《2023年中考数学二轮复习二次函数压轴题专题16 存在性-菱形（教师版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年中考数学二轮复习二次函数压轴题专题16 存在性-菱形（教师版）（45页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、中考数学压轴题-二次函数-存在性问题第16节 菱形的存在性方法点拨菱形ABCD，M为对角线AC与BD的交点，则M的坐标为()或者()解题方法：(在平行四边形的基础上增加对角线垂直或者邻边相等)(1)选一定点，再将这一定点与另外点的连线作为对角线，分类讨论；(2)利用中点坐标公式列方程：；(3)对角线垂直： 例题演练1如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2+x+2与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C(1)求B、C两点的坐标；(2)点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过P作PFx轴交直线BC于点F，过P作PEy轴交直线BC于点E，求线段EF的最大值及此时P点坐标；(3)将该抛物线沿着射线A
2、C方向平移个单位得到新抛物线y，N是新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q点的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：(1)令x0，则2，解得点C坐标为(0，2)，令y0，即，解得：x4或1，点B坐标为(4，0)(2)设直线BC解析式为ykx+b，代入点B、点C坐标，得：，解得：直线BC解析式为yx+2设P坐标为(m，)，则E坐标为(m，m+2)，其中0m4设点F横坐标为xF，纵坐标yF，令xF+2，解得：xFm23mPE(m+2)，PFm(m23m)m2+4mEF，则当m2时，EF有最大值，此时点P坐标为(2，3)
3、(3)存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为菱形点Q坐标为(2，6)或(2，2)或(6，4)或(6，4)，理由如下：OA1，OC2，AC又，抛物线沿着射线AC方向平移个单位，实际上等同于将该抛物线向右移动个单位，向上移动1个单位原抛物线对称轴方程为x，新抛物线对称轴方程为x+2设点N坐标为(2，n)、点Q坐标为(a，b)当BC为菱形的边时：以点B为圆心，BC为半径画圆交对称轴x2于点N1、N2.如图1此时，BCBN1BN22，即，解得：MN14故点N1坐标为(2，4)，同理可得点N2坐标为(2，4)由菱形对角线性质和中点坐标公式可得：，即，解得：；或，解得：点Q1坐标为(2，6)，Q2
4、(2，2)以点C为圆心，CB为半径画圆交对称轴x2于点N3、N4，作N3Py轴于点P，如图2此时CBCN3CN4，PN32，PC4，故点N3坐标为(2，6)，同理可得N4坐标为(2，2)由菱形对角线性质和中点坐标公式可得：，即，解得：；或，解得：点Q3坐标为(6，4)，Q4(6，4)当BC为菱形的对角线时，则NQ为另一对角线，BC垂直平分NQ，此时BC中点坐标为(2，1)，又N(2，n)且NCNB，则N点必与BC中点重合，此时不存在点Q，则不能构成菱形综上所述，点Q坐标为(2，6)或(2，2)或(6，4)或(6，4)2如图，抛物线y与x轴交于A，B两点(点A在点B右侧)，与y轴交于点C，点D是
5、抛物线的顶点(1)如图1，连接AC，BC，判断ABC的形状，说明理由；(2)如图2，若点P是直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PEBC交AC于点E，作PQy轴交AC于点Q，求CE+AQ的最小值及此时E点坐标；(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线ya1x2+b1x+c1(a10)，平移后的抛物线与原抛物线相交于点P，点Q为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点M，使以点A，P，Q，M为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：(1)ABC为直角三角形，理由如下：当x0时，y2，当y0时，0，解得x12，x26，A(6，0)，B(2
6、，0)，C(0，2)，BC2OB2+OC216，AC2OA2+OC248，AB28264，BC2+AC2AB2，ABC是直角三角形；(2)由(1)得，tanBCO，故BCO30，A(6，0)，C(0，2)，直线AC的解析式为yx+2，CE+AQACEQ，当EQ最大时，CE+AQ最小，PEBC，POy轴，BCOQPE30，EQPQ，设P点的坐标为(m，m2+m+2)，则Q点的坐标为(m，m+2)，EQPQm2+m+2(m+2)m2+m(m3)2+，当m3时，EQ最大，最大值为，此时P(3，)，PEBC，PEAC，设直线PE的解析式为yx+b，把P点代入可得b，即直线PE的解析式为yx，联立直线A
