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1、致远高中2021学年高一第二学期期末在线教学评估练习数学试卷（考试时间：120分钟 满分150分）一、填空题（第1-6题4分/题，第7-12题5分/题，共54分）1. 复数的虚部为_.【答案】【解析】【分析】直接根据复数的相关概念判断即可；【详解】解：复数的虚部为故答案为：2. ，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】设与的夹角为，则可得，由于，所以可得，然后利用可求出其范围【详解】设与的夹角为，因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以，故答案为：3. 在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若C105，a，A45，则b_【答案】4【解析】【分析】由题意可得，结合运
2、算求解【详解】由题意可得根据正弦定理：，则故答案为：44. 如图，是用斜二测画法得到的的直观图，其中，则AB的长度为_.【答案】【解析】【分析】在原图形中作出，然后由勾股定理计算【详解】如图，在原图形中，故答案为：5. 已知、，则_【答案】【解析】【分析】根据角度范围，利用同角三角函数关系式，先确定，的值，在用两角余弦和差公式求解即可.【详解】解：、，.故答案为：.6. 已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为_.【答案】【解析】【分析】首先求出，再根据平面向量投影的定义计算即可【详解】解：向量，所以，则在方向上的投影的坐标为故答案为：7. 关于的实系数一元二次方程的一根为，则_【答案】4【解析
3、】【分析】由实系数一元二次方程的虚数根成对出现得另一根为，再由根与系数关系得结论【详解】由题意方程另一根为，所以故答案为：48. 在中，三角形的面积等于，则的长为_.【答案】或【解析】【分析】由面积公式求出，即可得到，再利用余弦定理计算可得；【详解】解：因为，且三角形的面积等于，所以，所以，因为，所以或，当时，由余弦定理，所以；当时，由余弦定理，所以；故答案为：或9. 已知长方体的棱，则异面直线与所成角的大小是_.（结果用反三角函数值表示）【答案】【解析】【分析】设与交于点，证得异面直线与所成的角是或其补角，由余弦定理解三角形可得【详解】连接，由与平行且相等得是平行四边形，设与交于点，则异面直
4、线与所成的角是或其补角，在矩形中，则，故答案为：10. 给出下列命题：若两条不同的直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；若两个不同的平面同时垂直于同一条直线，则这两个平面互相平行；若两个不同的平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相垂直；若两条不同的直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行；其中所有错误命题的序号为_.【答案】【解析】【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断【详解】垂直于同一条直线的两条直线可能相交、可能平行、也可能异面，错；垂直于同一条直线的两个平面平行，正确；垂直于同一平面的两个平面可能平行也可能相交，错；垂直于同一平面的两条直线平行，正确故答案为：11
5、. 已知z是虚数，是实数，是虚数z的共轭复数，则的最小值是_【答案】.【解析】【分析】设，且，根据是实数，得到，表示出，结合二次函数的性质求出其最小值即可【详解】解：设，且，则，因为是实数，所以，因为，所以，所以，则，因为，所以，所以，所以，因为，所以，则，当时，取到最值.故答案为：12. 若的内角、，其中为的重心，且，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】用向量分别表示，利用垂直关系建立方程，最后借助重要不等式求解【详解】解：因为G为ABC的重心，所以；，因为，所以，即，整理得，所以，所以，故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的数量积和向量的线性运算，考查重要不等式，属于中档题目，有一定难度
6、二、单选题（5分/题，共20分）13. 下列函数中，在其定义域上是偶函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据奇偶性定义，结合三角函数的奇偶性可直接得到结果.【详解】对于A，定义域为，为奇函数，A错误；对于B，定义域为，为偶函数，B正确；对于C，定义域为，即定义域关于原点对称，为奇函数，C错误；对于D，定义域为，为奇函数，D错误.故选：B.14. 已知l、m、n是空间三条直线，则下列命题正确的是A 若l / m，l / n，则m / nB. 若lm，ln，则m / nC. 若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB / lD. 若三条直线l、m、n两两相交，
