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2021-2022学年广东省广州市荔湾区高二(上)期末数学试卷
试题数:22,总分:150
1.(单选题,5分)数列{an}满足a1=1,an=an-1+2n(n≥2),则a3=( )
A.3
B.5
C.11
D.13
2.(单选题,5分)若{ a , b , c }构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是( )
A. b + c , b , b - c
B. a , a + b , a - b
C. a + b , a - b , c
D. a + b , a + b + c , c
3.(单选题,5分)倾斜角为45°的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,则|AB|=( )
A. 43
B.4
C.6
D.8
4.(单选题,5分)如图,在四面体OABC中, OA = a , OB = b , OC = c ,点M在OA上,且 MA =2 OM ,N为BC中点,则 MN 等于( )
A. 12 a - 13 b + 12c
B.- 13 a +12 b + 12c
C. 12 a +12 b - 12c
D. 13 a + 13 b - 12c
5.(单选题,5分)与圆C1:(x+2)2+y2=1和圆C2:(x-2)2+y2=4都外切的动圆圆心的轨迹是( )
A.双曲线的一支
B.椭圆
C.抛物线
D.圆
6.(单选题,5分)直线y= 23 x与双曲线 x2a2 −y28 =1(a>0)相交于A,B两点,且A,B两点的横坐标之积-9,则双曲线的离心率为( )
A. 3
B. 62
C. 213
D. 7
7.(单选题,5分)去年某地产生的生活垃圾为20万吨,其中14万吨垃圾以填埋方式处理,6万吨垃圾以环保方式处理,预计每年生活垃圾的总量递增5%,同时,通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨,则从今年起4年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为( )万吨(精确到0.1万吨)(参考数据:1.054≈1.2155,1.055≈1.2763)
A.39.4
B.51.5
C.63.4
D.75
8.(单选题,5分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若 AB •CD =0,则点A的横坐标为( )
A.2或1
B.3
C.3或1
D.2
9.(多选题,5分)已知m∈R,曲线C:(m-1)x2+(3-m)y2=(m-1)(3-m),则( )
A.当m=3时,C是x轴
B.当1<m<3时,C是椭圆
C.当m<1时,C是双曲线,焦点在x轴上
D.当m>3时,C是双曲线,焦点在y轴上
10.(多选题,5分)已知动点P与两定点A(0,0),B(3,0)的距离之比为 12 ,则( )
A.点P的轨迹所围成的图形的面积是4π
B.点P到点A的距离的最大值是2
C.点P到点B的距离的最大值是6
D.当P,A,B不共线时,△PAB的面积最大值是3
11.(多选题,5分)以下四个命题中,真命题的是( )
A.若数列{an}是各项均为正的等比数列,则数列{lnan}是等差数列
B.若等差数列{an}的前n项和为Sn,则数列{ Snn }是等差数列
C.若等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2018=0,则S2021=S2015
D.若等比数列{bn}的前n项积为Tn,且b2019=1,则T2021=T2016
12.(多选题,5分)直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=AA1=1,E,F,G分别为AA1,AB,AC的中点,则( )
A.EF⊥BC1
B.VA1-GEF=VB-C1EF
C.EF与C1G所成角的余弦值为 36
D.点G到平面AFC1的距离为 24
13.(填空题,5分)已知 a =(-3,2,5), b =(1,5,-1),则3 a - b =___ .
14.(填空题,5分)经过点B(3,0),且与直线2x+y-5=0垂直的直线方程是 ___ .
15.(填空题,5分)若数列{an}满足a1=6,an+1= an2,当an为偶数时3an+1,当an为奇数时 ,则a5=___ ,a2022=___ .
16.(填空题,5分)如图,已知直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于点D,点D的坐标为(2,1),则p=___ .
17.(问答题,10分)数列{an}共有5项,前三项成等比数列,后三项成等差数列,第3项等于8,第2项与第4项的和等于9,第1项与第5项的和等于4.求这个数列.
18.(问答题,12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为AB,AD,DD1的中点.
(1)求证:A1C⊥平面EFG;
(2)求直线DB1与平面EFG所成角的余弦值.
19.(问答题,12分)已知圆C:x2+y2-2x-4y-20=0,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0.
(1)求证:直线l恒过定点;
(2)设直线l交圆C于A,B两点,求弦长|AB|的最值及相应m的值.
20.(问答题,12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1(n∈N).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=2n,令cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn.
21.(问答题,12分)如图,已知边长为1的两个正方形ABCD,ABEF所在的平面互相垂直,点M,N分别在正方形对角线AC和BF上运动,且满足AM=FN=x(0<x< 2 ).
(1)求证:MN || 平面BCE;
(2)当线段MN的长最小时,求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值.
22.(问答题,12分)设点已知点A(-2,0),B(2,0),直线MA,MB相交于点M,且它们的斜率之积为- 34 ,M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)若经过点N(1,0)的直线l与曲线C交于P,Q两点,判断以PQ为直径的圆与直线x=4的位置关系,并说明理由.