7、C、PE的解析式解得，E点坐标为(，)，CE+AQ最小值为CE+EQACEQ4；(3)存在，由题知平移后的解析式为y(x2)2+(x2)+2x2+，与原解析式联立解得，P点的坐标为(1，)，原抛物线对称轴为x2，设Q点的坐标为(2，n)，当AP2AQ2时，52+()242+n2，解得n，则Q点的坐标为(2，)或(2，)，M点的坐标为(3，)或(3，)，当AP2PQ2时，52+()212+(n)2，解得n，则Q点的坐标为(2，)或(2，)，M点的坐标为(7，)或(7，)，当QA2PQ2时，42+n212+(n)2，解得n，则Q点的坐标为(2，)，M点的坐标为(5，)，综上，M点的坐标可能为(5，
8、)或(7，)或(7，)或(3，)或(3，)3如图，抛物线yx22x+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴与点C，点D为该抛物线的顶点，连接AC(1)如图1，连接DA、DC，求点D的坐标和ACD的面积；(2)如图2，点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PEy轴，交直线AC于点E，过点P作PFAC，垂足为F，当PEF周长最大时，在x轴上存在一点Q，使|QPQD|的值最大，请求出这个最大值以及点P的坐标；(3)当(2)题中|QPQD|取得最大值时，点M为直线x2上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使得点D、Q、M、N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标，若
9、不存在，请说明理由【解答】解：(1)如图1中，连接OD抛物线yx22x+3(x+1)2+4，点D(1，4)，令y0，得到x2+2x30，解得x3或1，A(3，0)，B(1，0)，令x0，得到y3，C(0，3)，SADCSAOD+SCODSAOC34+31332(2)如图2中，延长PE交OA于HOAOC3AOC90，OACACO45，PEy轴，AHE90，AEHPEF45，PFAC，AEF90，PEF是等腰直角三角形，PE的值最大时，PEF的周长最大，设P(m，m22m+3)，直线AC的解析式为yx+3，E(m，m+3)，PEm22m+3m3m23m(m+)2+，10，m时，PEF的周长最大，此
10、时P(，)，D(1，4)，PD，|QPQD|PD，|QPQD|，|QPQD|的最大值为，此时P，D，Q共线，直线PD的解析式yx+，令y0，得到x9，Q(9，0)(3)如图3中，由(2)可知，Q(9，0)，D(1，4)，则DQ4当DQ是菱形的边时，DMDQ4，设M(2，t)，则12+(4t)280，解得t4，M1(2，4+)，M2(2，4)，DN与MQ互相平分，N1(10，)，N2(10，)，当DQ是菱形的对角线时，设M(2，n)，MQMD，72+n212+(4n)2，n5，M3(2，5)，DQ与MN互相平分，N3(8，9)，综上所述，满足条件的点N的坐标为(10，)或(10，)或(8，9)4
11、如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：yx2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为(0，8)，点B的坐标为(4，0)，点D的坐标为(0，4)(1)求该二次函数的表达式及点C的坐标；(2)若点F为该抛物线在第一象限内的一动点，求FCD面积的最大值；(3)如图2，将抛物线C1向右平移2个单位，向下平移5个单位得到抛物线C2，M为抛物线C2上一动点，N为平面内一动点，问是否存在这样的点M、N，使得四边形DMCN为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：(1)把A(0，8)、B(4，0)代入yx2+bx+c，得，解得，该二次函数的表达式为yx2+x+8
12、；当y0时，由x2+x+80，得x14，x28，C(8，0)(2)如图1，作FGx轴于点G，交CD于点E.设直线CD的函数表达式为ykx+4，则8k+40，解得k，yx+4设F(x，x2+x+8)(0x8)，则E(x，x+4)，EFx2+x+8+x4x2+x+4，SFCDOGEF+CGEFOCEF，SFCD8(x2+x+4)x2+6x+16(x3)2+25，当x3时，FCD面积的最大值为25(3)存在由题意可知，点M、N在线段CD的垂直平分线上.抛物线C1：yx2+x+8(x2)2+9，平移后得抛物线C2：y(x4)2+4x2+2x如图2，设CD的中点为Q，则Q(4，2)，过点Q作CD的垂线交
13、抛物线C2于点M，交x轴于点HCQHCOD90，OD4，CO8，CD4，CQCD2，CH5，OH853，H(3，0)，设直线QH的函数表达式为ymx+n，则，解得，y2x6由，得，M1(，)，M2(，)，点N与点M关于点Q(4，2)成中心对称，N1(8+2，10+4)，N2(82，104)5如图，抛物线yx2+bx+c的图象经过点C(0，2)，交x轴于点A(1，0)和B，连接BC，直线ykx+1与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F(1)求抛物线的表达式及点B的坐标；(2)求的最大值及此时点E的坐标；(3)在(2)的条件下，若点M为直线DE上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：(1)设B(xB，yB)，将A(1，0)，C(0，2)代入yx2+bx+c中，
