《线性代数研究型综合型应用型题目》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数研究型综合型应用型题目（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、线性代数与空间解析几何研究型、应用型、综合型题目1.一般的数字可看作零维数组，向量可看作一维数组，矩阵可看作二维数组，那么三维数组能作为一个代数概念来看待吗？其相应运算如何定义？变换如何执行？有何应用？提醒：可参照矩阵的运算作相应的定义。 2. 类似于行列式的定义我们定义新的代数概念如下：一阶：二阶：三阶：类似地可对n阶的情况给出定义。请问这一个新的代数概念，其性质如何？有何应用？提醒：可类比行列式的性质作相应的讨论。 3. 设方阵定义其中为元素在矩阵A中的余子式，试问有什么性质？提醒：可类比随着矩阵作出讨论。 4.任意给定一个2阶实矩阵, 能否找出所有与A可互换相乘的矩阵? 假如给定的矩阵是
2、实对称矩阵, 结论如何? 提醒：（1）根据可互换条件AB=BA作讨论；（2）考虑A的特性值与相似对角化, 将一般矩阵问题转化为对角矩阵来讨论. 5.设n阶矩阵A的各行各列都只有一个元素是1或-1，其余均为0。是否存在正整数k，使得Ak=I ？若是，请给出你的证明；若否，请举出反例。提醒：先观测二、三阶矩阵的情况；对一般矩阵，可考察A2，A3 的元素特点，找到与A的关系。 6. 矩阵乘法是线性代数中的基本算法之一。对两个n阶矩阵其乘积计算往往需要次乘法和次加法，很长时间以来人们对此深信不疑。然而，1969 年Strassen通过对矩阵乘积元素之间的关系分析，构造出了一种只需次乘法的矩阵相乘运算。
3、其原理是一方面将阶的矩阵和进行2X2分块：然后采用如下7次矩阵乘法和18次矩阵加法：，；，；，；.在上述计算中，对各子块递归使用该Strassen算法，最后获得矩阵。请仔细分析一下上述过程，获得新型的矩阵乘法计算方案，使得计算总量更少。提醒：运用分块和递归技术，并对数据进行合理划分。 7. 设A是nn矩阵，则A可逆的充足必要条件是存在常数项不为0的多项式g(x)，使得g(A)=0。提醒：运用A的特性多项式证明。 8.矩阵的Kronecker积是一种新的矩阵运算，在信号传输预解决，自动控制，规划理论，图像解决等工程领域中有着广泛的应用。其定义如下：定义：设则称为矩阵与的Kronecker积（或称
4、直积，张量积）。试证明Kronecker积满足下面的几个性质：1） ；;2） ;3） ;4） ;5） ;提醒：根据Kronecker积的定义和分块矩阵的乘法证明。 9.设阶矩阵，其中表达的第i列。定义算符试通过Kronecker积的定义和该算符将矩阵方程转换成线性方程组的形式，其中，提醒：运用Kronecker积和向量化算符将原方程转换为：从而将原矩阵方程转换为线性方程组，方便求解。 10.对于同型矩阵，定义一种乘法运算，使得任意都有并按照第一题的形式尽也许给出这种矩阵运算的性质。提醒：验证Hadamard积互换律，分派率，结合律，推导其转置运算，逆运算等性质。 11.(Cayley-Hami
5、lton定理) 若是的特性值，证明若可逆，通过该式写出的表达式。提醒：运用随着矩阵的性质及的特性多项式。 12. 行随机矩阵是指矩阵的行和均等于1的非负矩阵，列随机矩阵是指列和等于1的非负矩阵，而同时满足这两个条件的非负矩阵就是双随机矩阵。请尝试给出随机矩阵的性质和应用。 13.（LU分解）设A是矩阵，我们可以通过初等行变换将A化为阶梯形矩阵。由此证明：A可以分解为（或）。其中L是一个对角线元素全为1的下三角矩阵，U是阶梯形矩阵，P是一个m阶置换矩阵（单位矩阵通过若干次行互换得到的矩阵）。提醒：（1）运用矩阵初等变换与初等矩阵的关系；（2）对矩阵的阶数用数学归纳法。 14.运用矩阵的LU分解给
