂足分别为点D、E证明:DE=BD+CE(2)如图(2),将(1)中的条件改为:在ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有BDA=AEC=BAC=,其中为任意锐角或钝角请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由(3)拓展与应用:如图(3),D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为BAC平分线上的一点,且ABF和ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若BDA=AEC=BAC,试判断DEF的形状【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】(1)根据BD直线m,
13、CE直线m得BDA=CEA=90,而BAC=90,根据等角的余角相等得CAE=ABD,然后根据“AAS”可判断ADBCEA,则AE=BD,AD=CE,于是DE=AE+AD=BD+CE;(2)与(1)的证明方法一样;(3)由前面的结论得到ADBCEA,则BD=AE,DBA=CAE,根据等边三角形的性质得ABF=CAF=60,则DBA+ABF=CAE+CAF,则DBF=FAE,利用“SAS”可判断DBFEAF,所以DF=EF,BFD=AFE,于是DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60,根据等边三角形的判定方法可得到DEF为等边三角形【解答】证明:(1)BD直线m,CE直线m,BDA=CEA=90,BAC=90,BAD+CAE=90,BAD+ABD=90,CAE=ABD,在ADB和CEA中,ADBCEA(AAS),AE=BD,AD=CE,DE=AE+AD=BD+CE;(2)成立BDA=BAC=,DBA+BAD=BAD+CAE=180,CAE=ABD,在ADB和CEA中,ADBCEA(AAS),AE=BD,AD=CE,DE=AE+AD=BD+CE;(3)DEF是等边三角