《中考数学二轮复习考点突破专题37 二次函数问题（教师版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学二轮复习考点突破专题37 二次函数问题（教师版）（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题37 二次函数问题1.二次函数的概念：一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c(a0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。抛物线叫做二次函数的一般式。2.二次函数y=ax2 +bx+c(a0)的图像与性质yxO（1）对称轴：（2）顶点坐标：（3）与y轴交点坐标（0，c）（4）增减性：当a0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a0时，抛物线的开口向上；当a0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图
2、像与x轴没有交点。6函数平移规律：左加右减、上加下减.【例题1】（2020贵州黔西南）如图，抛物线yax2bx4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x，连接AC，AD，BC若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（ ）A. 点B坐标为(5，4)B. ABADC. aD. OCOD16【答案】D【解析】由抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，可得点A的坐标，然后由抛物线的对称性可得点B的坐标，由点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，可知ACO=ACB，再结合平行线的性质可判断BAC=ACB，从而可知
3、AB=AD；过点B作BEx轴于点E，由勾股定理可得EC的长，则点C坐标可得，然后由对称性可得点D的坐标，则OCOD的值可计算；由勾股定理可得AD的长，由交点式可得抛物线的解析式，根据以上计算或推理，对各个选项作出分析即可解：因为抛物线yax2bx4交y轴于点A，所以A（0，4）因为对称轴为直线x，ABx轴，所以B（5，4），选项A正确，不符合题意如答图，过点B作BEx轴于点E，则BE4，AB5因为ABx轴，所以BACACO因为点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，所以ACOACB，所以BACACB，所以BCAB5在RtBCE中，由勾股定理得EC3，所以C（8，0），因为对称轴为直线x，所
4、以D（3，0）在RtADO中，OA4，OD3，所以AD5，所以ABAD，选项B正确，不符合题意设yax2bx4a(x3)(x8)，将A（0，4）代入得4a(03)(08)，解得a，选项C正确，不符合题意因为OC8，OD3，所以OCOD24，选项D错误，符合题意，因此本题选D【点拨】本题考查了二次函数的性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的相关性质并数形结合是解题的关键【对点练习】（2020湖北天门模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（1，0），（3，0）对于下列命题：b2a=0；abc0；a2b+4c0；8a+c0其中正确的有（ ）
5、A3个 B2个 C1个 D0个【答案】A【点拨】根据图象可得：a0，c0，对称轴：。它与x轴的两个交点分别为（1，0），（3，0），对称轴是x=1，。b+2a=0。故命题错误。a0，b0。又c0，abc0。故命题正确。b+2a=0，a2b+4c=a+2b4b+4c=4b+4c。ab+c=0，4a4b+4c=0。4b+4c=4a。a0，a2b+4c=4b+4c=4a0。故命题正确。根据图示知，当x=4时，y0，16a+4b+c0。由知，b=2a，8a+c0。故命题正确。正确的命题为：三个。故选A。【点拨】二次函数图象与系数的关系。【例题2】（2020无锡）二次函数yax23ax+3的图象过点A（
6、6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为 【答案】（，9）或（，6）【分析】把点A（6，0）代入yax23ax+3得，036a18a+3，得到yx2x+3，求得B（0，3），抛物线的对称轴为x，设点M的坐标为：（，m），当ABM90，过B作BD对称轴于D，当MAB90，根据三角函数的定义即可得到结论【解析】把点A（6，0）代入yax23ax+3得，036a18a+3，解得：a，yx2x+3，B（0，3），抛物线的对称轴为x，设点M的坐标为：（，m），当ABM90，过B作BD对称轴于D，则123，tan2tan12，2，DM3，M
7、（，6），当MAB90，tan3tan12，MN9，M（，9），综上所述，点M的坐标为（，9）或（，6）【对点练习】已知抛物线y=ax23x+c（a0）经过点（2，4），则4a+c1= 【答案】-3【解析】二次函数图象上点的坐标特征将点（2，4）代入y=ax23x+c（a0），即可求得4a+c的值，进一步求得4a+c1的值把点（2，4）代入y=ax23x+c，得4a+6+c=4，4a+c=2，4a+c1=3，故答案为3【例题3】（2020河南）如图，抛物线yx2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OAOB，点G为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；（2）点M，N为
8、抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围【答案】见解析。【分析】（1）先求出点B，点A坐标，代入解析式可求c的值，即可求解；（2）先求出点M，点N坐标，即可求解【解析】（1）抛物线yx2+2x+c与y轴正半轴分别交于点B，点B（0，c），OAOBc，点A（c，0），0c2+2c+c，c3或0（舍去），抛物线解析式为：yx2+2x+3，yx2+2x+3（x1）2+4，顶点G为（1，4）；（2）yx2+2x+3（x1）2+4，对称轴为直线x1，点M，N为抛物线上两点（点M在点
9、N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点M的横坐标为2或4，点N的横坐标为6，点M坐标为（2，5）或（4，5），点N坐标（6，21），点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，21yQ4【对点练习】如图，抛物线y=x2bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】见解析。【解析】（1）由题意得，解得b=4，c=3，抛物线的解析式为y=x24x+3；（2）点A与点C关于x=2对称，连接BC与x=2交于点
10、P，则点P即为所求，根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0），y=x24x+3与y轴的交点为（0，3），设直线BC的解析式为：y=kx+b，解得，k=1，b=3，直线BC的解析式为：y=x+3，则直线BC与x=2的交点坐标为：（2，1）点P的交点坐标为：（2，1）【点拨】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和最短路径问题，掌握待定系数法求解析式的一般步骤和轴对称的性质是解题的关键一、选择题1（2020鄂州）如图，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C下列结论：abc0，2a+b0，4a2b+c0，3a+c0，其中正确的结论个数为（）A1个B2个C
11、3个D4个【答案】B【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴求出2a与b的关系【解析】由抛物线的开口向上知a0，对称轴位于y轴的右侧，b0抛物线与y轴交于负半轴，c0，abc0；故错误；对称轴为x1，得2ab，即2a+b0，故错误；如图，当x2时，y0，4a2b+c0，故正确；当x1时，y0，0ab+ca+2a+c3a+c，即3a+c0故正确综上所述，有2个结论正确2（2020株洲）二次函数yax2+bx+c，若ab0，ab20，点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数的图象上，其中x1x2，x1+x20，则（）Ay1y2By1y
12、2Cy1y2Dy1、y2的大小无法确定【答案】B【分析】首先分析出a，b，x1的取值范围，然后用含有代数式表示y1，y2，再作差法比较y1，y2的大小【解析】ab20，b20，a0又ab0，b0，x1x2，x1+x20，x2x1，x10点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数yax2+bx+c的图象上，y1y22bx10y1y23（2020襄阳）二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：ac0；3a+c0；4acb20；当x1时，y随x的增大而减小其中正确的有（）A4个B3个C2个D1个【答案】B【分析】二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析判断即可【解析】抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，a0，c0，ac0，结论正确；抛物线对称轴为直线x1，1，b2a，抛物线经过点（1，0），ab+c0，a+2a+c0，即3a+c0，结论正确；抛物线与x轴由两个交点，b24ac0，即4acb20，结论正确；抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x1，当x1时，y随x的增大而减小，结论错误；
