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1、10.5 10.5 图形的全等图形的全等华东师大版第华东师大版第10 10 章轴对称、平移与旋转章轴对称、平移与旋转1.1.知道全等图形，全等多边形，全等三角形的概念和知道全等图形，全等多边形，全等三角形的概念和性质性质.2 2、能找出全等多边形、全等三角形的对应元素，会、能找出全等多边形、全等三角形的对应元素，会利用图形的全等解决一些简单的问题利用图形的全等解决一些简单的问题.学习目标学习目标 我我们们已已经认识经认识了了图图形的形的轴对轴对称、平移和旋称、平移和旋转转，这这是是图图形的三种基本形的三种基本变换变换，图图形形经过这样经过这样的的变换变换，位置，位置发发生了改生了改变变，但，但
2、变换变换前后两个前后两个图图形的形的对应线对应线段相等，段相等，对应对应角相等，角相等，图图形的形状和大小并没有改形的形状和大小并没有改变变.合作探究合作探究新知一新知一全等图形全等图形 要想知道两个要想知道两个图图形的形状和大小是否完全相同，形的形状和大小是否完全相同，可以通可以通过轴对过轴对称、平移和旋称、平移和旋转这转这些些图图形的形的变换变换，把两，把两个个图图形叠合在一起，形叠合在一起，观观察它察它们们是否完全重合是否完全重合.能能够够完完全重合的两个全重合的两个图图形叫做形叫做全等全等图图形形(congruent figures).归纳小结归纳小结1.定定义义：能能够够完全重合的两
3、个完全重合的两个图图形叫做全等形叫做全等图图形形要点精析：要点精析：(1)图图形的全等与它形的全等与它们们的位置无关，只要的位置无关，只要满满足能足能够够完完 全重合即可；而完全重合包含两全重合即可；而完全重合包含两层层含含义义：图图形的形的 形状相同，大小相等；形状相同，大小相等；(2)全等形的周全等形的周长长、面、面积积分分别别相等，但周相等，但周长长或面或面积积相相 等的两个等的两个图图形不一定全等形不一定全等2.几种常用全等几种常用全等变换变换的方式：的方式：轴对轴对称、平移、旋称、平移、旋转转合作探究合作探究下图中是全等图形的是下图中是全等图形的是_.例例1(1)和和(9)、(2)和
4、和(3)、(4)和和(8)、(11)和和(12)导引：导引：上述上述图图形中，形中，(5)和和(7)形状相同，但大小不同，形状相同，但大小不同，(6)和和(10)形状不同，故都不是全等形状不同，故都不是全等图图形；形；(1)和和(9)、(2)和和(3)、(11)和和(12)尽管方向不同，但大小、形尽管方向不同，但大小、形状完全相同，所以它状完全相同，所以它们们是全等是全等图图形；形；(4)和和(8)都是都是五角星，大小、形状都相同，是全等五角星，大小、形状都相同，是全等图图形形(1)此此题题运用定运用定义识别义识别全等全等图图形，确定两个形，确定两个图图形全等形全等 要符合两个条件：要符合两个
5、条件：形状相同，形状相同，大小相等；是大小相等；是 不是全等不是全等图图形与位置无关形与位置无关(2)判断两个判断两个图图形是否全等形是否全等还还可以通可以通过过平移、旋平移、旋转转、翻折等方法把两个翻折等方法把两个图图形叠合在一起，看它形叠合在一起，看它们们能否能否 重合，即用重合，即用叠合法叠合法判断判断归纳小结归纳小结 如如图图中中给给出了出了 8个个图图形，你能形，你能发现发现哪两个哪两个图图形是形是全等全等图图形形吗吗？动动手手试试试试看看.合作探究合作探究新知二新知二全等三角形及其对应元素全等三角形及其对应元素 一个一个图图形形经过轴对经过轴对称、平移和旋称、平移和旋转转等等变换变
6、换所得到所得到的新的新图图形一定与原形一定与原图图形全等；反形全等；反过过来，两个全等的来，两个全等的图图形形经过经过上述上述变换变换后一定能后一定能够够互相重合互相重合.思考：思考：观观察察图图中的中的两两对对多多边边形，每形，每对对中的其中一个可以中的其中一个可以经过经过怎怎样样的的变换变换和和另一个另一个图图形重合？形重合？上面的两上面的两对对多多边边形都是全等形都是全等图图形，也称形，也称为为全等全等多多边边形形.两个全等的多两个全等的多边边形，形，经过变换经过变换而重合，相互而重合，相互重合的重合的顶顶点叫做点叫做对应顶对应顶点，相互重合的点，相互重合的边边叫做叫做对应对应边边，相互
