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1、 高三数学二模试卷一、单选题1已知集合，则（）ABCD2定义在上的下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（）ABCD3已知随机变量，若，则（）A0.7B0.4C0.3D0.24某校安排高一年级（1）（5）班共5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高一（1）班被安排到A基地的排法总数为（）A24B36C60D2405若函数与图象的任意连续三个交点构成边长为4的等边三角形，则正实数（）AB1CD6赵爽弦图（如图1）中的大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼接而成的，若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，由大正方形面积等
2、于4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和可得勾股定理仿照赵爽弦图构造如图2所示的菱形，它是由两对全等的直角三角形和中间的矩形拼接而成的，设直角三角形的斜边都为1，其中一对直角三角形含有锐角，另一对直角三角形含有锐角（位置如图2所示）借鉴勾股定理的推导思路可以得到结论（）ABCD7已知抛物线E：，圆F：，直线l：（t为实数）与抛物线E交于点A，与圆F交于B，C两点，且点B位于点C的右侧，则FAB的周长可能为（）A4B5C6D78存在函数使得对于都有，则函数可能为（）ABCD二、多选题9已知复数z的共轭复数是，i是虚数单位，则下列结论正确的是（）AB的虚部是0CD在复平面内对应的点在第四象限
3、10吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r（V），为r（V）的导函数已知r（V）在上的图象如图所示，若，则下列结论正确的是（）ABCD存在，使得11在所有棱长都相等的正三棱柱中，点A是三棱柱的顶点，M，N、Q是所在棱的中点，则下列选项中直线AQ与直线MN垂直的是（）ABCD12如图，已知扇形OAB的半径为1，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，且，点E为上的任意一点，则下列结论正确的是（）A的最小值为0B的最小值为C的最大值为1D的最小值为0三、填空题13已知双曲线 1(a0，b0)的渐近线方程为y x，则它的离心率为 14若直线和直线将圆的周长四等分，则 15若函数的最大值为1
4、，则常数的一个取值为 16十字贯穿体（如图1）是美术素描学习中一种常见的教具如图2，该十字贯穿体由两个全等的正四棱柱组合而成，且两个四棱柱的侧棱互相垂直，若底面正方形边长为2，则这两个正四棱柱公共部分所构成的几何体的内切球的体积为 四、解答题17已知递增等比数列的前n项和为，且满足，（1）求数列的通项公式（2）若数列满足，求数列的前15项和18小李下班后驾车回家的路线有两条路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是，第二个路口遇到红灯的概率是假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立（1）若小李
5、下班后选择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率（2）假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1min，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：min）的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由19如图，已知ABC内有一点P，满足（1）证明：（2）若，求PC20如图1，在ABC中，DE是ABC的中位线，沿DE将ADE进行翻折，使得ACE是等边三角形（如图2），记AB的中点为F（1）证明：平面ABC（2）若，二面角D-AC-E为，求直线AB与平面ACD所成角的正弦值21已知椭圆C：，点为椭圆的右焦点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，当与x轴垂直时，（1）求椭圆C的标准方程（2
6、），分别为椭圆的左、右顶点，直线，分别与直线：交于P，Q两点，证明：四边形为菱形22已知函数（且）的图象与x轴交于P，Q两点，且点P在点Q的左侧（1）求点P处的切线方程，并证明：时，（2）若关于x的方程（t为实数）有两个正实根，证明：1C2D3A4C5C6B7B8D9B,C10B,D11A,C12B,C,D13214215（答案不唯一，取，均可）1617（1）解：设的公比为q，则由，得整理得又，得联立得，消去，得解得或又因为为递增等比数列，所以，所以（2）解：（方法一）当时，则，同理，列举得，记的前n项和为，则所以数列的前15项和为92（方法二）由，得，记的前n项和为，则所以数列的前15项和为
7、9218（1）解：设路线1遇到红灯的个数的随机变量为X，则，所以至少遇到一个红灯的事件为，由对立事件概率公式，得，所以若小李下班后选择路线1驾车回家，至少遇到一个红灯的概率为（2）解：设路线1累计增加时间的随机变量为，则，所以，设路线2第i个路口遇到红灯为事件（，2），则，设路线2累计增加时间的随机变量为，则的所有可能取值为0，1，2，则，所以因为，所以为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间的期望最小，小李应选择路线119（1）证明：在ABP中，由正弦定理得，即，要证明，只需证明，在ABP中，在ABC中，所以，所以，所以（2）解：由（1）知，又因为，所以，由已知得ABC为等腰直角三角形，所以
8、，则，所以在PBC中，由正弦定理得，即，即由余弦定理得，由题意知，故解得，所以20（1）证明：如图，取AC中点G，连接FG和EG，由已知得，且因为F，G分别为AB，AC的中点，所以，且所以，且所以四边形DEGF是平行四边形所以因为翻折的，易知所以翻折后，又因为，EA，平面AEC，所以平面AEC因为，所以平面AEC因为平面AEC，所以因为ACE是等边三角形，点G是AC中点，所以又因为，AC，平面ABC所以平面ABC因为，所以平面ABC（2）解：（方法一）如图，过点E作，以E为原点，EH、EC，ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，设，则，则，因为平面AEC所以是平面AEC
9、的法向量，设面ACD的法向量为，则，即，解得取，得因为二面角D-AC-E为，所以，解得，所以，记直线AB与平面ACD所成角为，则，所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为（方法二）如图，连接DG，因为平面AEC，平面AEC，所以又因为，DE，平面DEG所以平面DEC因为EG，平面DEG，所以，所以DGE是二面角D-AC-E的平面角，故由ACE是边长为2的等边三角形，得，在RtDGE中，所以，过点F作，垂足为I，因为平面DEGF，平面ACD，所以平面平面ACD又因为平面平面，平面DEGF，且，所以平面ACD连接AI，则FAI即为直线AB与平面ACD所成的角在RtDFG中，得，由等面积法得，解得在
10、RtAFG中，所以在RtFAI中，所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为21（1）解：由题可知当与x轴垂直时，不妨设M的坐标为，所以，解得，所以椭圆C的标准方程为（2）证明：设的方程为，联立得消去x，得，易知恒成立，由韦达定理得，由直线的斜率为，得直线的方程为，当时，由直线的斜率为，得直线的方程为，当时，若四边形为菱形，则对角线相互垂直且平分，下面证，因为，代入韦达定理得，所以，即PQ与相互垂直平分，所以四边形为菱形22（1）证明：令，得所以或即或因为点P在点Q的左侧，所以，因为，所以，得点P处的切线方程为，即当时，因为，且，所以，所以，即所以，所以（2）证明：不妨设，且只考虑的情形因为，所以所以点Q处的切线方程为，记，令，设，则所以单调递增又因为，所以，当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增所以在时有极小值，也是最小值，即，所以当时，设方程的根为，则易知单调递增，由，所以对于（1）中，设方程的根为，则易知单调递减，由（1）知，所以所以因为，易知时，故；当时，所以，所以，所以记，则恒成立所以单调递增，因为，所以存在使得所以，当时；当时，所以在上单调递减，在上单调递增因为，由函数图象知当方程（t为实数）有两个正实根时，所以所以，即
