《椭圆及其标准方程》第1课时示范课教案【高中数学苏教版】

《椭圆及其标准方程》教学设计 第1课时 ◆ 教材分析 本节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线的方程的概念有了一定了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线． 椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础． 因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一．因此这一节的教学既可以对前面所学知识情况进行检查，又为以后进一步学习其他两种圆锥曲线打好基础，所以学好本节课内容具有承上启下的重要意义．我们在教学中采用实验探索法，讲授发现法等教学法，具体做法如下： （1）通过图形由圆变化到椭圆的过程中蕴含着运动变化的思想，由学生通过观察、猜想，从而使学生参与知识的获取、抽象、归纳的全过程，得到椭圆的定义及其应注意的条件，提高学生的综合分析能力． （2）由演示出发，经过问题思考→研究讨论→点拨引导→抽象概括，得到椭圆标准方程．教师边演示边提出问题，充分调动学生学习的自主性和积极性，并从中体会数学知识的和谐美和获取知识的喜悦． 一位教育学家说过：“不能只向学生奉献真理，而应教给学生发现和探求真理的方法．”本节课的教学，正是本着这样的教学思想去设计的． 课时分配　　　　　 本节内容分两课时完成． 第一课时讲解椭圆的定义及其标准方程；第二课时讲解运用椭圆的定义及其标准方程解题，巩固求曲线方程的两种基本方法，即待定系数法、定义法． ◆ 教学目标 掌握椭圆的定义及其标准方程；能正确推导椭圆的标准方程；明确焦点、焦距的概念． ◆ 教学重难点 ◆ 教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程． 教学难点：椭圆标准方程的推导． ◆ 课前准备 多媒体课件和自制教具：绘图板、图钉、细绳． ◆ 教学过程 引入新课　　　　　 1．通过演示课前老师和学生共同准备的有关椭圆的实物和图片（PPT），让学生从感性上认识椭圆． 2．通过动画设计（几何画板演示），展示椭圆的形成过程，使学生认识到椭圆是点按一定“规律”运动的轨迹． 探究新知　　　　　 探究：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处（如图），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 下面请同学们在绘图板上作图，并思考以下问题： 在作图时，因为笔尖M运动，所以为动点，两个图钉F1、F2不动，所以为定点． 1．在这一过程中，你能说出移动的笔尖（动点）满足的几何条件吗？其轨迹是什么曲线？ 2．改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？ 3．当绳长小于两图钉之间的距离时，还能画出图形吗？ 4．两个图钉重合在一点时，画出的图形是什么？ 5． 当绳长满足什么条件时，动点M形成的轨迹是椭圆？ 活动设计：两个学生一组，合作操作画图过程，并思考上述问题，必要时，允许合作、讨论、交流．教师巡视指导，及时发现问题，解决问题． 活动成果：1．|MF1|＋|MF2|＝绳长（定值）；椭圆；2．不是椭圆，是线段F1F2；3．不能；4．以F1（F2）为圆心，以绳长的一半为半径的圆；5．当两图钉F1、F2之间的距离不为0且绳长大于两图钉F1、F2之间的距离时． 提出问题：类比平面几何中圆的定义，给出椭圆的定义． 活动设计：学生先独立思考，必要时允许学生自愿合作、讨论、交流． 学情预测：开始学生的回答可能不全面、不准确，但在学生的不断补充、纠正下，会趋于完善． 活动成果：师生共同概括出椭圆定义： 平面内与两个定点F1 、F2 的距离的和等于常数（大于 |F1 F2 | ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． （在归纳定义时强调定义要满足三个条件：在平面内、任意一点到两个定点的距离之和等于常数、常数大于|F1F2|） 设计意图：通过上述操作、思考问题使学生建立起对椭圆的初步、直观的认识，并训练和培养学生的抽象概括能力． 下面我们根据椭圆的几何特征，选择适当的坐标系，建立椭圆方程．为今后通过方程研究椭圆的性质做好准备． 提出问题：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是什么？ 活动结果：建系、设点、列式、化简．（学生回答，教师板书） 提出问题：如图，已知椭圆的两焦点为F1，F2，且|F1F2|＝2c，对椭圆上任一点M，有 |MF1|＋|MF2|＝2a，尝试建立椭圆的方程． 提出问题：如何建立坐标系，使求出的方程更为简单？ 活动设计：学生先独立思考，必要时，允许合作讨论．教师巡视指导． 学情预测：学生的建系方法应当会有很多种． 活动结果：教师将各个学生或学习小组的建立坐标系的方案一一画图表示．然后，提醒全班学生应当类比利用圆的对称性建立圆的标准方程时的建立坐标系的方法，根据椭圆的几何特征（主要是对称性），选择适当的坐标系，才可能使建立的椭圆方程简单．这样，师生就会达成一致意见，选定以下两种方案： 方案一：如图，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy． 方案二：如图，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立直角坐标系xOy． 　　　　　　　　　方案一　　　　　　　　　　　 方案二 　　　　　　　　　 提出问题：请同学们按方案一具体求出椭圆的方程． 活动设计：学生独立解决．必要时，为顺利完成教学，教师应当介入，加以指导、提示． 设点：设椭圆上任一点M的坐标为（x，y）． 列式：|MF1|＋|MF2|＝2a，∴＋＝2a．① 化简：（这里，教师为突破难点，进行设问：我们怎样化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？） ＝2a－． 两边平方，得（x＋c）2＋y2＝4a2－4a＋（x－c）2＋y2． 即a2－cx＝a． 