湘豫名校联考2022-2023学年高三下学期3月第一次模拟考试理数答案和解析

书书书数学?理科?参考答案?第?页?共?页?湘 豫 名 校 联 考?年?月高三第一次模拟考试数学?理科?参考答案题号?答案?一?选择题?本题共?小题?每小题?分?共?分?在每小题给出的四个选项中?只有一项是符合题目要求的?命题意图?本题考查集合的运算?解不等式?考查了数学运算的核心素养?解析?因为集合?所以?所以?故选?命题意图?本题考查复数的运算?复数的几何意义?考查了数学运算?直观想象的核心素养?解析?因为复数?其在复平面内对应的点位于第四象限?所以?解得?所以实数?的取值范围为?故选?命题意图?本题考查等差数列的性质?等比数列的通项及其性质?考查了数学运算?逻辑推理的核心素养?解析?设等比数列?的公比为?因为?是?和?的等差中项?所以?即?因为?所以?解得?或?因为等比数列?是递增数列?所以?又因为?所以?故选?命题意图?本题考查函数的周期性及函数图象的对称性?考查了数学抽象?逻辑推理的核心素养?解析?因为?为偶函数?所以?所以?又?所以?所以?所以函数?的一个周期为?所以?故选?命题意图?本题考查相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式?考查了转化思想和数据分析求解能力以及数学建模的核心素养?解析?设该小组三人能同时进入决赛为事件?则该小组三人能同时进入决赛即前两轮比赛三人都顺利通过?则?故选?命题意图?本题考查圆与双曲线的综合问题?以及双曲线离心率的求法?考查了运算求解能力和数学运算的核心素养?解析?方法一?依题意?易得以?为直径的圆的方程为?又由双曲线?易得双曲线?的渐近线方程为?当?时?如图?设?则?联立?解得?或?所以?又因为?所以?数学?理科?参考答案?第?页?共?页?轴?因为?所以?所以?因为?所以?同理?当?时?亦可得?故双曲线?的离心率为?槡?故选?方法二?极化恒等式?易得坐标原点?为线段?的中点?且?所以?所以?槡?故选?命题意图?本题考查线性规划?考查了直观想象?逻辑推理的核心素养?解析?由题?画出满足题意的可行域如图所示?令?可化为?相当于直线?在?轴上的截距?平移直线?当直线过点?时?截距最大?最小?当直线过点?时?截距最小?最 大?联 立?得?所 以?联 立?得?所以?所以?所以?故选?命题意图?本题考查离散型随机变量的分布列?期望与方差?考查了数据分析?数学运算的核心素养?解析?由题意?得?所以?因为?所以?由?得?代 入?解 得?所 以?故选?命题意图?本题考查排列?组合的综合问题?考查了运算求解能力?逻辑推理和数学建模的核心素养?解析?根据题意?学校从?名优秀学生中选出?人去参加?本书籍的知识竞赛?且每本书的知识竞赛都要有该校学生参加?则必会有两人去参加同一书籍的知识竞赛?若选出的?名学生中不含甲同学?在这?名学生中任意取?人进行捆绑?则不同的安排方法共有?种?若选出的?名学生中含有甲同学?则在剩余的?名优秀学生中再抽取?人?共有?种方法?若甲同学和其中?名学生去参加同一书籍的知识竞赛?则共有?种方法?若甲同学单独一人去参加某本书的知识竞赛?则共有?种方法?根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理可得?不同的安排方法共有?种?综上所述?不同的安排方法共有?种?故选?命题意图?本题考查数学文化?数列求和?考查了数学抽象?数学运算?逻辑推理的核心素养?解析?由?得?又?所以数列?构成以?为首项?为公比的等比数列?所以?又?叠加可得?即?所以?又因为?满足上式?所以?所以?因为?所以?即?所以?故?所以?故选?命题意图?