6、出线性方程组的较为简便的求解方法。设A为4阶方阵，且，请给出方程组解的公式。提醒 化为两个容易求解的（三角形）方程组，逐层代入求解。 15.求所有满足的三阶方阵。提醒 易得不等式，再分情况讨论。 16.设A是矩阵，则以A的列向量拟定的平行四边形的面积等于|detA|；设A是矩阵，则以A的列向量拟定的平行六面体的体积等于|detA|。提醒 先讨论对角形行列式，一般情况化为对角形。 17.行列式的定义有两种常用的方式：一种用排列的“逆序数”方式，一种用按行展开的“归纳法”方式，请探求两种方式的等价性，并给出你的证明。提醒：可对行列式的阶数用归纳法。 18.关于矩阵行列式的计算有很多常用方法，例如：
7、化三角形法、按行（列）展开法、递推法、拆元法以及运用线性代数方程组的解、运用方阵特性值与行列式的关系等等。请试着对其归纳总结，举例说明各种方法的合用情况并比较其优劣。 19. 已知：(2)若，其中互不相等，令，则，。试运用上面两个结果推导下面行列式的计算公式：.提醒： 20.设(1)由数生成的范德蒙矩阵记为，即；(2)设,令，则矩阵称为由实数生成的等幂和矩阵. 试证明：(1) (2)实数仅有个互异的充要条件是提醒：（1）运用矩阵乘积的定义容易得到证明；（2）运用结果（1）以及即可得到证明。 21. 矩阵分块是解决阶数较高的矩阵时常用的方法。我们把各子块当作数同样解决，从而把高阶矩阵转换为了较低
8、阶的矩阵，以问题得到了简化。分块矩阵的初等变换在线性代数中有非常广泛的应用。请参照教材中对一般矩阵初变换的概念给出分块矩阵初等变换的定义，并讨论分块矩阵的初等变换与初等矩阵的关系。 22. 运用分块矩阵初等变换的性质，证明下列等式：（1） （2）.提醒：运用初等变换与初等矩阵的关系，再取行列式。 23.运用分块矩阵的初等变换，证明下列等式：（1）；（2）；（3）. 24.设为阶分块矩阵，可逆, , 证明：（1）;（2）.提醒 用初等变换把化为块对角矩阵,再计算。 25. 设为阶方阵, , 且, 若, 求证: .提醒：考察是否为0。 26. 我们知道，若阶方阵满足，则。试猜想，若阶方阵满足，则会
9、满足如何的不等式？请给出你的证明。提醒 对矩阵的个数作归纳。 27. 向量的数量积(内积)和向量积(外积)是线性代数中的重要概念，在理论与应用上都有及其重要的意义。教材中也给出了混合积的计算。请结合这些概念，给出三向量外积的计算公式，并试从几何空间中对其意义进行解释。28. 设空间两条异面直线L1，L2分别为：，.L1与L2的距离的计算可以有多种不同的方法。(1) 试给出空间两条异面直线距离公式的各种形式及简略证明； （2）结合微积分中所学的函数最值问题，以及线性代数中所学的知识，如Crammer法则等，给出其它的计算方法。 提醒：可将该距离视为某平行四边形的高或某平行六面体的高，也可将该距离
10、视为满足一定条件的点到直线的距离或两点间的距离。 29. 线性方程组当时方程组无解。若需求出方程组的一个近似解，其最佳的方法就是求x使Ax尽也许的接近b，即使尽也许小（最优解）。试给出你的一个求解方法，并给出证明。提醒： (1) 在欧氏空间中, 考虑取得最小值的等价叙述; (2) 考虑方程组与之间的关系. 30.矩阵的秩与向量组的秩有何异同？试讨论它们的区别与联系。提醒：从两者的定义与性质方面作考虑。 31. 矩阵的等价与向量组的等价有何异同？试讨论它们的区别与联系。提醒：同上题。 32.设，根据特性值定义证明：的特性值均满足对某个k： 即 其中提醒：对进行不等式的放缩。 33. 设A是矩阵, B是矩阵，试讨论AB的特性值与BA的特性值的关系。提醒：（1）从两矩阵的特性多项式是否相等作考虑； （2）从两矩阵是否相似作考虑。 34. 试证：矩阵任一特性值的几何重数不超过其代数重数。提醒：将相应的特性向量扩展为空间的一组基，以该组基为矩阵对原矩阵作相似变换，再运用相似矩阵有相同的特性多项式可得。 35. 试证：实对称矩阵任一特性值的几何重数都等
