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1、湘豫名校联考2023年4月高三第二次模拟考试数学（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 某电影制片厂从2013年至2022年生产的纪录影片、科教影片的时长（单位；分钟）如图所示，则（ ）A. 该电影制片厂2013年至2022年生产纪录影片时长的中位数为270分钟B. 该电影制片厂2013年至2022年生产的科教影片时长的平均数小于660分钟C. 该电影制片厂2013年
2、至2022年生产的科教影片时长的标准差大于纪录影片时长的标准差D. 该电影制片厂2013年至2022年生产的科教影片时长的极差是纪录影片时长的极差的4倍4. 已知抛物线的准线为，圆与抛物线交于两点，与交于，两点，则由四点所围成的四边形的周长为（ ）A. 20B. 24C. 28D. 325. 若，则（ ）A. B. C. D. 6. 如图，网格纸上用粗实线绘制了一个几何体的三视图，每一个小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 7. 已知等差数列满足，则（ ）A. 25B. 35C. 40D. 508. 执行如图所示的程序框图，输出的（ ）A. 5B. 6C. 7D.
3、 89. 已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.则在上的值域为（ ）A. B. C. D. 10. 若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 11. 已知圆台的母线长为，分别为上、下底面的圆心，上、下底面的半径分别为，且，则当该圆台的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线上一点，点，且，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量，满足，的夹角为150，则
4、与的夹角为_.14. 若的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为_.15. 已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为_.16. 设锐角三角形的内角 ，所对的边分别为，且，则的取值范围是_.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 在数列中，.（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18. 如图所示，在三棱柱中，点，分别为棱，上的点，且，.（1）证明：平面；（2）若，四边形为矩形，平面平面，求平面与
5、平面所成锐二面角的余弦值.19. 2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，新晋“太空教师”刘洋用2米长的吸管成功喝到了芒果汁.这是中国航天员首次在问天实验舱内进行授课，并通过网络向全国进行直播，这场直播极大地激发了广大中学生对航天知识的兴趣.为领悟航天精神，感受中国梦想，某校高一年级组织了一次“寻梦天宫”航天知识比赛，比赛规则：每组两个班级，每个班级各派出3名同学参加比赛，每一轮比赛中每个班级派出1名同学代表其所在班级答题，两个班级都全部答对或者都没有全部答对，则均记0分；一班级全部答对而另一班级没有全部答对，则全部答对的班级记1分，没有全部答对的班级记分，三轮比赛结束后，
6、累计得分高的班级获胜.设甲、乙两个班级为一组参加比赛，每轮比赛中甲班全部答对的概率为，乙班全部答对的概率为，甲、乙两班答题相互独立，且每轮比赛互不影响.（1）求甲班每轮比赛得分、0分、1分的概率；（2）两轮比赛后甲班得分为，求的分布列和数学期望；（3）求甲班没有获胜概率.20. 已知椭圆的离心率为，椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为，点到直线的距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线交椭圆于，两点，过点作轴的垂线交直线于点，点为的中点，证明：直线的斜率为定值.21. 已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，动点到定点的距离为，记动点的轨迹为曲线.（1）求直线的普通方程，曲线的直角坐标方程与极坐标方程；（2）设点，且直线与曲线交于，两点，求值.选修4-5：不等式选讲.23. 设函数.（1）作出函数图象，并求的值域；（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.