本题考查函数的应用?考查了数学建模?数学运算?逻辑推理的核心素养?数学?理科?参考答案?第?页?共?页?解析?由题意得?销售收入为?万元?当产量不足?万件时?利润?当产量不小于?万 件 时?利 润?所 以 利 润?因为当?时?所以?在?上单调递增?在?上单调递减?则?当?时?槡?当且仅当?时取等号?又?所以当?时?所获利润最大?最大值为?万元?故选?命题意图?本题考查对数大小的比较及导数的应用?考查了数学抽象?逻辑推理?数学运算的核心素养?解析?因为?所以?所以?比较?与?的大小?即比较?与?的大小?令?则?令?则?所以?在定义域上单调递减?所以当?时?所以?所以?在?上单调递减?所以?即?所以?即?综上所述?故选?二?填空题?本题共?小题?每小题?分?共?分?槡?命题意图?本题考查向量的运算法则?考查了数学抽象?直观想象的核心素养?解析?因为向量?所以?因为?所以?即?解得?负值舍去?所以?所以?所以?在?方向上的投影为?槡?槡?或?只答一个不得分?命题意图?本题考查二项式定理?考查了数学运算的核心素养?解析?因为槡?槡?的展开式中各项系数的和为?各二项式系数的和为?所以由题意得?所以?或?解得?或?槡?命题意图?本题考查线面垂直以及三棱锥的外接球问题?考查了学生的运算求解能力和直观想象?数学运算的核心素养?解析?因为?槡?所以在?中?根据余弦定理可得?数学?理科?参考答案?第?页?共?页?即?槡?槡?槡?所 以?所以?所以底面?是顶角为?的等腰三角形?由题意将三棱锥?补成如图所示的直三棱柱?则该直三棱柱的外接球即为三棱锥?的外接球?且直三棱柱的外接球球心落在上?下底面外接圆圆心连线的中点上?设?外接圆的半径为?三 棱锥?外 接 球 的 半 径 为?由 正 弦 定 理 得?槡?槡?所以?槡?所以三棱锥?外接球的体积为?槡?命题意图?本题考查直线与椭圆的位置关系?考查了直观想象?数学运算?逻辑推理的核心素养?解析?由题意知?直线?的斜率存在且不为?和?设直线?的方程为?即?设?点?的坐标均不为?联立?整理得?则?解得?因为?时?所 以?三?解答题?共?分?解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤?第?题为必考题?每个试题考生都必须作答?第?题为选考题?考生根据要求作答?一?必考题?共?分?命题意图?本题考查三角恒等变换?解三角形?考查了数学运算?逻辑推理的核心素养?解析?因为?槡?槡?槡?槡?分所以?所以?分所以?即?又?所以?分?方法一?在?中?由余弦定理可得?则?槡?又点?为?边上靠近点?的三等分点?所以?槡?分又在?中?槡?槡?分数学?理科?参考答案?第?页?共?页?在?中?由余弦定理可得?槡?槡?所以?槡?分方法二?因为点?为?边上靠近点?的三等分点?所以?分等式两边同时平方可得?分所以?槡?即?槡?分?命题意图?本题考查统计?独立性检验?考查了数据分析?数学运算?逻辑推理的核心素养?解析?因为?所以竞赛成绩的中位数在?内?分设竞赛成绩的中位数为?则?解得?所以估计这?名学生的竞赛成绩的中位数为?分?由?知?在抽取的?名学生中?竞赛成绩为?优秀?的有?人?分由此可得完整的?列联表?优秀非优秀合计男?女?合计?分因为?的观测值?分所以有?的把握认为?竞赛成绩是否优秀与性别有关?分?命题意图?本题考查了空间向量中的线面角以及点的存在性问题?考查了学生的逻辑推理?运算求解能力和直观想象?数学运算的核心素养?解析?方法一?因为?所以?又因为?槡?所以?分因为?平面?平面?平面?所以?又?槡?所以?槡?以?为坐标原点?以?所在直线分别为?轴?轴?轴?建立如图所示的空间直角坐标系?则?分所以?设平面?