两边平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2（x－c）2＋a2y2． 整理，得（a2－c2）x2＋a2y2＝a2（a2－c2）．（※） 学情预测：一般情况下，得到方程（※）即告结束． 提出问题：设方案一中的椭圆与x轴的交点分别为A1，A2，与y轴的交点分别为B1，B2，同学们都知道a，c的含义，你能从图形中找到长度分别等于a，c的线段吗？ 活动设计：学生先独立思考，必要时，可以重复开始的画椭圆的过程，并可合作交流． 学情预测：估计得出c＝＝|OF1|＝|OF2|，a＝＝|OA1|＝|OA2|应当不会有问题． 提出问题：当动点M移动到B1或B2点时，根据椭圆的定义及坐标系的建立方式，你还能发现新的结论吗？ 学情预测：学生会发现：|B2F1|＝|B2F2|＝a＝|B1F1|＝|B1F2|． 教师：这样，因为△B2OF2为直角三角形，且|B2F2|＝a，|OF2|＝c，所以，a2－c2＝|OB2|2．因此，方程（※）中的a2－c2有明显的几何意义．为此，令|OB2|＝b，则a2－c2＝b2．于是，方程（※）可以进一步化简为： b2x2＋a2y2＝a2b2．（☆） 学情预测：一般情况下，得到方程（☆），本题求解也即告结束． 提出问题：非常好．这个方程两边次数一致，非常工整，类似这种结构的方程在哪儿见过，怎么处理的呢？ 活动设计：学生可以互相讨论、启发，必要时教师可以提示． 活动结果：直线的截距式方程＋＝1就是由bx＋ay＝ab化得的．因此． 方程（☆）可以进一步整理成：＋＝1（a>b>0）（这种形式“美”）． 指出：方程＋＝1（a>b>0）叫做椭圆的标准方程，焦点在x轴上，焦点是F1（－c，0），F2（c，0），且c2＝a2－b2． 提出问题：如果以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立直角坐标系，焦点是F1（0，－c），F2（0，c），椭圆的方程又如何呢？ 教师：列式：|MF1|＋|MF2|＝2a，即＋＝2a．② 试比较①②两式，它们有何区别与联系？发现只需交换①式中x和y的位置，即得②式，反之也成立．所以，易知，只需将＋＝1（a>b>0）中的x和y的位置互换，即得焦点在y轴上的椭圆方程为＋＝1（a>b>0）． 教师指出：我们所得的两个方程＋＝1和＋＝1（a>b>0）都是椭圆的标准方程． 提出问题：已知椭圆的标准方程，如何判断焦点位置？ 活动设计：学生先独立思考，当然，学生自愿合作讨论也允许． 活动结果：看x2，y2的分母大小，哪个分母大就在哪一条轴上． 理解新知　　　　　 1．观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳： （1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴； （2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1； （3）椭圆标准方程中三个参数a，b，c满足关系式：b2＝a2－c2（a>b>0）； （4）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定； （5）求椭圆标准方程时，可运用待定系数法求出a，b的值． 2．在归纳总结的基础上填写下表 标准方程 ＋＝1（a>b>0） ＋＝1（a>b>0） 图形 a，b，c关系 b2＝a2－c2 b2＝a2－c2 焦点坐标 （±c，0） （0，±c） 焦点位置 在x轴上 在y轴上 运用新知　　　　　 1已知一个贮油罐横截面的外轮廓是一个椭圆，它的焦距为2.4 m，外轮廓线上的点到两个焦点的距离的和为3 m，求这个椭圆的标准方程． 思路分析：巩固椭圆的标准方程，通过学生熟悉的实际模型，体会圆锥曲线应用的广泛性．解题思路是寻找两个定值a，c．用待定系数法求出椭圆的标准方程． 解：以两焦点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，则这个椭圆的标准方程可设为 ＋＝1（a>b>0）． 根据题意知2a＝3，2c＝2.4，即a＝1.5，c＝1.2，所以 b2＝a2－c2＝1.52－1.22＝0.81． 因此，这个椭圆的标准方程为 ＋＝1． 点评：（1）进一步熟悉椭圆的焦点位置与标准方程之间的关系；（2）掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程，解题时强调“二定”即定位定量； （3）培养学生运用知识解决问题的能力． 2求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（－4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10． （2）两焦点坐标分别是（0，－2），（0，2），并且椭圆经过点（－，）．（教材例题改编） （3）a＋b＝10，c＝2． 思路分析： （1）根据题设容易知道c＝4，2a＝10且椭圆焦点在x轴上； （2）思路1：利用椭圆定义（椭圆上的点（－，）到两个焦点（0，－2）、（0，2）的距离之和为常数2a）求出a值，再结合已知条件和a、b、c间的关系求出b2的值，进而写出标准方程； 思路2：先根据已知条件设出焦点在y轴上的椭圆的标准方程＋＝1（a>b>0），再将椭圆上点的坐标（－，）代入此方程，并结合a、b、c间的关系求出a2、b2的值，从而得到椭圆的标准方程为＋＝1． （3）利用已知条件得a2－b2＝20，联立 解得a，b． 然后根据焦点位置分别写出焦点在x轴和y轴上的椭圆方程． 答案：（1）＋＝1　（2）＋＝1　（3）＋＝1或＋＝1． 点评：加深学生对椭圆的焦点位置与标准方程之间关系的理解，加深对定义的理解和对分类讨论数学思想方法的运用．教学时采用在教师引导下学生自主完成的方法． 提出问题：请解答下列问题： 1．已知椭圆＋＝1，则你可以得到哪些结论？（把你能得到的结论都写出来） 2．已知a＝5，c＝4，则你可以得到哪些结论？（把你能得到的结论都写出来） 3．已知a＝4，______，可以求得椭圆的标准方程为＋＝1，则题中横线上需要添加什么样的条件？ 活动设计：学生先独立探索，允许互相交流成果．然后，全班交流． 学情预测：1．a＝5，b