一、考点突破 熟练掌握旋转变换及其性质二、重难点提示旋转变换及其性质的应用一、知识结构二、解题策略与方法 旋转：将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度得到新图形的变换叫做旋转该定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角 旋转的要素有四个：1. 基本图形——是什么图形发生了旋转；2. 旋转中心——是绕哪个点旋转的；3. 方向：向什么方向发生了旋转，是顺时针还是逆时针；4. 角度：旋转了多大的角度 注意：旋转中心不一定是基本图形上的顶点，它可以是图形内部的点，也可以是图形外的点 旋转不改变图形的大小和形状，有下列基本性质：1. 对应点到旋转中心的距离相等；2. 对应点与旋转中心的连线所成的夹角彼此相等，都等于旋转角；3. 旋转前、后的图形与原图形的大小和形状相同（全等） 旋转的作用在于： 通过旋转变换把题目中的几何元素进行重新组合（把分散的条件进行集中和整合），得到基本图形，以便应用几何定义、几何公理、几何定理去解决问题 对于下列情形，常实施旋转变换：1. 图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为120°、90°；2. 图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转180°；3. 图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点旋转，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合。
一般地，每个静止的图形都有其特有的性质，当图形或图形的一部分元素进行旋转变换后，图形的许多性质都发生改变，也有可能其一些特有的性质保持不变寻找变换中的不变量是平面几何研究中的一项重要工作能力提升类 例1 已知：如图，是任意三角形，求作，使和具有全等的关系 一点通：如果把要画的看作是由变换而来的，那么这个变换使线段BC变成自身，联想到线段的变换性质，就应有多种结果，下面是常见的三种解：如图，其中直线是BC所在的直线，点为点A关于直线的对称点；直线是线段BC的垂直平分线，点为点A关于直线的对称点；点O是线段BC的中点，点和点A关于点O为中心对称都和全等 评析：线段的变换性质是本题解法的基础和向导线段的中点是该线段的对称中心，这一性质的延伸，就是以它为基础作“中心对称构造”（特别是“中心对称型”全等三角形）来使相关问题获得解决例2 已知，如图，D是的边BA延长线上一点，且AD=BA，E是边AC上一点，且DE=BC 求证： 一点通：要证明两角相等，常用办法是证明两三角形全等，以BD及其中点A为基础，构造“中心对称型”全等三角形 解：如图（1），（2），（3）所示 （1） （2） （3） 方法一：如图（1），延长CA到F，使FA=CA，连结FD，有，DF=BC=DE，得 方法二：如图（2），分别作交CA的延长线于N，垂足为M，则有得，DN=BM，进而推得，得 方法三：如图（3），延长CA到G，使得AG=EA，则得再由BG=DE=BC，得。
例3 如图，P是等边三角形内的一点，且，，，若将绕点A逆时针旋转后，得到，求PP’的长度和的度数 一点通：，连结，从判定形状入手 解：连结， ∵为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60° ∵，∴为等边三角形∴，，∵，∴，∴综合运用类例4 如图（1），是等边三角形，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作60°的角，它的两边分别与AB，AC交于点M和N，连结MN （1）探究之间的关系，并加以证明； （2）若点M，N分别在射线AB，CA上，其他条件不变，再探究线段BM，MN，NC之间的关系，在图（2）中画出相应的图形，并就结论说明理由 （1） （2） 一点通：对于（1），这时在中，有为了把BM，MN，NC集中到一个三角形中去， 作：（如图（1＇），从而有MB=GC，而此时恰又有， 得 （1＇） （2＇） 对于（2），此时的图形（2＇）仍作（1）中图形的旋转，类似地可以推得MN=CN－BM 解：（1）关系为MN=BM+NC 证明：延长AC到G，使CG=BM，连结DG，如图（1＇） 同理也有 在，BM=CG 在中，ND为公共边，DM=DG， 。
（2）此时，图形如图（2＇），有关系式：MN=CN－BM理由如下： 在CN上截取CG=BM，连结DG，如图（2＇） 与（1）中情况类似，可推得 得 仍与（1）中情况类似，可推得 就有 评析：由本题可以看出，恰当地运用等腰三角形的“两腰的旋转重合性”，可在一定的条件下实现图形（线段、角）的“转移”，从而使问题得到解决 例5 在中，AC=BC，，将一块直角三角板的顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC，CB于D，E两点，图（1），（2），（3）是旋转三角板所得的图形中的三种情况 探究并证明：线段PD和PE之间有怎样的数量关系？写出结论并证明 （1） （2） （3） 一点通：根据题目的条件和要回答的问题，我们首先考虑到等腰直角三角形的“90°旋转重合性”为此，在三种情况的图形中均连结CP，如下面各图所示： （1＇） （2＇） （3＇） 在图（1＇），图（2＇），图（3＇）中均有： 重合于，从而，得PD=PE，即3种情况有统一的结论和统一的证法 解：在3种情况中，均有结论，PD=PE证明如下： 在图（1），图（2），图（3）中，都连结CP，在和中，CP=BP，（在图（1）和图（2）中，这两个角都为45°，而在图（3）中这两个角都为135°）（在图（1）和图（2）中这两个角同为的余角，而图（3）中，这两个角同为的余角。
