甘肃省陇南、临夏、甘南三地2023届高三上学期期中联考数学（理）含答案

陇南、临夏、甘南三地2022-2023学年高三上学期期中联考 数学（理科）试卷 第一部分 选择题（共60分） 一、单项选择题（每题5分、共60分） 1．集合的真子集个数为（ ） A． B． C． D． 2．设直线的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的( )。 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 3．命题“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 4.函数的定义域为( ) A. B. C. D. 5．在等差数列中，若为其前项和，，则的值是（ ） A．60 B．11 C．50 D．55 6．点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是( )。 A、 B、 C、 D、 7．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,6)、B(－4,3)、C(2，－3)，则点A到BC边的距离为 (　　) A． B． C． D．4 8.已知，过A(1,1)、B(1，－3)两点的直线与过C(－3，m)、D(n,2)两点的直线互相垂直，则点(m，n)有 (　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 9.直线恒过一定点，则此定点为( )。 A、 B、 C、 D、 10.如图所示，是棱长为的正方体，、分别是棱、上的动点，且。当、、、共面时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为( )。 A、 B、 C、 D、 11．若偶函数在上是增函数，则（ ） A. B. C. D. 12.已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则的面积为 A． B． C． D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（每题5分、共20分） 13．已知的定义域为，则的定义域是 ． 14.已知，若，则_______. 15．设是数列的前项和，若，则________. 16.已知直线l1经过点A(0，－1)和点B(－，1)，直线l2经过点M(1,1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________． 三、解答题（共70分） 17．（10分）已知函数，. （1）当时，求的最值； （2）使在区间上是单调函数，求实数的取值范围. 18．（12分）已知函数． （1）求不等式的解集； （2）若方程有三个不同实数根，求实数的取值范围． 19．（12分）已知数列的前项和与通项满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，，，求. 20．（12分）如图所示，在三棱柱中，底面为正三角形，在底面上的射影是棱的中点，于点。 (1)证明：平面； (2)若，求与平面所成角的正弦值。 21．（12分）已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点． (1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程； (2)求点A(5,0)到l的距离的最大值． 22.（12分）已知椭圆M与椭圆N:=1有相同的焦点,且椭圆M过点. (1)求椭圆M的标准方程; (2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆M上,且△PF1F2的面积为1,求点P的坐标. 答案 1-12 CBBDD ABDDB DD 13. 14. 或2 15. 16. －6 17. （1）最小值，最大值35；（2）. 18. （1）；（2）． 19. （1）；（2）. 20. (1)证明：连接，∵为正三角形，为中点，∴， ∵，，∴平面，∴， 2分 又，，∴，又， ∴平面， 4分 (2)解：由(1)可知，，，， 故分别以、、为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 6分 设，则，，，， 则，，， 8分 设平面的法向量为，则即， 设，则、，则， 10分 设与平面所成角为， 则， ∴与平面所成角的正弦值为。 12分 21. 解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0， 即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0． ∴＝3． 即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或． ∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0． (2)由 解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离， 则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)． ∴dmax＝|PA|＝． 22. (1)由题意,知椭圆N的焦点为(-2,0),(2,0),设椭圆M的方程为=1(a>b>0), 则化简并整理得5b4+11b2-16=0, 故b2=1或b2=-(舍),a2=5, 故椭圆M的标准方程为+y2=1. (2)由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),设P(x0,y0),则△PF1F2的面积为×4×|y0|=1,得y0=±. 又=1,所以,x0=±, 所以点P有4个,它们的坐标分别为