7、重合的角叫做，相互重合的角叫做对应对应角角.如图中的两个五边形是全等的，记作五边形如图中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE 五边形五边形ABCDE(这里，符号这里，符号“”表示全等，表示全等，读作读作“全等于全等于”).点点A与点与点A、点点B与与点点B、点、点C与点与点C、点、点D与点与点D、点、点E与点与点E分别是分别是对应顶点对应顶点.依据上面的分析，我依据上面的分析，我们们知道：知道：全等多全等多边边形的形的对应边对应边相等，相等，对应对应角相等角相等.这这就是全等多就是全等多边边形的性形的性质质.实际实际上，上，边边、角分、角分别别对应对应相等相等这这两个特征足以刻画多两个特
8、征足以刻画多边边形的全等了形的全等了.也就也就是是说说，在数学上我，在数学上我们们可以可以给给出全等多出全等多边边形如下的定形如下的定义义：边边、角分、角分别对应别对应相等的两个多相等的两个多边边形称形称为为全等多全等多边边形形.1.全等三角形的定全等三角形的定义义：如果两个三角形的如果两个三角形的边边、角分、角分 别对应别对应相等，那么相等，那么这这两个三角形全等两个三角形全等2.全等三角形全等三角形对应对应元素：元素：把两个全等的三角形重合把两个全等的三角形重合 到一起，到一起，(1)对应顶对应顶点：重合的点：重合的顶顶点；点；(2)对应边对应边：重合的重合的边边；(3)对应对应角：重合的
9、角角：重合的角3.全等三角形的表示法：全等三角形的表示法：如图，如图，ABC和和DEF全全 等，记作等，记作ABCDEF，符号，符号“”读作全等于读作全等于.其中其中“”表示形状相同，表示形状相同，“”表示大小相等记表示大小相等记 两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母 写在对应的位置上，如点写在对应的位置上，如点A和点和点D，点，点B和点和点E，点点C和点和点F 是对应顶点；是对应顶点；AB和和DE，BC和和EF，AC 和和DF是对应边；是对应边；A和和D，B和和E，C和和 F是对应角是对应角4.对应元素的确定方法：对应元素的确定方法：(1)字母
10、顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点 确定对应边、对应角，如确定对应边、对应角，如CABFDE，则，则 AB与与DE、AC与与DF、BC与与EF是对应边，是对应边，A和和 D、B和和E、C和和F是对应角是对应角(2)图形位置确定法：图形位置确定法：公共边一定是对应边；公共边一定是对应边；公公 共角一定是对应角；共角一定是对应角；对顶角一定是对应角对顶角一定是对应角(3)图形大小确定法：两个全等三角形的最大的边图形大小确定法：两个全等三角形的最大的边(角角)是对应边是对应边(角角)，最小的边，最小的边(角角)是对应边是对应边(角角)5.对应边对应边(或
11、角或角)与与对边对边(或角或角)的区的区别别：对应边对应边、对应对应 角是角是对对两个三角形而言的，指两条两个三角形而言的，指两条边边、两个角的、两个角的 关系；而关系；而对边对边、对对角是指一个三角形的角是指一个三角形的边边和角的和角的 位置关系位置关系.对边对边是与角相是与角相对对的的边边，对对角是与角是与边边相相对对 的角的角6.易易错错警示：警示：记记两个三角形全等两个三角形全等时时，通常把表示，通常把表示对对 应顶应顶点的字母写在点的字母写在对应对应的位置上，字母的位置上，字母顺顺序不能序不能 随意随意书书写写如图，如图，ACBBDA，AC和和BD对应，对应，BC和和AD对应，写出其
