数学不等式高级水平必备

不等式高级水平必备 目录 Ch1. 伯努利不等式 Ch2. 均值不等式 Ch3. 幂均不等式 Ch4. 柯西不等式 Ch5. 切比雪夫不等式 Ch6. 排序不等式 Ch7. 琴生不等式 Ch8. 波波维奇亚不等式 Ch9. 加权不等式 Ch10. 赫尔德不等式 Ch11. 闵可夫斯基不等式 Ch12. 牛顿不等式 Ch13. 麦克劳林不等式 Ch14. 定义多项式 Ch15. 舒尔不等式 Ch16. 定义序列 Ch17. 缪尔海德不等式 Ch18. 卡拉玛塔不等式 Ch19. 单调函数不等式 Ch20. 个对称变量法 Ch21. 个对称变量法 Ch22. 法 Ch23. 法 Ch24. 法 Ch25. 拉格朗日乘数法 Ch26. 三角不等式 Ch27. 习题与习题解析 Ch1. 伯努利不等式 1.1若实数（）各项符号相同，且，则： 式为伯努利不等式. 当时，式变为： Ch2. 均值不等式 2.1若为正实数，记： ⑴ ，为平方平均数，简称平方均值； ⑵ ，为算术平均数，简称算术均值； ⑶ ，为几何平均数，简称几何均值； ⑷ ，为调和平均数，简称调和均值. 则： 时，等号成立. （注：当且仅当.） 式称为均值不等式. Ch3.幂均不等式 3.1设为正实数序列，实数，则记： 式的称为幂平均函数. 3.2若为正实数序列，且实数，则： 当时，式对任何都成立，即关于是单调递增函数. 式称为幂平均不等式，简称幂均不等式. 3.3设为非负实数序列，且，若为正实数序列，且实数，则： 式称为加权幂平均函数. 3.4若为正实数序列，且实数，对则： 即： 当时，式对任何都成立，即关于是单调递增函数. 式称为加权幂平均不等式，简称加权幂均不等式. Ch4. 柯西不等式 4.1若和均为实数，则： 时，等号成立.（注：当且仅当.） 式为柯西不等式. 4.2柯西不等式还可以表示为： 简称：“平方均值两乘积，大于积均值平方” 我们将简称为积均值，记：. 则：，即： 4.3推论1：若为实数，，则： 时，等号成立. 式是柯西不等式的推论，称权方和不等式. 4.4推论2：若和均为实数，则： 时，等号成立. 4.5推论3：若为正实数，则： Ch5. 切比雪夫不等式 5.1若；，且均为实数.则： 或时，等号成立. 式为切比雪夫不等式. 由于有，条件，即序列同调， 所以使用时，常采用 …… (注：不失一般性) 5.2切比雪夫不等式常常表示为： 简称：“切比雪夫同调数，均值积小积均值”. 即：对切比雪夫不等式采用同单调性的两个序列表示时，两个序列数的均值之积不大于两个序列数各积之均值. 则： 即： Ch6. 排序不等式 6.1若；为实数，对于的任何轮换，都有下列不等式： 式称排序不等式（也称重排不等式）. 其中，称正序和，称反序和， 称乱序和. 故式可记为： 正序和乱序和反序和 6.2推论：若为实数，设为的一个排序，则： Ch7. 琴生不等式 7.1定义凸函数：对一切，，若函数是向下凸函数，则： 式是向下凸函数的定义式. 注：表示区间和函数在区间都是实数. 7.2若对任意，存在二次导数，则在区间为向下凸函数；时，若，则在区间为严格向下凸函数. 7.3若在区间为向下凸函数，则函数在在区间对任何也是向下凸函数. 7.4若是一个在区间的向下凸函数，设，为实数，且，则对任何，有： 式就是加权的琴生不等式. 简称：“对于向下凸函数，均值的函数值不大于函数的均值”. Ch8. 波波维奇亚不等式 8.1若是一个在区间的向下凸函数，则对一切，有： 式就是波波维奇亚不等式. 8.2波波维奇亚不等式可以写成： 简称：“对于向下凸函数的三点情况，三点均值的函数与函数的均值之平均值，不小于两点均值的函数值之平均值”. 8.3若是一个在区间的向下凸函数，，则： 其中：，（对所有的） 式是普遍的波波维奇亚不等式. 当，，，时，，，， 代入式得： 即： 式正是式. Ch9. 加权不等式 9.1若，（），且，则： 式就是加权的均值不等式，简称加权不等式. 式形式直接理解为：几何均值不大于算术均值. Ch10. 赫尔德不等式 10.1若实数，实数且，则： 时，等号成立. 式称为杨氏不等式. 10.2若和为正实数，且，则： 式称为赫尔德不等式. 时，等号成立. 10.3赫尔德不等式还可以写成： 即：，即： 简称：“幂均值的几何均值不小于积均值”. （注：赫尔德与切比雪夫的不同点：赫尔德要求是，切比雪夫要求是同调；赫尔德的积均值小，切比雪夫的积均值大.） 10.4若、和为三个正实数序列，且，则： 式称为加权赫尔德不等式. 时，等号成立. 10.5若(;)，为正实数且，则： 式称为普遍的赫尔德不等式. 10.6推论：若，，，则： 简称：“立方和的乘积不小于乘积和的立方”. Ch11.闵可夫斯基不等式 11.1若；为正实数，且，则： 时，等号成立. 式称为第一闵可夫斯基不等式. 11.2若；为正实数，且，则： 时，等号成立. 式称为第二闵可夫斯基不等式. 11.3若；；为三个正实数序列，且，则： 时，等号成立. 式称为第三闵可夫斯基不等式. Ch12.牛顿不等式 12.1若为任意实数，考虑多项式： 的系数作为的函数可表达为： ； ； ；（） ；（） …… . 对每个，我们定义 则式类似于二项式定理，系数为：. 12.2若为正实数，则对每个有： 时，等号成立. 式称为牛顿不等式. Ch13.