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1、中国教育学会中学数学教学专业委员会“周报杯”2022年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分)1方程组的解的个数为( )(A)1 (B) 2(C) 3 (D)4答:(A)解:若0,则于是,显然不可能若,则 于是,解得,进而求得所以,原方程组的解为只有1个解故选(A) 2口袋中有20个球,其中白球9个,红球5个,黑球6个现从中任取10个球,使得白球不少于2个但不多于8个,红球不少于2个,黑球不多于3个,那么上述取法的
2、种数是( )(A) 14 (B) 16 (C)18 (D)20答:(B)解:用枚举法: 红球个数 白球个数 黑球个数 种 数 5 2,3,4,5 3,2,1,0 4 4 3,4,5,6 3,2,1,0 4 3 4,5,6,7 3,2,1,0 4 2 5,6,7,8 3,2,1,0 4所以,共16种故选(B)3已知为锐角三角形,经过点B,C,且与边AB,AC分别相交于点D,E 若的半径与的外接圆的半径相等,则一定经过的( )(A)内心 (B)外心 (C)重心 (D)垂心答:(B)解: 如图,连接BE,因为为锐角三角形,所以,均为锐角又因为的半径与的外接圆的半径相等,且为两圆的公共弦,所以于是,(
3、第3题答案图)若的外心为,则,所以,一定过的外心故选(B)4已知三个关于x的一元二次方程,恰有一个公共实数根,则的值为( )(A) 0 (B)1 (C)2 (D)3答:(D)解:设是它们的一个公共实数根,则,把上面三个式子相加,并整理得因为,所以于是故选(D)5方程的整数解(x,y)的个数是( ) (A)0 (B)1 (C)3 (D)无穷多答:(A)解:原方程可化为,因为三个连续整数的乘积是3的倍数,所以上式左边是3的倍数,而右边除以3余2,这是不可能的所以,原方程无整数解故选(A).二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)6如图,在直角三角形ABC中,CA4点P是半圆弧AC的中点,连接
4、BP,线段BP把图形APCB分成两部分,则这两部分面积之差的绝对值是 答:4解:如图,设AC与BP相交于点D,点D关于圆心O的对称点记为点E,线段BP把图形APCB分成两部分,这两部分面积之差的绝对值是BEP的面积,即BOP面积的两倍而(第6题答案图)因此,这两部分面积之差的绝对值是47如图, 点A,C都在函数的图象上,点B,D都在轴上,且使得OAB,BCD都是等边三角形,则点D的坐标为 答:(,0) (第7题答案图)解:如图,分别过点A,C作x轴的垂线,垂足分别为E,F设OEa,BFb, 则AE,CF,所以,点A,C的坐标为(,),(2b,),所以 解得因此,点D的坐标为(,0)8已知点A,
5、B的坐标分别为(1,0),(2,0) 若二次函数的图象与线段AB恰有一个交点,则的取值范围是 答:,或者解:分两种情况:()因为二次函数的图象与线段AB只有一个交点,且点A,B的坐标分别为(1,0),(2,0),所以,得由,得,此时,符合题意;由,得,此时,不符合题意()令,由判别式,得当时,不合题意;当时,符合题意综上所述,的取值范围是,或者9如图,则n 答:6解:如图,设AF与BG相交于点Q,则,于是(第9题答案图)所以,n610已知对于任意正整数n,都有,则 答:解:当2时,有 ,两式相减,得 ,所以 因此 三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)11(A)已知点M,N的坐标分别为
6、(0,1),(0,1),点P是抛物线上的一个动点(1)判断以点P为圆心,PM为半径的圆与直线的位置关系;(2)设直线PM与抛物线的另一个交点为点Q,连接NP,NQ,求证:解:(1)设点P的坐标为,则PM;又因为点P到直线的距离为,所以,以点P为圆心,PM为半径的圆与直线相切 5分(第11A题答案图)(2)如图,分别过点P,Q作直线的垂线,垂足分别为H,R由(1)知,PHPM,同理可得,QMQR因为PH,MN,QR都垂直于直线,所以,PHMNQR,于是 ,所以 ,因此,RtRt于是,从而 15分 12(A)已知a,b都是正整数,试问关于x的方程是否有两个整数解?如果有,请把它们求出来;如果没有,
7、请给出证明.解:不妨设b,且方程的两个整数根为(),则有所以 ,. 5分因为,b都是正整数,所以x1,x2均是正整数,于是,0,0,1,1,所以 或 (1)当时,由于a,b都是正整数,且b,可得a1,b3,此时,一元二次方程为,它的两个根为,(2)当时,可得a1,b1,此时,一元二次方程为,它无整数解.综上所述,当且仅当a1,b3时,题设方程有整数解,且它的两个整数解为, 15分13(A)已知AB为半圆O的直径,点P为直径AB上的任意一点以点A为圆心,AP为半径作A,A与半圆O相交于点C;以点B为圆心,BP为半径作B,B与半圆O相交于点D,且线段CD的中点为M求证:MP分别与A和B相切(第13
8、A题答案图)证明:如图,连接AC,AD,BC,BD,并且分别过点C,D作AB的垂线,垂足分别为,则CEDF因为AB是O的直径,所以在Rt和Rt中,由射影定理得, 5分两式相减可得 ,又 ,于是有 ,即 ,所以,也就是说,点P是线段EF的中点因此,MP是直角梯形的中位线,于是有,从而可得MP分别与A和B相切15分14(A)(1)是否存在正整数m,n,使得?(2)设(3)是给定的正整数,是否存在正整数m,n,使得?解:(1)答案是否定的若存在正整数m,n,使得,则,显然,于是,所以,不是平方数,矛盾 5分(2)当时,若存在正整数m,n,满足,则,而,故上式不可能成立 10分当4时,若(t是不小于2
9、的整数)为偶数,取,则 , ,因此这样的(m,n)满足条件若1(t是不小于2的整数)为奇数,取,则 , ,因此这样的(m,n)满足条件 综上所述,当时,答案是否定的;当4时,答案是肯定的 15分 注:当4时,构造的例子不是唯一的11(B)已知抛物线:和抛物线:相交于A,B两点. 点P在抛物线上,且位于点A和点B之间;点Q在抛物线上,也位于点A和点B之间. (1)求线段AB的长;(2)当PQy轴时,求PQ长度的最大值解:(1)解方程组得 所以,点A,B的坐标分别是(-2,6),(2,-6)于是5分(2)如图,当PQy轴时,设点P,Q的坐标分别为, , ,因此 PQ8,当时等号成立,所以,PQ的长
10、的最大值8 (第11B题答案图) 15分12(B)实数a,b,c满足abc,且,abc1求最大的实数k,使得不等式恒成立解:当,时,实数a,b,c满足题设条件,此时4 5分下面证明:不等式对满足题设条件的实数a,b,c恒成立由已知条件知,a,b,c都不等于0,且因为,所以 由一元二次方程根与系数的关系知,a,b是一元二次方程的两个实数根,于是0,所以 10分因此 15分13(B)如图,点E,F分别在四边形ABCD的边AD,BC的延长线上,且满足若,的延长线相交于点,的外接圆与的外接圆的另一个交点为点,连接PA,PB,PC,PD求证:(1);(2)证明:(1)连接PE,PF,PG,因为,所以又因为,所以,于是有 ,从而 ,所以 (第13B题答案图) 又已知,所以, 10分(2)由于,结合(1)知,从而有 ,所以,因此 15分14(B)证明:对任意三角形,一定存在两条边,它们的长u,v满足1证明:设任意ABC的三边长为a,b,c,不妨设若结论不成立,则必有,