2023届福建省福州市普通高中毕业班质量检测（二模）数学试卷答案和解析

数学参考答案 第1页 共12页 2023 年福州市普通高中毕业班质量检测 数学试题参考答案与评分细则 一、单项选择题：单项选择题：1-8 D B C A B D C D 8【解析】因为()()32f xg x+=，所以()()32+=f xg x，又()()12fxg x+=，则 有()()31+=f xfx，因 为()1f x+是 奇 函 数，所 以()()11+=f xfx，可 得()()31+=+f xf x，即有()()2+=f xf x与()()42+=+f xf x，即()()4+=f xf x，所以()f x是周期为4的周期函数，故()g x也是周期为4的周期函数.因为()()2=+fxf x，所以()()fxf x=，所以()f x为偶函数.故 A 错误；由()1f x+是奇函数，则()10f=，所以()30f=，又()()()()24200+=+=ffff，所以()()()()()201512340kf kffff=+=，所以 C 选项错误；由()10f=得()02g=，所以 B 选项错误；因为()()()225212gff=，()()()()()(1)324264424ggffff+=+=+=，所以()()()()01238gggg+=，所以()()()()()2015012340kg kgggg=+=，所以 D 选项正确.二、二、多项选择题：本题共多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9.BCD 10.BD 11.11.BC 12.12.AD 12【解析一】由2213324xyy+=，令13cos,233sin,2xyy+=可得3cossin,2sin,xy=故22 3cos2sin2sin2 3cos2 3,2 3xy+=+=，故 A 正确；B 错误；()2232323cossin2sin54sin 21,96xyxyxy+=+，故 C 错误；D正确，故选 AD.12【解析二】令2xyt+=，则2ytx=代入223xxyy+=，整理可得，223330 xtxt+=，因为xR，所以()()22291233120ttt=，解得2 32 3t，故 A 正确；B 错数学参考答案 第2页 共12页 误；由222233xxyyxyxy+=，因为222xyxy+，所以32xyxy，所以 31xy，又2232xxyyxy+=，从而1 329xy，故 C 错误；D 正确，故选 AD.12【解析三】令xuv=+，yuv=，代入223xxyy+=，得2213vu+=，令cos,3sinuv=（0,2）.s23cos3sin2 3 in2 3,3323xyuv+=+=+=，故 A 正确，B 错误；22222223scos9 in18sin1,9xyxyuv+=+=+，故 D 正确，C 错误；故选 AD.三、三、填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分，共，共 20 分分 13.247 14.0.64 15.11 16.40 xy+=15【解析一】：令32()362f xxxx=+，则()2366fxxx=+，设(),1P m，()(),Q n f n，依题意()()fmfn=，所以22366366mmnn+=+，则()222mnmn=，显然mn，则2mn+=，因为()()()31316f xxx=+，所以()f x的图象关于点()1,6中心对称，所以点P与点Q关于点()1,6对称，所以()162f n+=，则()11.f n=15【解析二】：令32()362f xxxx=+，因为()()23130fxx=+，故()f x在R上单调递增，令323621xxx+=，设其根为Px，得32361PPPxxx+=.由于()f x在点P处的切线与在点Q处的切线平行，得()fxk=存在两实根，其中一个为Px，设另一个为Qx.即2366xxk+=两根为Px，Qx，由韦达定理得2PQxx+=，则2QPxx=，从而()3232362(2)3(2)6(2)2QQQQPPPf xxxxxxx=+=+322326128312121262(36)1011PPPPPPPPPxxxxxxxxx=+=+=.16【解析一】：由条件得B点为线段MN中点，设B点坐标为00(,)xy，得0(2,0)Mx、0(0,2)Ny，由|:|1:2MAAB=得A坐标为005(,)33xyA，将A、B坐标分别代入221126yx+=中，得220022001,126251,12969xyxy+=+=解得002,2,xy=则M、N坐标分别为(4,0)、(0,4)，直线l的方程为40 xy+=.BANMOxy数学参考答案 第3页 共12页 16【解析二】：设直线l方程为ykxm=+（,0k m），可得,0mMk，()0,Nm，根据|:|:|1:2:3MAABBN=得A,B坐标分别为5,66m mk,22m mk.将A,B坐标代入C方程中，可得 222222251,63612361,64124mmkmmk+=+=即2222222225212 36,2124,mm kkmm kk+=+=两式相减得4mk=，将其代入22222124mm kk+=，得1k=，从而直线l的方程为40 xy+=.四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分 10 分）【命题意图】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换、基本不等式等基础知识；考查运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想等；导向对发展逻辑推理、数学运算等核心素养的关注；体现基础性和综合性.满分 10 分.