麦克劳林不等式 13.1若为正实数，按定义，则： 时，等号成立. 称麦克劳林不等式. Ch14.定义多项式 14.1若为正实数序列，并设为任意实数. 记：； 为所有可能的积之和，遍及的所有轮换. 14.2举例说明 ⑴ ：表示共有个参数的所有积之和，共有项.第个参数的指数是，第和第个参数的指数是. 故：. ⑵ ：表示共有个参数的所有积之和，共有项.第个和第个参数的指数是. 故：. ⑶ ：表示共有个参数的所有积之和，共有项.第个参数的指数是，第个参数的指数是. 故：. ⑷ ：表示共有个参数的所有积之和，共有项.第个参数的指数是，第个参数的指数是，第个参数的指数是. 故：. 即： ⑸ ：表示共有个参数的所有积之和，共有项.第个参数的指数是，第个参数的指数是，第个参数的指数是. 故：. ⑹ ：表示共有个参数的所有积之和，共有项.第个参数的指数是，第个和第个参数的指数是. 故：. ⑺ ：表示共有个参数的所有积之和，共有项.第个参数的指数是，第个参数的指数是，第个参数的指数是. 故：. 由于表达式比较多， 所以我们规定：（）. Ch15.舒尔不等式 15.1若，且，则： 式称为舒尔不等式. 15.2 解析式 ； ； 将上式代入式得： 即： 即： 即： 式与式等价，称为舒尔不等式. 15.3若实数，设，则： 或及轮换，等号成立. 按照式写法，即：，，则： 式是我们最常见的舒尔不等式形式. 15.4推论：设实数，实数且或，则： 式中，，，，就得到式. 15.5推论：设实数，则： 15.6推论：若，则对于一切，有： Ch16. 定义序列 16.1设存在两个序列和，当满足下列条件： ⑴ ① ⑵ 且 ② ⑶ ③ 对一切，③式都成立. 则：就是的优化值，记作：. 注：这里的序列只有定性的比较，没有定量的比较. Ch17.缪尔海德不等式 17.1若为非负实数序列，设和为正实数序列，且，则： 或时，等号成立. 式就缪尔海德不等式. 17.2解析式 若实数，实数，且满足，，；设，则：满足序列条件， 则： 即式为： 用通俗的方法表达即： 式就缪尔海德不等式的常用形式. 17.3例题：设为非负变量序列，考虑和. 由16.1中的序列优化得： 由缪尔海德不等式式得： ① ② ③ 将②③代入①得： 即： ④ 由柯西不等式： 即： 即： ⑤ ⑤式④式等价，这就证明了④式是成立的，而缪尔海德不等式直接得到①式是成立的. ⑤式可以用来表示，这正是缪尔海德不等式的式. Ch18.卡拉玛塔不等式 18.1设在实数区间的函数为向下凸函数，且当（）两个序列和满足，则： 式称为卡拉玛塔不等式. 18.2若函数为严格向下凸函数，即不等取等号，，且，则： 若函数为严格向上凸函数，则卡拉玛塔不等式反向. Ch19.单调函数不等式 19.1若实数函数在区间对一切为单调增函数，则当时，有；若在区间对一切为严格单调增函数，当时，有. 19.2若实数函数在区间对一切为单调减函数，则当时，有；若在区间对一切为严格单调减函数，当时，有. 19.3若实数函数在区间为可导函数，当对一切，，则在区间为单调递增函数；当对一切，，则在区间为单调递减函数. 19.4设两个函数和满足下列条件： ⑴ 函数和在区间是连续的，且； ⑵ 函数和在区间可导； ⑶ 导数对一切成立， 则对一切有： 式就是单调函数不等式. Ch20.个对称变量法 20.1设，对于具有变量对称形式的不等式，采用下列变量代换： ；；，则. 代换后的不等式，很容易看出其满足的不等式关系，这样证明不等式的方法称为法. 20.2常用的代换如下： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ 20.3常用的法的不等式 若，则： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ Ch21.个对称变量法 21.1在的不等式中，采用下列变量代换： ；；. 上述变换强烈含有“平均”的意味： 对应“算术平均值”；对应“积均值”；对应“几何平均值”. 21.2当时，则： 式称为傻瓜不等式. 即：“算术平均值”≥“积均值”≥“几何平均值”. 21.3若，则 式称为正值定理. 21.4若，任给，则当且仅当， 且时， 则：，，等式成立. 这称为定理. Ch22.法 22.1 法即 设；；. 则函数变换为. 这与Ch20.个对称变量法类似. 22.2若函数是单调的，则当时，达到极值. 22.3若函数是凸函数，则当时，达到极值. 22.4若函数是的线性函数，则当时，达到极值. 22.5若函数是的二次三项式，则当时，达到极值. Ch23.法 23.1 法即 23.2本法的全部思想是将给出的不等式改写成以下形式： 其中，分别都是的函数. ⑴ 若，则； ⑵ 若或，且，则； ⑶ 若或，且，则； ⑷ 若，且，则； ⑸ 若或或，且，则. 23.3 常用的形式 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ Ch24.法 24.1 法即 本法对多于个变量的对称不等式非常有用. 24.2 设为任意实数序列， ⑴ 选择使，； ⑵ 用其平均数代替和，经过多次代换后各项（）都趋于相同的极限. 24.3 设实数空间的函数是一个对称的连续函数，满足 其中，序列是由序列经过预定义变换而得到的. 预定义变换可根据当前