2021-2022学年北京市房山区高三（上）期末数学试卷

2021-2022学年北京市房山区高三（上）期末数学试卷 试题数：21，总分：150 1.（单选题，4分）已知集合A={1，a}，B={2，3，4}，且A∪B={1，2，3，4}，则实数a取值的集合是（　　） A.{1，2，3，4} B.{2，3，4} C.{2} D.{3} 2.（单选题，4分）复数z=（1+i）（2-i）的实部是（　　） A.1 B.2 C.3 D.3i 3.（单选题，4分）在（2x-1）5的展开式中，x的系数是（　　） A.10 B.-10 C.5 D.-5 4.（单选题，4分）下列函数中，既是偶函数又在（0，2）上单调递减的是（　　） A.y=x2-4 B.y=-x3 C.y=cosx D. y=x+1x 5.（单选题，4分）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则立夏当日日影长为（　　） A.16.5尺 B.13尺 C.3.5尺 D.2.5尺 6.（单选题，4分）已知双曲线 C：x2a2−y2b2=1a＞0，b＞0 的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则双曲线C的方程为（　　） A. x220−y25=1 B. x25−y220=1 C. x220−y280=1 D. x280−y220=1 7.（单选题，4分）“b＜3”是“直线y=x+b与圆x2+（y-1）2=2相交”的（　　） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.（单选题，4分）正四面体A-BCD的棱长为1，现将正四面体A-BCD绕着AB旋转，则A-BCD所经过的区域构成的几何体的体积为（　　） A. 3π4 B. π2 C. π4 D. π6 9.（单选题，4分）如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y=at.下列说法中正确的是（　　） A.第5个月时，浮萍面积就会超过50m2 B.浮萍面积每月的增长率不相等 C.浮萍每月增加的面积都相等 D.若浮萍面积为2m2，3m2，6m2时所对应的时间分别是t1，t2，t3，则t1+t2=t3 10.（单选题，4分）某数学兴趣小组研究曲线C1： x+y =1和曲线C2：x4+y4=1的性质，下面是四位同学提出的结论： 甲：曲线C2关于原点对称； 乙：曲线C1，C2都关于直线y=x对称； 丙：曲线C1与坐标轴在第一象限围成的面积S1＞ 12 ； 丁：曲线C2与坐标轴在第一象限围成的面积S2＞ π4 ． 四位同学的结论中错误的是（　　） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 11.（填空题，5分）抛物线y2=4x的顶点到其准线的距离为 ___ ． 12.（填空题，5分）在△ABC中，b=4，c=2，cosA= 14 ，则a=___ ，△ABC的面积S△ABC=___ ． 13.（填空题，5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1．从A，B，C，D四点中任取两个点作为向量 b 的始点和终点，则 a • BD =___ ； a •b 的最大值为 ___ ． 14.（填空题，5分）无穷数列{an}的前n项和记为Sn．若{an}是递增数列，而{Sn}是递减数列，则数列{an}的通项公式可以为 ___ ． 15.（填空题，5分）设函数 fx=x2+4x+3，x≤01+log3x，x＞0 ，给出下列四个结论： ① 函数f（x）的值域是R； ② 对∀t＞0，方程f（x）=t都有3个实数根； ③ ∃x0∈R+ ，使得f（-x0）=f（x0）； ④ 若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是 (−359，  5] ． 其中所有正确结论的序号是 ___ ． 16.（问答题，14分）已知函数f（x）=sin2x+2cos2x+m． （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期； （Ⅱ）在下列三个条件中，选择一个作为已知，使得实数m的值唯一确定，求函数f（x）在  0， π2  上的最小值． 条件 ① ：f（x）的最大值为1； 条件 ② ：f（x）的一个对称中心为 3π8，0 ； 条件 ③ ：f（x）的一条对称轴为 x=π8 ． 17.（问答题，14分）如图，梯形ABCD，ABEF所在的平面互相垂直，AB || CD，AB || EF，CD=EF=1，AB=AD=AF=2，∠BAD=∠BAF= π2 ，点M为棱BE的中点． （Ⅰ）求证：AF⊥平面ABCD； （Ⅱ）求二面角C-DF-B的余弦值； （Ⅲ）判断直线AM与平面DCEF是否相交，如果相交，求出A到交点H的距离；如果不相交，求直线AM到平面DCEF的距离． 18.（问答题，14分）某种水果按照果径大小分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．一般的，果径越大售价越高．为帮助果农创收，提高水果的果径，某科研小组设计了一套方案，并在两片果园中进行对比实验．其中实验园采用实验方案，对照园未采用．实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：[21，26），[26，31），[31，36），[36，41），[41，46]（单位：mm）．统计后分别制成如图的频率分布直方图，并规定果径达到36mm及以上的为“大果”． （Ⅰ）估计实验园的“大果”率； （Ⅱ）现采用分层抽样的方法从对照园选取的100个果实中抽取10个，再从这10个果实中随机抽取3个，记“大果”个数为X，求X的分布列和数学期望的； （Ⅲ）以频率估计概率，从对照园这批果实中随机抽取n（n≥2）个，设其中恰有2个“大果”的概率为P（n），当P（n）最大时，写出n的值（只需写出结论）． 19.