的法向量为?数学?理科?参考答案?第?页?共?页?则?即?得?令?可得平面?的一个法向量为?设直线?与平面?所成的角为?则?所以直线?与平面?所成角的正弦值为?分?不存在点?理由如下?假设存在满足条件的点?如图?可设?所以?所以?分又由?知?为平面?的一个法向量?所以?即?无解?所以线段?上不存在满足条件的点?分方法二?几何推理法?如图?连接?因为?所以?因为?槡?所以?因为?所以?槡?槡?分因为?平面?平面?平面?平面?所以?因为?槡?所以?槡?槡?槡?所以?槡?槡?槡?槡?分设点?到平面?的距离为?由?得?解得?设直线?与平面?所成的角为?则?所以直线?与平面?所成角的正弦值为?分?不存在点?理由如下?假设存在满足条件的点?由?平面?平面?平面?得?且?因为?平面?平面?所以?分因为?且?平面?平面?所以?平面?又?平面?所以?分若存在满足条件的点?则点?必与点?重合?又?与?不垂直?所以线段?上不存在满足条件的点?分数学?理科?参考答案?第?页?共?页?命题意图?本题考查直线与抛物线的位置关系及其应用?考查了直观想象?数学运算?逻辑推理的核心素养?解析?设点?的坐标为?由抛物线定义可知?故?解得?所以抛物线?的标准方程为?分?由?易知?设?若?轴?由?得?或?或?此时不满足?所以不满足题意?分设直线?的方程为?直线?的方程为?如图所示?将?代入抛物线方程得?所以?将?代入抛物线方程得?所以?分直线?的斜率为?同理?的斜率为?因为?所以?所以?即?分由?解得?将其代入?可得?所以?槡?槡?或?槡?槡?分当?槡?槡?时?直线?的方程为?槡?槡?分因为?满足?槡?所以?槡?所以?槡?槡?所以?分同理可得?当?槡?槡?时?直线?的方程为?槡?的面积也为?分所以?的面积为?分?命题意图?本题考查利用导数研究函数图象的切线方程及函数的单调性与最值?不等式的证明?考查了转化思想?分类讨论思想?逻辑推理?数学运算的核心素养?解析?因为?所以?所以?又因为?分所以函数?的图象在点?处的切线方程为?即?分?方法一?全科试题免费下载公众号高中僧课堂数学?理科?参考答案?第?页?共?页?证明?要证?即证?即证?即证?分令?则?由?可得?分因为当?时?所以当?时?单调递减?当?时?单调递增?分所以?所以?结论得证?分方法二?证明?因为?所以要证?即证?即证?分设?则?分令?则?易知函数?在?上单调递减?又?槡?故存在唯一的?使得?即?即?分等式两边同时取对数得?即?当?时?单调递增?当?时?单调递减?所以?即?所以?在?上单调递减?分因为当?时?所以函数?所以?成立?分?二?选考题?共?分?请考生在?题中任选一题作答?如果多做?则按所做的第一题计分?解析?本题考查直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化?圆的参数方程问题?考查了学生的直观想象能力?数据分析求解能力和数学运算的核心素养?因为圆?的圆心坐标为?且过原点?所以圆?的半径?槡?槡?所以圆?的直角坐标方程为?由此可以得到圆?的参数方程为?槡?槡?为参数?分因为?将其代入直线?的极坐标方程?中?可得?即直线?的直角坐标方程为?分数学?理科?参考答案?第?页?共?页?由?知直线?圆?的圆心坐标为?半径为槡?因为圆心?到直线?的距离?槡?槡?分所以?槡?槡?又点?在圆?上运动?所以点?到直线?的最大距离为?槡?所以?面积的最大值为?槡?槡?槡?分?命题意图?本题考查不等式?考查了数学运算?逻辑推理的核心素养?解析?因为?所以?即?分因为?在?上单调递增?在?上单调递减?所以?所以?分?由?知?则?因为?所以?槡?分当且仅当?即?时?等号成立?又?所以当?时?取得最小值?分