几何基础 国家开放大学春季期末考试真题（含解析）

试卷代号:1083 座位号 国家开放大学春季学期期末统一考试 几何基础试题 一、选择题（每小題4分，本題共20分） 1. 如果两个向量的对应分量成比例，则二者（）. A.平行 B.垂直 C.相交 D.不一定 2. 若二次曲线「的极点为无穷远点，贝仃在此处与无穷远直线（ A.相切 C.有两个不同交点 3.点列之间的射影对应是由（ 4.若(AB, CD)=r,则(DB, AC)=( B.相离 D.不相切 ）对对应点唯一确定. B. 2 D. 3 ）• B. r C. 1-- r B. [0, 0, 1] D. [1. 0, 1] 5. 无穷远直线的齐次线坐标为( A. [1, 0, 0] C. (1, 1, 0] 二、 填空题（每小题4分，本题共20分） 6. 仿射变换把等腰三角形底边上的高线变成 . 7. 已知共线四点A、B、C、D的交比（CA, DB）=2,则（CD, AB）= . 8. 极线上的点与极点 . 9. 射影对应把等腰三角形底边上的高变成 . 10. 几何公理体系的三个基本问题包括 、 、 三、 计算题（每小題10分，共30分） 11. 求使直线A：-2y-l = 0的每个点不变，且把点（1, 1）变成点（-1, 1）的仿射变换. 12. 若直线匕，G，，3，L的方程为4-2y-l = 0, 2;r + 3y —2 = 0, 3x - y - 9 = 0» x + y-2 = 0,求0i，&，4, 〃）• 13. 求点关于（1,-1, 0）二阶曲线的3/ + 5好+好+ 7了］尤3 + 5了2了3 = 0极线. 四、 证明题（每小题10分，共30分） 14. 证明：以任意三角形的三条中位线为边可做一个三角形. 第14题图 15. 设AABC的顶点A, B. C分别在共点的二直线1, m,n咒上移动，且直线AB和BC分别 通过定点P和Q,求证CA也通过PQ上一个定点. 0 第15题图 16. 设OX, OY, 0Z为三条定直线，A. B为二定点，其连线过0,点R为0Z上的动点，且 直线RA, RB分别交OX, 0Y于点P, Q,求证：PQ通过AB上一定点. 第16題图 试卷代号:1083 国家开放大学春季学期期末统一考试 几何基础试题答案及评分标准 （供参考） 一、选择题（每小题4分，本题共20分） I. A 2. A 3. D 4. C 5. B 二、 填空题（每小题4分，本题共20分） 6. 三角形底边上的中线 7. -1 8. 共辆 9. 过顶点相交于对边的任意一条直线 10. 相容性、独立性、完备性 三、 计算题（每小题10分，共30分） II. 解设所求的仿射变换为 a + anx + a12y b + a2ix + a22y 在直线x-2y-l=0上任取两点(1, 0), (-1, -1), （3分） 则所求的仿射变换把三点（1, 1）. （1. 0）, （」，」），分别变成点（一 1, 1）, （1, 0）, （-1, -1）.将这三对点代人仿射变换式得 -1 = +Q+a” + Q” 1 = b + a2i + a22 1 = a + an 0 = b + a2i —1 = a — an — a12 — l = b — a2i - ^22 解得 b = 0 Q” =2 q〔2 = -2 a2i = 0 （8分） I a?? = 1 因此，所求的仿射变换式为 ^ = 2x-xy-l （ I y =y 12.解如，2,，3, 4与X轴的交点分别为 Xl=l, *2 = 1，》3=3，*4=2 （5 分） 于是（很2，頌4）= （10 分） 13.解将点(1,0)的坐标及a。(i, j = l, 2, 3)的值代入极线方程 (a”％ + a12y2 + a13y3)^i + (a2iyi + a22y2 + «23^3)^2 + («31^1 + ^32^2 + = 0 即 （3 + 0）与 + G _ 5 + 0）相 +（2 _ ： + 0）工3 = 0 整理即得所求极线方程 xt + 3x2+x3 = 0 10 分 (5分) 四、证明题（每小题10分，共30分） 14.证明如图， 第 i4_®ai 设AB = c, BC = a, CA = b,则a + b + c = 0 设B, F, D分别为ZXABC三边AC, AB, BC的中点 则EF =|FC = ia,而=汗=技， ED = z：AB = :c. 'EF + 'FD+'ED = -BC+-AC +-AB = -a+-b+-c = -(a + b+ €)= () 艮卩，以中位线序，FD,函为边可作成一个三角形， 10分 15.证明 如图，设WB'C'是满足条件的另一个三角形，在AABC和AA'B'C'中，由于对应 点连线，共点0, 5分 由笛沙格定理可知对应边交点P、Q、R共线，即AC与AC的交点R必在PQ直线上， 则R为定点. 10分 6分 10分 第16题图 第题图 16.证明 利用“射影到无穷远"，取OAB所在直线为影消线，经过中心投影之后, 。8人888为无穷远直线，如图所示，则PRP2P2, Q1Q2R2R1为平行四边形， 3分 于是 PiPlJLRiRifRxRzJLQ.Qt， 占 所以， 因此，P】Q],与P2Q2的象交于无穷远点，8分 所以，RQ]与P2Q2相交子AB上一定点.