7、则直线l、m、n共面【答案】A【解析】【详解】分析：由公理4可判断A，利用空间直线之间的位置关系可判断B，C，D的正误，从而得到答案详解：由公理4可知A正确；若lm，ln，则mn或m与n相交或异面，故B错误；若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线ABl或AB与l异面，故C错误；若三条直线l，m，n两两相交，且不共点，则直线l，m，n共面，故D错误故选A点睛：本题考查命题真假判断与应用，着重考查空间中直线与直线之间的位置关系，掌握空间直线的位置关系是判断的基础，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，
8、进行直观判断15. 以下数都在复数范围内（1）如果，则，；（2）；（3）；（4）若，则.其中错误命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】根据复数相等的定义、复数的模、复数的运算判断【详解】由复数相等的定义只有在时，（1）才能正确，因此题中（1）错误；如，则是实数，因此（2）错；，（3）正确；若，则，但不成立，（4）错故选：D16. 已知，是平面向量的一个基底，设非零向量，给出下列两个命题：；，则（ ）A. 均正确B. 均错误C. 对错D. 错对【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合向量的共线定理与向量的数量积的计算公式，即可求解.【详解】由题意可知，都不为零
9、向量，对于，因，所以，即，消去，得，故正确；对于，由，得，即，因，的夹角与模长都未知，所以不一定成立，故错.故选：C.三、解答题（14+14+14+16+18，共76分）17. 已知函数，.（1）求的值；（2）求的最小正周期；（3）求的单调减区间.【答案】（1） （2） （3）（）【解析】【分析】（1）直接代入计算；（2）结合正弦函数的周期求解；（3）由正弦函数的单调性求解【小问1详解】；【小问2详解】；【小问3详解】，解得，所以减区间是（）18. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且，为中点（1）证明：平面；（2）证明：平面平面【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】【分
10、析】（1）连接交于点，由三角形中位线性质可得，根据线面平行的判定可证得结论；（2）由线面垂直的性质和正方形，结合线面垂直的判定可证得平面，由面面垂直的判定可证得结论.【小问1详解】连接交于点，连接，四边形为正方形，为中点，又为中点，平面，平面，平面.【小问2详解】平面，平面，；四边形为正方形，；，平面，平面，平面，平面平面.19. 已知复数（其中、），存在实数，使成立（1）求值：；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）3 （2）【解析】【分析】（1）由，利用复数相等，求得a，b，再消去t得即可；：；（2）根据，求得或，且，再利用复数模，结合二次函数求解.【小问1详解】解：因为复数（其中、），所
11、以，则，消去t得：；【小问2详解】因为，所以，即，则，解得或，且，所以，所以.20. 对于一个向量组，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“好向量”（1）若是向量组的“好向量”，且，求实数的取值范围；（2）已知，均是向量组的“好向量”，试探究的等量关系并加以证明【答案】（1） （2），证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意，用坐标表示向量的模，解之可得；（2）由“好向量”的定义得三个不等式，平方转化为向量的数量积，三式相加整理后可得小问1详解】由题意，而，所以，解得，所以的范围是；【小问2详解】的等量关系是，证明如下：由题意是向量组的“好向量”，所以，则，即，所以，同理，三式相加并整理得，
12、所以，所以21. 如图，在长方体中，点E在棱上运动（1）证明：；（2）当E与A重合时，求直线与平面所成角的大小（用反三角函数值表示）；（3）等于何值时，二面角的大小为？【答案】（1）证明见解析 （2） （3）【解析】【分析】（1）证明平面可得；（2）平面即为平面，在平面内过作于，得就直线与平面所成角，在直角三角形中求解即得；（3）二面角是，则二面角是，作，垂足为，连接，得是二面角的平面角，即，然后求出，得，从而得【小问1详解】连接，在正方形中，又长方体中平面，平面，所以，平面，所以平面，而平面，所以；【小问2详解】如图，平面即为平面，在平面内过作于，由平面，平面得，平面，所以平面，所以就是直线与平面所成角，在直角中，所以直线与平面所成角的大小为；【小问3详解】如图二面角是，则二面角是，作，垂足为，连接，平面，平面，则，平面，所以平面，而平面，所以，所以是二面角的平面角，即，在直角中，所以，所以
