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1、上海市敬业中学2021-2022学年高三下开学考数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1. 已知球的主视图所表示图像的面积为，则该球的体积是_【答案】【解析】【分析】根据球的视图特征，结合圆的面积公式、球的体积公式进行求解即可.【详解】设球的半径为，则，所以，所以该球的体积是故答案为：2. 直线（为参数）与曲线（为参数）的交点个数是_【答案】【解析】【详解】直线的普通方程：x+y=1,曲线的普通方程：，再消去y，得，所以两个交点答案：23. 设直线经过曲线（为参数，）的中心，且其方向向量，则直线的方程为_【答案】【解析】【分析】先由曲线的
2、参数方程，得到该曲线表示圆，得到圆心坐标，再由直线方向向量确定直线斜率，从而可得出直线方程.【详解】由消去参数可得，所以曲线表示以为圆心，以为半径的圆；因此直线过点，又直线的方向向量为，所以斜率为，因此，所求直线方程为：，即.故答案为：【点睛】本题主要考查求直线的方程，熟记圆的参数方程，以及直线的点斜式方程即可，属于常考题型.4. 甲约乙下中国象棋，若甲获胜的概率为，甲不输的概率为，则甲乙和棋的概率为_【答案】【解析】【分析】利用互斥事件概率加法公式直接进行求解【详解】甲约乙下中国象棋，甲获胜的概率为，甲不输的概率为甲乙和棋的概率为：故答案为0.3【点睛】互斥事件最大的特点在于每个概率事件互不
3、受影响，相互独立5. 设、均为非负实数，且满足，则的最大值为_【答案】40【解析】【分析】先由约束条件，作出可行域，再令，由得到，因此，当直线在轴截距最大时，取最大值，结合图像，即可求出结果.【详解】由约束条件可出可行域如图所示，令，则，因此表示直线在轴截距的倍，当直线在轴截距最大时，取最大值，由图像可得：当直线过点时，在轴截距最大，令，由得，；所以.故答案为【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，通常需要由约束条件作出可行域，根据目标函数的几何意义，结合图像即可求解，属于常考题型.6. 已知等差数列的前项和为，若，则_【答案】0【解析】【分析】由，可得，再代入等差数列前n项和公式，即可得答案
4、.【详解】解：设等差数列的首项为，公差为，则，解得，所以故答案为：07. 若实数满足条件，则的最小值为_【答案】#【解析】【分析】由约束条件可得可行域，将问题转化为可行域内的点到原点距离的平方的最小值的求解，结合图形，利用点到直线距离公式可求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示，令，则表示可行域内的点到原点距离的平方，则当可行域内的点到原点距离最小时，取得最小值，可行域内的点到原点距离最小值为到直线的距离，.故答案为：.8. 哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如，在不超过13的素数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是_（用分数表示）【答案】【解
5、析】分析】本题可以列举出从不超过13的素数中取两个的所有和的情况，以及和为偶数的情况，代入概率公式即可【详解】解：设A两素数和为偶数不超过13的素数有2，3，5，7，11，13从中任取两个，共包含（2，3），（2，5），（2，7），（2，11），（2，13），（3，5），（3，7），（3，11），（3，13），（5，7），（5，11），（5，13），（7，11），（7，13），（11，13）共15个事件A包含（3，5），（3，7），（3，11），（3，13），（5，7），（5，11），（5，13），（7，11），（7，13），（11，13）共10个基本事件故p（A）本题也可用组合数计算p（A）
6、故答案为【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，得到事件A包含的基本事件个数和基本事件的总数是解题的关键，属于基础题9. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军若两队在每局赢的概率都是，则甲队获得冠军的概率为_（结果用数值表示）【答案】#【解析】【分析】甲队要获得冠军，则至少在两局内赢一局，利用概率乘法和加法公式求概率即可.【详解】甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队在两局内只要再赢一局就获冠军，由题意两队在每局赢的概率都是，当第一局甲队获胜，其概率为，当第一局甲队输，第二局甲队获胜，其概率为，所以甲队获得冠军的概率为，故答案为：10. 已知
7、某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为_【答案】【解析】【分析】在正方体中作出该四棱锥，借助长方体求出各棱长，即可得出最大值.【详解】由三视图在正方体中作出该四棱锥，由三视图可知该正方体的棱长为，所以，.因此该四棱锥的最长棱的长度为.故答案为【点睛】本题主要考查几何体的三视图，由三视图先还原几何体，进而可求解，属于常考题型.11. 在平面直角坐标系中，设点，点的坐标满足，则在上的投影的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用三角函数图象和性质分析得解.【详解】解：由题得. 不等式组对应的可行域如图所示，在上的投影，由题得，所以，所以当时，当时，所以在