2021-2022学年广东省广州市荔湾区高二(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
试题数:22,总分:150
1.(单选题,5分)数列{an}满足a1=1,an=an-1+2n(n≥2),则a3=( )
A.3
B.5
C.11
D.13
【正确答案】:D
【解析】:利用数列的递推关系式,逐步求解数列的第三项即可.
【解答】:解:数列{an}满足a1=1,an=an-1+2n(n≥2),
可得a2=a1+22=5,
a3=a2+23=13.
故选:D.
【点评】:本题考查数列的递推关系式的应用,数列项的求法,是基础题.
2.(单选题,5分)若{ a , b , c }构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是( )
A. b + c , b , b - c
B. a , a + b , a - b
C. a + b , a - b , c
D. a + b , a + b + c , c
【正确答案】:C
【解析】:由平面向量基本定理判断.
【解答】:解:由平面向量基本定理得:
对于A选项, b = 12 ( b + c )+ 12 ( b - c ),所以 b + c , b , b - c 三个向量共面;
对于B选项,同理: a , a + b , a - b 三个向量共面;
对于D选项, a+b+c = a+b+c ,所以三个向量共面;
故选:C.
【点评】:本题考查平面向量基本定理,属于基础题.
3.(单选题,5分)倾斜角为45°的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,则|AB|=( )
A. 43
B.4
C.6
D.8
【正确答案】:D
【解析】:根据已知条件,先求出直线l的方程,联立直线l与抛物线方程可得,x2-6x+1=0,再结合抛物线的定义,以及韦达定理,即可求解.
【解答】:解:∵直线l的倾斜角为45°,
∴直线l的斜率为1,
∵抛物线y2=4x,
∴焦点F(1,0),
∴直线l的方程为y=x-1,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立直线与抛物线方程 y2=4xy=x−1 ,化简整理可得,x2-6x+1=0,
由韦达定理可得,x1+x2=6,
故|AB|=x1+x2+p=6+2=8.
故选:D.
【点评】:本题主要考查抛物线的定义,考查计算能力,属于基础题.
4.(单选题,5分)如图,在四面体OABC中, OA = a , OB = b , OC = c ,点M在OA上,且 MA =2 OM ,N为BC中点,则 MN 等于( )
A. 12 a - 13 b + 12c
B.- 13 a +12 b + 12c
C. 12 a +12 b - 12c
D. 13 a + 13 b - 12c
【正确答案】:B
【解析】:由已知可得则 MA=23OA , BN=12BC ,然后再利用三角形法则化简即可求解.
【解答】:解:因为点M在OA上,且 MA =2 OM ,N为BC中点,
则 MA=23OA , BN=12BC ,
所以 MN=MA+AB+BN = 23OA+OB−OA+12BC
= −13OA+OB+12OC−OB = −13OA+12OB+12OC = −13a+12b+12c ,
故选:B.
【点评】:本题考查了平面向量基本定理的应用,考查了学生的运算能力,属于基础题.
5.(单选题,5分)与圆C1:(x+2)2+y2=1和圆C2:(x-2)2+y2=4都外切的动圆圆心的轨迹是( )
A.双曲线的一支
B.椭圆
C.抛物线
D.圆
【正确答案】:A
【解析】:根据题意,设动圆的圆心为M,其半径为r,由圆与圆的位置关系可得|MC1|=r+1,|MC2|=r+2,进而可得|MC2|-|MC1|=1,结合双曲线的定义分析可得答案.
【解答】:解:根据题意,设动圆的圆心为M,其半径为r,
圆C1:(x+2)2+y2=1的圆心为(-2,0),半径为1,
圆C2:(x-2)2+y2=4,其圆心为(2,0),半径为2,
若动圆M与圆C1和圆C1都外切,则有|MC1|=r+1,|MC2|=r+2,
则有|MC2|-|MC1|=1,(1<|C1C2|),
故动圆圆心的轨迹是双曲线的一支,
故选:A.
【点评】:本题考查曲线的轨迹,涉及双曲线的定义,属于基础题.
6.(单选题,5分)直线y= 23 x与双曲线 x2a2 −y28 =1(a>0)相交于A,B两点,且A,B两点的横坐标之积-9,则双曲线的离心率为( )
A. 3
B. 62
C. 213
D. 7
【正确答案】:C
【解析】:联立直线与双曲线方程,利用韦达定理求解a,推出c,即可得到双曲线的离心率.
【解答】:解:双曲线 x2a2 −y28 =1(a>0)的虚轴长为4 2 ,
联立直线y= 23 x与双曲线方程,消去y可得: 18−a218a2 •x2=1,
直线y= 23 x与双曲线交于A,B两点,A,B两点的横坐标之积为-9,
所以: 18−a218a2 ×9=1,解得a= 6 ,所以c= a2+b2 = 14 ,
可得e= ca = 146 = 213 .
故选:C.
【点评】:本题考查双曲线的
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