12、他的对应边及对应角对应，写出其他的对应边及对应角例例2因因为为已已经经知道了两知道了两组对应边组对应边，所以剩下的一，所以剩下的一组边组边是是对应边对应边根据根据对应边对应边所所对对的角是的角是对应对应角，容易角，容易发现发现AC的的对对角角CBA和和BD的的对对角角DAB是是对应对应角，角，BC的的对对角角CAB和和AD的的对对角角DBA是是对应对应角，剩角，剩下的一下的一组组角角ACB和和BDA是是对应对应角角导引：导引：解：解：其他的对应边是其他的对应边是AB和和BA；对应角是；对应角是CBA和和DAB，CAB和和DBA，ACB和和BDA.根根据根根据对应边对应边(角角)找找对应对应角角
13、(边边)的方法：的方法：对应边对应边所所对对的角是的角是对应对应角，角，对应对应角所角所对对的的边边是是对应边对应边归纳小结归纳小结 三角形是特殊的多三角形是特殊的多边边形，因此，形，因此，全等三角形的全等三角形的对应边对应边、对应对应角分角分别别相等相等.同同样样，我，我们们也可以得到全等三角形的定也可以得到全等三角形的定义义，从，从而也得到了判断两个三角形是否全等的准确方法：而也得到了判断两个三角形是否全等的准确方法：如果两个三角形的如果两个三角形的边边、角分、角分别对应别对应相等，那么相等，那么这这两个两个 三角形全等三角形全等.合作探究合作探究新知三新知三全等三角形的性质全等三角形的性
14、质 如图所示，如图所示，ABCDEF，且，且A=D，B=E.你能指出它们之间其他的对应顶点、对应你能指出它们之间其他的对应顶点、对应角和对应边吗？角和对应边吗？1.性质：性质：全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应角相等要点精析：要点精析：(1)全等三角形的对应元素相等其中，对应元素包全等三角形的对应元素相等其中，对应元素包 括：对应边、对应角、对应中线、对应高、对应括：对应边、对应角、对应中线、对应高、对应 角平分线、周长、面积等角平分线、周长、面积等(2)在应用全等三角形的性质时，要先确定两个条件：在应用全等三角形的性质时，要先确定两个条件：两个三角形全等；两个三角
15、形全等；找对应元素找对应元素(3)全等三角形的性质是说明线段、角相等的常用全等三角形的性质是说明线段、角相等的常用 方法方法如图，如图，ABC沿着沿着BC的方向平移至的方向平移至DEF，A=80，B=60，求，求F的度数的度数.例例3解：解：由图形平移的特征，可知与由图形平移的特征，可知与ABC与与DEF的形状的形状与大小相同，即与大小相同，即ABCDEF.D=A=80(全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等).同理同理DEF=B=60.又又D+DEF+F=180(三角形的内角和三角形的内角和等于等于180)，F=180-D-DEF =180-80-60=40.(1)全等三角形的性质在几
16、何计算中起着重要作用，全等三角形的性质在几何计算中起着重要作用，当所求线段不是全等三角形的对应边时，可利用当所求线段不是全等三角形的对应边时，可利用 等式的性质进行转换，从而找到所求线段与已知等式的性质进行转换，从而找到所求线段与已知 线段的关系线段的关系(2)本题运用本题运用转化思想转化思想，通过全等三角形的性质，可，通过全等三角形的性质，可 把线段把线段AB转化成线段转化成线段DF，再利用等式的性质可把，再利用等式的性质可把 求线段求线段FB的长转化成求线段的长转化成求线段AD的长的长归纳小结归纳小结全等图形的定义全等图形的定义1.1.下列四组图形中下列四组图形中,全等的图形是全等的图形是()B B2.2.如图如图,BCEACD,BCEACD,指出所有的对应边与对应角指出所有的对应边与对应角.解解:BCBCE E绕点绕点C C顺时针旋转顺时针旋转一定角一定角度度,与与ACDACD重重合合.故故对应对应边有边有BCBC与与ACAC,B BE E与与ADAD,C CE E与与CD.CD.对应角对应角有有BCBCE E与与ACDACD,B BE EC C与与ADCADC,E,EBCBC和
