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1、江西省抚州市高职单招2023年数学自考真题(含答案)学校:_ 班级:_ 姓名:_ 考号:_一、单选题(10题)1.已知椭圆的一个焦点为F(0,1),离心率e=1/2,则该椭圆的标准方程为()A.x2/3+y2/4=1B.x2/4+y2/3=1C.x2/2+y2=1D.y2/2+x2=12.函数A.1 B.2 C.3 D.43.拋物线y= 2x2的准线方程为( )A.y= -1/8 B.y= -1/4 C.y= -1/2 D.y= -14.在等差数列an中,若a2=3,a5=9,则其前6项和S6=()A.12 B.24 C.36 D.485.设复数z=1+i(i为虚数单位),则2/z+z2=()
2、A.l+i B.l-i C.-l-i D.-l+i6.A.3/5 B.-3/5 C.4/5 D.-4/57.在等差数列an中,如果a3+a4+a5+a6+a7+a8=30,则数列的前10项的和S10为()A.30 B.40 C.50 D.608.tan150的值为()A.B.C.D.9.在2,0,1,5这组数据中,随机取出三个不同的数,则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为()A.3/4 B.5/8 C.1/2 D.1/410.下列命题中,假命题的是()A.a=0且b=0是AB=0的充分条件B.a=0或b=0是AB=0的充分条件C.a=0且b=0是AB=0的必要条件D.a=0或b=0是AB
3、=0的必要条件二、填空题(10题)11.若ABC 中,C=90,则=。12.13.14.15.函数的定义域是_.16.直线经过点(-1,3),其倾斜角为135,则直线l的方程为_.17.已知正实数a,b满足a+2b=4,则ab的最大值是_.18.双曲线x2/4-y2/3=1的离心率为_.19.20.抛物线y2=2x的焦点坐标是。三、计算题(5题)21.设函数f(x)既是R上的减函数,也是R上的奇函数,且f(1)=2.(1) 求f(-1)的值;(2) 若f(t2-3t+1)-2,求t的取值范围.22.已知函数y=cos2x + 3sin2x,x R求:(1) 函数的值域;(2) 函数的最小正周期
4、。23.甲、乙两人进行投篮训练,己知甲投球命中的概率是1/2,乙投球命中的概率是3/5,且两人投球命中与否相互之间没有影响.(1) 若两人各投球1次,求恰有1人命中的概率;(2) 若两人各投球2次,求这4次投球中至少有1次命中的概率.24.已知函数f(x)的定义域为x|x0 ,且满足.(1) 求函数f(x)的解析式;(2) 判断函数f(x)的奇偶性,并简单说明理由.25.有四个数,前三个数成等差数列,公差为10,后三个数成等比数列,公比为3,求这四个数.四、简答题(10题)26.拋物线的顶点在原点,焦点为椭圆的左焦点,过点M(-1,-1)引抛物线的弦使M为弦的中点,求弦长27.一条直线l被两条
5、直线:4x+y+6=0,3x-5y-6=0截得的线段中点恰好是坐标原点,求直线l的方程.28.已知函数.(1) 求f(x)的定义域;(2) 判断f(x)的奇偶性,并加以证明;(3) a1时,判断函数的单调性并加以证明。29.求过点P(2,3)且被两条直线:3x+4y-7=0,:3x+4y+8=0所截得的线段长为的直线方程。30.在ABC中,BC=,AC=3,sinC=2sinA(1)求AB的值(2)求的值31.四棱锥S-ABCD中,底面ABOD为平行四边形,侧面SBC丄底面ABCD(1)证明:SA丄BC32.平行四边形ABCD中,CBD沿对角线BD折起到平面CBD丄平面ABD,求证:AB丄DE
6、。33.如图:在长方体从中,E,F分别为和AB和中点。(1)求证:AF/平面。(2)求与底面ABCD所成角的正切值。34.如图,四棱锥P-ABCD中,PA丄底面ABCD,AB/CD,AD=CD=1,BAD=120,PA=,ACB=90。(1)求证:BC丄平面PAC。(2)求点B到平面PCD的距离。35.求到两定点A(-2,0)(1,0)的距离比等于2的点的轨迹方程五、解答题(10题)36.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为棱AD,AB的中点.(1)求证:EF/平面CB1D1;(2)求证:平面CAA1C1丄平面CB1D137.已知等比数列an的公比q=2,且a2,a3+1,a
7、4成等差数列.求a1及an;(2)设bn=an+n,求数列bn前5项和S5.38.39.已知椭圆的两焦点为F1(-1,0),F2(1,0),P为椭圆上的一点,且2|F1F2|PF1|+|PF2|.(1)求此椭圆的标准方程;(2)若点P在第二象限,F2F1P=120,求PF1F2的面积.40.41.已知椭圆的中心为原点,焦点在x轴上,离心率为,且经过点M(4,1),直线l:y=x+m交椭圆于异于M的不同两点A,B直线MA,MB与x轴分别交于点E,F.(1)求椭圆的标准方程;(2)求m的取值范围.42.在直角梯形ABCD中,AB/DC,AB丄BC,且AB=4,BC=CD=2.点M为线段AB上的一动