（问答题，14分）已知椭圆 E：x2a2+y2b2=1 a＞b＞0 的离心率为 32 ，A，B分别为椭圆E的上、下顶点，且|AB|=2． （Ⅰ）求椭圆E的标准方程； （Ⅱ）设直线l与椭圆E交于M，N（不与点A，B重合）两点，若直线AM与直线AN的斜率之和为2，判断直线l是否经过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由． 20.（问答题，15分）已知函数f（x）=x2-1，函数g（x）=alnx，其中a≤2． （Ⅰ）如果曲线y=f（x）与y=g（x）在x=1处具有公共的切线，求a的值及切线方程； （Ⅱ）如果曲线y=f（x）与y=g（x）有且仅有一个公共点，求a的取值范围． 21.（问答题，14分）若数列An：a1，a2，⋯，an（n≥2）满足|ak+1-ak|=1（k=1，2，⋯，n-1），则称An为E数列．记S（An）=a1+a2+⋯+an． （Ⅰ）写出一个满足a1=a5=0，且S（A5）＞0的E数列A5； （Ⅱ）若A1=2022，n=2021，证明E数列An是递减数列的充要条件是an=2； （Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列An，使得S（An）=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列An；如果不存在，说明理由． 2021-2022学年北京市房山区高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 试题数：21，总分：150 1.（单选题，4分）已知集合A={1，a}，B={2，3，4}，且A∪B={1，2，3，4}，则实数a取值的集合是（　　） A.{1，2，3，4} B.{2，3，4} C.{2} D.{3} 【正确答案】：B 【解析】：利用并集定义直接求解． 【解答】：解：∵集合A={1，a}，B={2，3，4}，且A∪B={1，2，3，4}， ∴实数a取值的集合为{2，3，4}． 故选：B． 【点评】：本题考查集合的运算，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.（单选题，4分）复数z=（1+i）（2-i）的实部是（　　） A.1 B.2 C.3 D.3i 【正确答案】：C 【解析】：根据复数的运算化简z，求出z的实部即可． 【解答】：解：z=（1+i）（2-i）=2-i+2i+1=3+i， 故z的实部是3， 故选：C． 【点评】：本题考查了复数的运算，考查与复数有关的定义，是基础题． 3.（单选题，4分）在（2x-1）5的展开式中，x的系数是（　　） A.10 B.-10 C.5 D.-5 【正确答案】：A 【解析】：求出展开式的通项公式，再令x的指数为1，由此即可求解． 【解答】：解：因为（2x-1）5的展开式的通项公式为T ​r+1=C5r•2x5−r•−1r =C ​5r•25−r•−1rx5−r ， 令5-r=1，解得r=4， 所以展开式中含x的项的系数为C ​54•21•−14 =10， 故选：A． 【点评】：本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题． 4.（单选题，4分）下列函数中，既是偶函数又在（0，2）上单调递减的是（　　） A.y=x2-4 B.y=-x3 C.y=cosx D. y=x+1x 【正确答案】：C 【解析】：根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案． 【解答】：解：根据题意，依次分析选项： 对于A，y=x2-4，是二次函数，是偶函数，在区间（0，2）上是增函数，不符合题意， 对于B，y=-x3，是幂函数，是奇函数，不符合题意， 对于C，y=cosx，是余弦函数，既是偶函数又在（0，2）上单调递减，符合题意， 对于D，y=|x|+ 1x ，是偶函数，当x＞0时，y=x+ 1x ，在区间（1，2）上为增函数，不符合题意， 故选：C． 【点评】：本题考查函数奇偶性和单调性的判断，注意常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题． 5.（单选题，4分）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则立夏当日日影长为（　　） A.16.5尺 B.13尺 C.3.5尺 D.2.5尺 【正确答案】：D 【解析】：设影长依次成等差数列{an}，其公差为d．由题意可得a4与a7，求出d，利用等差数列的通项公式求a10即可． 【解答】：解：设影长依次成等差数列{an}，其公差为d． 则a4=9.5，a7=6， ∴6=9.5+3d，∴d=- 76 ， ∴a10=a4+6d=9.5+6×（- 76 ）=2.5， 故选：D． 【点评】：本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6.（单选题，4分）已知双曲线 C：x2a2−y2b2=1a＞0，b＞0 的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则双曲线C的方程为（　　） A. x220−y25=1 B. x25−y220=1 C. x220−y280=1 D. x280−y220=1 【正确答案】：A 【解析】：利用双曲线的焦距以及点在渐近线上，求解a，b，即可得到双曲线方程． 【解答】：解：双曲线 C：x2a2−y2b2=1a＞0，b＞0 的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上， a2+b2=25a=2b ，解得a=2 5 ，b= 5 ， 所以双曲线方程为： x220−y25=1 ． 故选：A． 【点评】：本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，是基础题． 7.（单选题，4分）“b＜3”是“