《人教A版选修21第二章2.2椭圆的方程及性质学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版选修21第二章2.2椭圆的方程及性质学案（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、椭圆的方程及性质一、学习目标1了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程2掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形3加深理解椭圆定义及标准方程，能熟练求解与椭圆有关的轨迹问题二、重点难点1利用定义法、待定系数法求椭圆的标准方程(重点) 2会求简单的与椭圆相关的轨迹问题(难点)3椭圆的简单几何性质(重点)4求椭圆的离心率(难点)。三、知识梳理1、椭圆的定义文字语言图形语言符号语言平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆xyOMF1F2注：(1)当2a|F1F2|时，P点的轨迹是线段；(2) 当2a|F1F2|时，P点不存在
2、。2. 椭圆的标准方程推导【思考】我们已经知道了什么样的图形是椭圆，接下来我们来推导椭圆的标准方程。在平面内建立直角坐标系，我们令椭圆的两个焦点坐标分别为；。椭圆上的点到两个焦点的距离之和为。那么椭圆的标准方程是什么呢？3.椭圆的标准方程及简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程图形性质对称性对称轴：x轴、y轴；对称中心：(0，0)。顶点A1(a，0)，A2(a，0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b，0)，B2(b，0)范围axa，bybbxb，aya轴长轴的长为2a；短轴的长为2b焦点焦距离心率，越小，椭圆越圆，越大，椭圆越扁a，b，c的关系4辨明椭圆
3、定义中两个易误点注意：在椭圆的定义中，不要忽视2a|F1F2|这一条件，当2a|F1F2|时，其轨迹是椭圆；当2a|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2；当2a|F1F2|时，不存在轨迹。5.求椭圆标准方程的两种方法(1)定义法：根据题中的条件，如果可以判断出来是椭圆，再确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程(2)待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a、b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的一般方程：四、夯基释义1对椭圆定义的认识（1）平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 ( )（2）动点P到两
4、定点A(0，2)，B(0,2)的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆 ( )2对椭圆的几何性质的理解（1）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆。( )（2）椭圆的离心率为。( )（3）椭圆的短半轴是。（ ）3椭圆的方程（1）若椭圆的焦距是2，则。( )（2）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为(1,0)，离心率等于，则C的方程是。( )五典例剖析题型一 椭圆的定义1.已知动点满足，则动点的轨迹是 。2.(2019北京东城期末)过椭圆的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的ABF2的周长为()A2 B4 C8 D23.F1，F2是椭圆的两个焦点，A为椭圆上一点，且AF1F
5、245，则三角形AF1F2的面积为（ ） A7 B C D课堂小结：1. 椭圆上的点到两个焦点的距离之和一定是常数，当碰到椭圆上的点与一个焦点的连线时，就要把这个点和另一个焦点的连线作出，这样就可以根据椭圆定义分析解决问题2. 也可以利用定义求a的值，如2a|PF1|PF2|.课堂练习：若椭圆C：的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF2|4则F1PF2等于()A30 B60 C120 D150题型二 椭圆的标准方程【例1】（基础题）求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是、，并且椭圆经过点；（2） 经过两点，的椭圆的标准方程（3） 以的长轴为短轴，且离心率相同.点评：求
6、椭圆的方程首先清楚椭圆的定义，还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间的关系。课堂小结：用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能(2)设方程：根据上述判断设出方程(3)找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c的方程组(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求【课堂练习】已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(，)，则该椭圆的方程为_【课堂练习】(2019徐州)已知F1、F2是椭圆C：(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1PF2，若PF1F2的面积为9，则b_；当PF1F
7、2的周长为18时，该椭圆的标准方程是_课堂小结：椭圆方程的2个求法及1个注意点：(1)2个求法：定义法、待定系数法；(2)1个注意点：利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a|F1F2|这一条件。椭圆中焦点三角形的5个常用结论(1)|PF1|PF2|2a. (2)4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos ；(F1PF2)(3)当P为短轴端点时，最大(4)SPF1F2|PF1|PF2|sin b2b2tanc|y0|.当y0b，即P为短轴端点时，SPF1F2有最大值为bc. (5)焦点三角形的周长为2(ac)【课堂练习】一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是
8、椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为()A1 B1 C1 D1题型三 椭圆的离心率椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大，高考对椭圆几何性质的考查主要有以下四个命题角度：（1）由椭圆的方程研究其性质；（2）利用椭圆性质求椭圆方程；（3）由椭圆的性质求参数的值或范围；（4）求离心率的值或范围【例1】（求参数值）已知椭圆1的离心率为，则k的值为()A21 B21 C或21 D或21【例2】直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.【例3】（构造法求离心率）(201
9、9兰州模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为|F1F2|，则椭圆C的离心率e()A. B C. D【课堂练习】1.（2019高考江苏卷）如图，在平面直角坐标系中，是椭圆 的右焦点，直线 与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是 .2.（2019全国3卷（文11）已知椭圆C：，（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（ ）A B CD课堂小结：(1)求椭圆离心率的方法：直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2a2c2
10、消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解(2)利用椭圆几何性质的技巧：求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系六、家庭作业 1若方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是_2曲线1与曲线1(k9)的()A长轴长相等 B短轴长相等 C离心率相等 D焦距相等3椭圆1上一点P到一个焦点F1的距离为4，则点P到另一个焦点F2的距离为_4(2019宝鸡模拟)椭圆1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等差数列，则此椭圆的离心率为()A B C D25已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点. 若AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为_6设F1，F2是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为_7已知F1，F2是椭圆1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点在AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为()A6 B5 C4 D38椭圆y21的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是_第 6 页