8、上的投影的取值范围是的取值范围是故答案为：12. 已知实数满足，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】讨论得到其图象是椭圆，双曲线的一部分组成图形，根据图象可得的取值范围，进而可得的取值范围.【详解】因为实数满足，当时，方程为的图象为椭圆在第一象限的部分；当时，方程为的图象为双曲线在第四象限的部分；当时，方程为的图象为双曲线在第二象限的部分；当时，方程为图象不存在；在同一坐标系中作出函数的图象如图所示，根据双曲线的方程可得，两条双曲线的渐近线均为，令，即，与双曲线渐近线平行，当最大时，直线与椭圆相切，联立方程组，得，解得，又因为椭圆的图象只有第一象限的部分，所以，当直线与双曲线渐近线重合时
9、，z最小但取不到最小值，即，所以综上所述，所以，即，故答案为：.【点睛】解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13. 满足条件（是虚数单位）的复数在复平面上对应的点的轨迹是（ ）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线【答案】B【解析】【分析】设，表示出，代入模长公式即可求解.【详解】因为，设，所以，所以，两边平方得，满足条件的复数在复平面上对应的点的轨迹是圆，故选：B14. 如图的后母戊鼎（原称司母戊鼎）是迄今为止世界上出土最大、最重的
10、青铜礼器，有“镇国之宝”的美誉，后母戊鼎双耳立，折沿宽缘，直壁，深腹，平底，下承中空“柱足”，造型厚重端庄，气势恢宏，是中国青铜时代辉煌文明的见证，如图为鼎足近似模型的三视图（单位：，经该鼎青铜密度为（单位：，则根据三视图信息可得一个柱足的重量约为（重量体积密度，单位：（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意得出，鼎足是一个外半径为，内半径为的中空圆柱体，然后利用体积的计算公式即可求解.【详解】由三视图得，鼎足可看成一个中空圆柱体，外半径为，内半径为，则其重量为，故选：15. 已知曲线（是参数），过点作直线与曲线有且仅有一个公共点，则这样的直线有A. 1条B. 2条C.
11、 3条D. 4条【答案】B【解析】【分析】先由曲线的参数方程消去参数，化为普通方程，再判断定点与曲线关系，进而可得出结果.【详解】由消去参数可得；因此点在双曲线的渐近线上，由双曲线的特征可知，当直线与双曲线的另一条条渐近线平行、或直线与双曲线的右支相切时，满足直线与双曲线只有一个公共点，因此，这样直线只有2条.故选B【点睛】本题主要考查双曲线的特征以及直线与双曲线的位置关系，熟记双曲线的性质即可，属于常考题型.16. 若函数的值域为，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题知，再结合函数值值域得，再结合余弦函数的单调性求解即可得答案【详解】解：，令，则，因为，
12、所以，因为函数的值域为，则所以，即，因为，函数单调递减，所以的取值范围为故选：A三、解答题（本大题共5题，满分76分）17. 已知函数.（1）求的定义域；（2）求函数在区间内的零点.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正切函数的性质可求f（x）的定义域；（2）利用三角函数恒等变换的应用可求F（x）sin（2x）10，解得xk，或xk，kZ，又x（0，），即可解得F（x）在（0，）内的零点【详解】（1）由正切函数的性质可求f（x）的定义域为：；（2）f（x）（1）2sinxcosxsin2x+2sin2xsin2xcos2x+1sin（2x）+1，F（x）f（x）2sin（2x）10
13、，解得：2x2k，或2x2k，kZ，即：xk，或xk，kZ，又x（0，），k0时，x或x，又f（x）的定义域为：故F（x）在（0，）内的零点为【点睛】本题主要考查了正切函数的图象和性质，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18. 我国古代数学名著九章算术中记载了有关特殊几何体的定义：阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，堑堵指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.（1）某堑堵的三视图，如图1，网格中的每个小正方形的边长为1，求该堑堵的体积；（2）在堑堵中，如图2，若，当阳马的体积最大时，求二面角的大小.【答案】（1）2；（2），arcsin（或arccos）
14、.【解析】【分析】（1）由三视图还原原几何体，再由棱柱体积公式求解；（2）阳马BA1ACC1的体积VA1AACBCACBC（AC2+BC2）AB2，当且仅当ACBC时，以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解空间角【详解】（1）由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为直三棱柱，底面是等腰直角三角形，直角边长为，直三棱柱的高为2，则其体积为V；（2）A1AAB2，阳马BA1ACC1的体积：VA1AACBCACBC（AC2+BC2）AB2，当且仅当ACBC时，以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（0，2），B（，0，0），C1（0，0，2），（0，2），（，0，0），（0，0），（，0，2），设平面CA1B的法向量（x，y，z），则，取y，得（0，1），设平面C1A1B的法向量（a，b，c），则，取a，得（，0，1），设当阳马BA1ACC1体积最大时，二面角CA1BC1的平面角为，则cos，当阳马BA1ACC1体积最大时，