8、点,过点M作直线a丄AB.令AM=x,记梯形位于直线a左侧部分的面积S=f(x).(1)求函数f(x)的解析式;(2)作出函数f(x)的图象.43.设函数f(x)=x3-3ax+b(a0).(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(x)处与直线y=8相切,求a,b的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值点.44.如图,AB是O的直径,P是O所在平面外一点,PA垂直于O所在的平面,且PA=AB=10,设点C为O上异于A,B的任意一点.(1)求证:BC平面PAC;(2)若AC=6,求三棱锥C-PAB的体积.45.如图,在三棱锥A-BCD中,AB丄平面BCD,BC丄BD,BC=3,BD=4,直线AD与
9、平面BCD所成的角为45点E,F分别是AC,AD的中点.(1)求证:EF/平面BCD;(2)求三棱锥A-BCD的体积.六、单选题(0题)46.设ab,cd则()A.acbd B.a+cb+c C.a+db+c D.adbe参考答案1.A椭圆的标准方程.由题意得,椭圆的焦点在y轴上,且c=l,e=c/a=1/2,故a=2,b=则補圆的标准方程为x2/3+y2/4=12.B3.A4.C等差数列前n项和公式.设5.A复数的计算.Z=1+i,2/z+z2=2/1+i(1+i)2=1-i+2i=1+i.6.D7.C8.B三角函数诱导公式的运用.tan150=tan(180-30)=-tan30=9.C随
10、机抽样的概率.分析题意可知,共有(0,1,2),(0,2,5),(1,2,5),(0,1,5)4种取法,符合题意的取法有2种,故所求概率P=1/2.故选C10.C11.0-1612.13.14.-1/215.x|1x5 且x2,16.x+y-2=017.2基本不等式求最值.由题18.e=双曲线的定义.因为19.(-,-2)(4,+)20.(1/2,0)抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标为F(P/2,0)。抛物线方程为y2=2x,2p=2,得P/2=1/2抛物线开口向右且以原点为顶点,抛物线的焦点坐标是(1/2,0)。21.解:(1)因为f(x)=在R上是奇函数所以f(-x)=-f(x),f(
11、-1)=-f(1)=-2(2)f(t2-3t+1)-2=f(-1)因为f(x)=在R上是减函数,t2-3t+1-1所以1t222.23.24.25.26.27.28.(1)-1x1(2)奇函数(3)单调递增函数29.x-7y+19=0或7x+y-17=030.31.证明:作SO丄BC,垂足为O,连接AO侧面SB丄底面ABCDSO丄底面ABCDSA=SB0A=0B又ABC=45AOB是等腰直角三角形则OA丄OB得SA丄BC32.33.34.证明:(1)PA底面ABCDPA丄BC又ACB=90,BC丄AC则BC丄平面PAC(2)设点B到平面PCD的距离为hAB/CDAB/平面PCD又BAD=120
12、ADC=60又AD=CD=1则ADC为等边三角形,且AC=1PA=PD=PC=235.36.(1)如图,连接BD,在正方体AC1中,对角线BD/B1D1.又因为,E,F分别为棱AD,AB的中点,所以EF/BD,所以EF/B1D1,又因为B1D1包含于平面CB1D1,所以EF/平面CB1D1.37.(1)由题可得2a3+2=a2+a4,所以2a122+2=a12+a123所以a1=1,an=12n+1=2n-1(2)bn=2n-1+n,S5=1+2+3+4+5+1+2+4+8+16=46.38.39.40.41.(1)设椭圆的方程为x2/a2+y2/b2=1因为e=,所以a2=4b2,又因为椭圆
13、过点M(4,1),所以16/a2+1/b2=1,解得b2=5,a2=20,故椭圆标准方x2/20+y2/5=1(2)将y=m+x:代入x2/20+y2/5=1并整理得5x2+8mx+4m2-20=0令=(8m2)-20(4m2-20)0,解得-5m5.又由题意可知直线不过M(4,1),所以4+m1,m-3,所以m的取值范围是(-5,-3)(-3,5).42.43.(1)f(x)=3x2-3a,曲线:y=f(x)在点(2,f(x)处与直线y=8相切,44.(1)PA垂直于O所在的平面,BC包含于O所在的平面,PABC,又AB为O的直径,C为O上异于A、B的-点,ACBC,且PAAC=A,BC平面PAC.(2)由(1)知ABC为直角三角形且ACB=90,又AC=6,AB=10,又PA=10,PAAC,SPAC=1/2PA.AC=1/