【解析一】（1）由余弦定理可得2222cos=+bcaacB，代入2222bac=，得到2222(2cos)2+=caacBac，1 分 化简得22cos0+=cacB，即2 cos0caB+=，2 分 由正弦定理可得sin2sincos0CAB+=，即()sin2sincos0+=ABAB，3 分 sincoscossin2sincos0ABABAB+=，3sincoscossinABAB=，4 分 可得tan3tanBA=.5 分（2）由（1）可知tan3tanBA=，所以tan A与tan B异号，又22220bac=，故ba，则有BA，因为,(0,)A B，故A为锐角，B为钝角，则C为锐角，6 分 所以()22tantantan3tan2tantantantantan13tan13tan1ABAAACABABAA+=+=+7 分 223132 33tantanAA=+，8 分 等号当且仅当3tan3A=，即6A=时成立，9 分 所以C的最大值为6.10 分 数学参考答案 第4页 共12页【解析二】（1）由正弦定理可得：sinsinBbAa=，1 分 由余弦定理可得：222222cos2cos2bcaAbcacbBac+=+，2 分 则222222222222tansincos2tansincos2bcaBBAbbcabcacbAABaacbac+=+，3 分 因为2222bac=，所以2222tan23tan2BccAcc+=.5 分（2）222cos2+=abcCab 6 分 222222+=baabab 7 分 2234+=abab344=+abba 3216 32=.8 分 所以6C，等号当且仅当223=ba时，即3=ba时成立，9 分 所以C的最大值为6 10 分【解析三】（1）由2222bac=，由正弦定理可得，222sinsin2sinBAC=，1 分 因为22222222sinsinsinsinsinsinsinsinBABBABAA=+22222222sin(1sin)sin(1sin)sincossincosBAABBAAB=()()(sincoscossin)(sincoscossin)sinsinBABABABAABBA=+=+，3 分 又因为ABC+=，所以()sinsinCAB=+，所以()()()2sinsin2sin+=+ABBAAB，因为0AB+，所以()sin0AB+，所以()()sin2sinBAAB=+，化简得3sincossincosABBA=，4 分 可得tan3tanBA=.5 分（2）同解析一.10 分 全科试题免费下载公众号高中僧课堂数学参考答案 第5页 共12页 FEBDCAPxGOFEBDCAPyz18.（本小题满分 12 分）【命题意图】本小题主要考查空间几何体点、线、面位置关系、直线与平面所成角等基础知识；考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力；考查化归与转化思想，数形结合思想等；导向对发展直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养的关注；体现基础性与综合性.满分 12 分.【解析】（1）取PD中点F，连接AF、EF.EFCD，12EFCD=，ABCD，12ABCD=，EFAB，EFAB=，1 分 四边形ABEF为平行四边形，BEAF，3 分 又BE 平面PAD，AF 平面PAD，BE平面PAD.4 分（2）取AD中点O，BC中点G，连接,PO OG，可得POAD，OGCD.平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，POAD，PO 平面PAD，PO 平面ABCD.5 分 ADCD，OGCD，OGOA.6 分 以O为原点，以AD OG OP,所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系.7 分 因为2,4,2 3ABCDAD=，PAD是等边三角形，所以2 3PDAD=，132OAAD=，223POPDOD=，所以()3,0,0A，()3,2,0B，()3,4,0C，()0,0,3P.则()0,2,0AB=，()2 3,2,0BC=，()3,2,3BP=.9 分 设平面PBC的法向量为(),x y z=n，由0BC=n，0BP=n，可得2 320,3230,xyxyz+=+=令1x=，可得3,3yz=，从而()1,3,3=n是平面PBC的一个法向量.10 分 则2 321cos,727|ABABAB=nnn，11 分 所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为217.12 分 数学参考答案 第6页 共12页 19.（本小题满分 12 分）【命题意图】本小题主要考查数列通项，数列求和等基础知识；考查欧拉函数概念的理解和应用；考查逻辑推理能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、特殊与一般思想等；导向对发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注；体现基础性、应用性与创新性.满分 12 分.【解析】（1）不超过9，且与其互质的数即为1,9中排除掉3,6,9剩下的正整数，则()223336=；2 分 不超过27，且与其互质的数即为1,27中排除掉3,6,9,12,15,18,21,24,27剩下的正整数，则()3333918=.4 分（2）因为32,3kk（11,2,3nk=）中与3n互质的正整数只有32k 与31k 两个，所以1,3n中与3n互质的正整数个数为12 3n，所以()132 3nn=，()1111323322nnnna=，7 分 所以31log13nnnana=.8 分 设数列3lognnaa的前n项和为nT.1211210333nnnT=+，23112103333nnnT=+，9 分 11211111111113331133333313nnnnnnnT=+=10 分 11112233nnn=121223nn+=，11 分 则13 1213212 22 344 3nnnnnT+=.12 分 说明：不超过3n，且与其互质的正整数即为排除掉3的倍数的数，在每相邻的三个正整数中排除掉是3的倍数的数即可，可得()11113(33)322nnnnn