，可得PD=PE 评析：在本题中，等腰直角三角形的“90°旋转重合性”引导我们找到上述的既统一又简捷的解决方法，这就是本质特征所揭示的规律的普遍作用思维拓展类 例6 在平面直角坐标系中，四边形OEFG为正方形，点F的坐标为（1，1）将一个最短边长大于的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO上 （1）如图（1），当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一条直线边落在直线FO上时，这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分（即阴影部分）的面积为 1） （2）若三角形纸片的直角顶点不与点O，F重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形 一点通：对于（1），易知对于（2），容易想到符合条件的两种情况，见图（2）和图（3），其中均有，这时，阴影正方形的边长为 （2） （3） 再根据正方形邻边的“90°旋转重合性”，图（2）和图（3）可分别（等积地）演变成一般情况 解：（1）； （2）直角顶点的坐标为或此时的图形如图（4）和图（5） （4） （5） 评析：正是对正方形邻边的“90°旋转重合性”的深刻认识，使本题的解决顺畅而简捷。
例7 如图（1），一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起，现保持正方形ABCD不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点（点也是BD的中点）按顺时针方向旋转 （1）如图（2），当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想 （2）若三角尺GEF旋转到如图（3）所示的位置，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由 （1） （2） （3） 一点通：实际上，问题所涉及的条件和结论，都与CD，CB两边没有关系，原题相当于两个全等的等腰直角三角形，从完全重合的位置将其中一个绕“斜边中点”旋转，那么，图（2），图（3）对应的就是下边的图（4），图（5） 图（4）和图（5）中，每个图形都是以直线PO为对称轴的，当然，对称的三角形是全等的，对应的线段和对应的角分别是相等的 （4） （5） 解：（1），根据是（见图4） 在和中，，， 。
（2）的结论仍然成立，根据是（见图（5）） 在和中， 评析：在本题的分析与思考中，从图（2）到图（4）（同样，由图（3）到图（5），舍弃了无关的部分图形，更清晰地显示出了“轴对称”的本质特征，而这一特征的被发现和捕获，使得对结论的猜想的形成，乃至证明的论述，都变得豁然明朗，顺理成章 顺便指出：对任何一个原本轴对称的图形，绕其对称轴上一点旋转角（），那么，由旋转前和旋转后两图形成的新图形，都是一个新的轴对称图形如：在图①中，等腰三角形ABC绕其顶点A逆时针旋转角到，相交于G，则组合成的新图形是以AG为对称轴的对称图形，在图②中，等腰三角形ABC绕其底边上的中点H逆时针旋转角到，相交于点K，则组合成的新图形是以KH为对称轴的对称图形1） （2） 因此，轴对称图形经过一些适当的旋转，可以产生新的轴对称图形1. 对旋转定义的理解要明确旋转中心、旋转方向、旋转角、对应点明白旋转角相等，对应点到旋转中心的距离相等它们是旋转作图和解决实际问题的依据 2. 灵活运用旋转作图，构造出新图形，找到几何说理题的解题途径，充分应用数形结合思想 3. 旋转变换多用在等腰三角形、等边三角形、正方形等较规则的图形上，其作用是把分散的线段或角相对集中。
4. 正确理解中心对称和中心对称图形，并知道画中心对称图形的关键是确定特殊点 问题：旋转对称图形与中心对称图形有什么区别？ 解答：旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与自身图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角 中心对称图形：如果把一个图形绕着一个定点旋转180°后，与自身图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个定点叫做对称中心答题时间：60分钟）一、选择题1. 如图，过圆心O和圆上一点A连一条曲线，将曲线OA绕O点按同一方向连续旋转三次，每次旋转900，把圆分成四部分，则（ ） A. 这四部分不一定相等 B. 这四部分相等 C. 前一部分小于后一部分 D. 不能确定2. 图（1）中，可以经过旋转和翻折形成图案（2）的梯形符合条件为（ ） A. 等腰梯形 B. 上底与两腰相等的等腰梯形 C. 底角为60°且上底与两腰相等的等腰梯形 D. 底角为60°的等腰梯形3. 顺次连接矩形各边中点所得的四边形（ ） A. 是轴对称图形而不是中心对称图形 B. 是中心对称图形而不是轴对称图形 C. 既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 没有对称性4. 如图，直线y=x+与y轴交于点P，将它绕着点P旋转90°所得的直线的解析式为（ ）。
A. y=x+ B. y=-x+ C. y=x+ D. y=-x+二、填空题5. 如图。