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1、1.如图1，E是直线AB，CD内部一点，ABCD，连接EA，ED（1）探究猜想：若A=25，D=35，则AED等于60度若A=35，D=45，则AED等于80度猜想图1中AED，EAB，EDC的关系并证明你的结论（2）拓展应用：如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域、位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：PEB，PFC，EPF的关系（直接写出结论，不要求证明）【考点】平行线的性质菁优网版权所有【分析】（1）过点E作EFAB，再由平行线的性质即可得出结论；根据的过程可得出结论；（2）根据题意画出图形，再根
2、据平行线的性质及三角形内角和定理即可得出结论【解答】解：（1）过点E作EFAB，ABCD，ABCDEF，A=25，D=35，1=A=25，2=D=35，AED=1+2=60；过点E作EFAB，ABCD，ABCDEF，A=35，D=45，1=A=35，2=D=45，AED=1+2=80；猜想：AED=EAB+EDC理由：过点E作EFCD，ABDCEFAB（平行于同一条直线的两直线平行），1=EAB，2=EDC（两直线平行，内错角相等），AED=1+2=EAB+EDC（等量代换）（2）如图2，当点P在区域时，ABCD，BEF+CFE=180，PEF+PFE=（PEB+PFC）180PEF+PFE+
3、EPF=180，EPF=180（PEF+PFE）=180（PEB+PFC）+180=360（PEB+PFC）；当点P在区域时，如图3所示，ABCD，BEF+CFE=180，EPF+FEP+PFE=180，EPF=PEB+PFC故答案为：（1）60，80【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键2.已知：ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中PCQ=90，探究并解决下列问题：（1）如图，若点P在线段AB上，且AC=1+，PA=，则：线段PB=，PC=2；猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关
4、系为PA2+PB2=PQ2；（2）如图，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图给出证明过程；（3）若动点P满足=，求的值（提示：请利用备用图进行探求） 【考点】勾股定理的应用；相似形综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）在等腰直角三角形ACB中，由勾股定理先求得AB的长，然后根据PA的长，可求得PB的长；过点C作CDAB，垂足为D，从而可求得CD、PD的长，然后在Rt三角形CDP中依据勾股定理可求得PC的长；ACB为等腰直角三角形，CDAB，从而可求得：CD=AD=DB，然后根据AP=DCPD，PB=DC+PD，可证明AP2+BP2=2PC2，因为在RtP
5、CQ中，PQ2=2CP2，所以可得出AP2+BP2=PQ2的结论；（2）过点C作CDAB，垂足为D，则AP=（AD+PD）=（DC+PD），PB=（DPBD）=（PDDC），可证明AP2+BP2=2PC2，因为在RtPCQ中，PQ2=2CP2，所以可得出AP2+BP2=PQ2的结论；（3）根据点P所在的位置画出图形，然后依据题目中的比值关系求得PD的长（用含有CD的式子表示），然后在RtACP和RtDCP中由勾股定理求得AC和PC的长度即可【解答】解：（1）如图：ABC是等腰直直角三角形，AC=1+AB=+，PA=，PB=，作CDAB于D，则AD=CD=，PD=ADPA=，在RtPCD中，PC
6、=2，故答案为：，2；如图1ACB为等腰直角三角形，CDAB，CD=AD=DBAP2=（ADPD）2=（DCPD）2=DC22DCPD+PD2，PB2=（DB+PD）2=（DC+DP）2=CD2+2DCPD+PD2AP2+BP2=2CD2+2PD2，在RtPCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，AP2+BP2=2PC2CPQ为等腰直角三角形，2PC2=PQ2AP2+BP2=PQ2（2）如图：过点C作CDAB，垂足为DACB为等腰直角三角形，CDAB，CD=AD=DBAP2=（AD+PD）2=（DC+PD）2=CD2+2DCPD+PD2，PB2=（DPBD）2=（PDDC）2=DC22
7、DCPD+PD2，AP2+BP2=2CD2+2PD2，在RtPCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，AP2+BP2=2PC2CPQ为等腰直角三角形，2PC2=PQ2AP2+BP2=PQ2（3）如图：过点C作CDAB，垂足为D当点P位于点P1处时，在RtCP1D中，由勾股定理得：=DC，在RtACD中，由勾股定理得：AC=DC，=当点P位于点P2处时=，在RtCP2D中，由勾股定理得：=，在RtACD中，由勾股定理得：AC=DC，综上所述，的比值为或【点评】本题主要考查的是等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用，根据等腰直角三角形的性质证得：CD=AD=DB，将PA、PA、PQ、AC、P
8、C用含DC的式子表示出来是解题的关键3.问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，BAD=120，B=ADC=90E，F分别是BC，CD上的点且EAF=60探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G使DG=BE连结AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是EF=BE+DF；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180E，F分别是BC，CD上的点，且EAF=BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东
9、70的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70，试求此时两舰艇之间的距离【考点】全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】压轴题；探究型【分析】问题背景：根据全等三角形对应边相等解答；探索延伸：延长FD到G，使DG=BE，连接AG，根据同角的补角相等求出B=ADG，然后利用“边角边”证明ABE和ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AG，BAE=DAG，再求出EAF=GAF，然后利用“边角边”证
10、明AEF和GAF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，然后求解即可；实际应用：连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后求出EOF=AOB，判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可【解答】解：问题背景：EF=BE+DF；探索延伸：EF=BE+DF仍然成立证明如下：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，B+ADC=180，ADC+ADG=180，B=ADG，在ABE和ADG中，ABEADG（SAS），AE=AG，BAE=DAG，EAF=BAD，GAF=DAG+DAF=BAE+DAF=BADEAF=EAF，EAF=GAF，在AEF和GAF中，AEFGAF（SAS），EF=
11、FG，FG=DG+DF=BE+DF，EF=BE+DF；实际应用：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，AOB=30+90+（9070）=140，EOF=70，EOF=AOB，又OA=OB，OAC+OBC=（9030）+（70+50）=180，符合探索延伸中的条件，结论EF=AE+BF成立，即EF=1.5（60+80）=210海里答：此时两舰艇之间的距离是210海里【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，读懂问题背景的求解思路，作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键，也是本题的难点4.（1）如图（1），已知：在ABC中，BAC=90，AB=AC，直线m经过点A，BD直线m
12、，CE直线m，垂足分别为点D、E证明：DE=BD+CE（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中为任意锐角或钝角请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为BAC平分线上的一点，且ABF和ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若BDA=AEC=BAC，试判断DEF的形状【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）根据BD直线m，
13、CE直线m得BDA=CEA=90，而BAC=90，根据等角的余角相等得CAE=ABD，然后根据“AAS”可判断ADBCEA，则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；（2）与（1）的证明方法一样；（3）由前面的结论得到ADBCEA，则BD=AE，DBA=CAE，根据等边三角形的性质得ABF=CAF=60，则DBA+ABF=CAE+CAF，则DBF=FAE，利用“SAS”可判断DBFEAF，所以DF=EF，BFD=AFE，于是DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60，根据等边三角形的判定方法可得到DEF为等边三角形【解答】证明：（1）BD直线m，CE直线m，BDA=CEA=90，BAC=90，BAD+CAE=90，BAD+ABD=90，CAE=ABD，在ADB和CEA中，ADBCEA（AAS），AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立BDA=BAC=，DBA+BAD=BAD+CAE=180，CAE=ABD，在ADB和CEA中，ADBCEA（AAS），AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE；（3）DEF是等边三角
