2023届广西壮族自治区钦州市高三年级上册学期1月考试数学（文）试题【含答案】

2023届广西壮族自治区钦州市第四中学高三上学期1月考试数学（文）试题 一、单选题 1．在中，若，，的面积为，则（    ） A．13 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先用面积公式求出c，再用余弦定理求出a. 【详解】在中， ，，的面积为， 所以,解得：c=4. 由余弦定理得： , 所以. 故选：B. 2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos2＝，则△ABC是 A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】∵cos2=，2cos2﹣1=cosA， ∴cosA=，即， ∴△ABC是直角三角形． 故选A． 3．在中，内角、、所对的边分别为、、，，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角形的面积公式可求得的值，利用余弦定理可求得的值，再利用正弦定理可求得的值. 【详解】由三角形的面积公式可得，解得， 由余弦定理可得， 设的外接圆半径为，由正弦定理， 所以，. 故选：A. 4．在中，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，根据，求得，再由正弦定理求解. 【详解】在中，因为，， 所以， ， ， ， 由正弦定理得， 所以， 故选：D 5．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（    ） A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里 【答案】A 【分析】先确定∠CAB和∠ACB,然后由正弦定理可直接求解. 【详解】如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°， 根据正弦定理得＝， 解得BC＝10 (海里)． 故选：A 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，属于基础题. 6．已知△中，，,分别是、的等差中项与等比中项，则△的面积等于 A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由,分别是、的等差中项与等比中项，可得出,的值，再由用正弦定理可得出，从而得出，再由三角形面积公式及可求出面积. 【详解】由题可知， ，由正弦定理可知，又，所以，所以或，所以或，由三角形面积公式可得，所以或. 故选：D 【点睛】本题主要考查数列性质、正弦定理、三角形面积公式的综合应用，解题的关键是熟练应用数列性质、正弦定理、三角形面积公式. 7．在非钝角中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由已知利用正弦定理可得，由于，可求，可得，进而可求，即可判定得解的形状为等边三角形． 【详解】解：在非钝角中，， 由正弦定理可得：， ， ，可得：， ，， ，， ， ，的形状为等边三角形． 故选：C． 8．在中，角，，的对边分别为，，若，，，则的面积（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由已知利用正弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】解：， ，由正弦定理可得， ， ， 的面积． 故选：A． 9．已知椭圆的左右焦点分别为，，点是椭圆上一点，且是直角三角形，的面积等于（    ） A．3 B． C．3或 D．3或 【答案】C 【分析】根据椭圆定义和勾股定理，结合三角形面积公式即可求解． 【详解】由于是椭圆上一点，∴， 两边平方可得，即， 因为是直角三角形， 当时，，∴根据勾股定理可得， 综上可解得，∴的面积等于； 当时，，∴根据勾股定理可得，结合 ,计算可得,∴的面积等于； 当时，，∴根据勾股定理可得，结合 ,计算可得,∴的面积等于. 故选:. 10．如图所示，为了测量某座山的山顶A到山脚某处B的距离（AB垂直于水平面），研究人员在距D研究所处的观测点C处测得山顶A的仰角为，山脚B的俯角为.若该研究员还测得B到C处的距离比到D处的距离多，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出，，通过已知在中由余弦定理得出，过点C作，结合已知得出与即可得出答案. 【详解】设，则， ，， 则在中由余弦定理可得： ， 解得：， 则，， 过点C作， 研究人员在距D研究所处的观测点C处测得山顶A的仰角为，山脚B的俯角为， ，， 则， ， 则，， 则， ， 故选：B. 11．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则C等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理边角关系有，结合已知、余弦定理求，即可确定角的大小. 【详解】由正弦定理边角关系：化为， 由余弦定理得：， 而，故. 故选：B 12．在中，角、、所对的边分别是，，，若，且，则角的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由余弦定理即可得到，再由正弦定理得到，从而得到结果. 【详解】因为，且由余弦定理可得， 所以，且，所以 又，即，所以 所以，即 故选:C 二、填空题 13．内角的对边分别为，若的面积为，则_________ 【答案】 【分析】由余弦定理可得，根据条件结合三角形的面积公式可得从而可得答案. 【详解】由余弦定理可得，所以 的面积为 所以 即，由 所以 故答案为： 14．在中，角所对的边分别是，并且，，，则的值为______． 【答案】或 【分析】利用余弦定理列出关系式，将及代入方程中解出验证即可. 【详解】在中，因为，，， 所以由余弦定理得：， 即：， 解得：或 当时，，，，，满足题意； 当时，，，，，满足题意； 故答案为：或. 15．已知中，为的角平分线交于点，且，，，则的长为___________. 【答案】 【分析】由面积关系，利用三角形面积公式，结合二倍角公式得到，再结合余弦定理和已知条件得到关于的方程求解. 【详解】由角平分线的定义可得, ∵， ∴， 又∵=, ∴ ， ∴ , 又∵,,, ∴， 整理得：, 即：, ∵,∴， ∴, 故答案为： 16．已知，分别为椭圆的左右焦点，为坐标原点，椭圆上存在一点，使得，设的面积为，若，则该椭圆的离心率为___________. 【答案】 【分析】由可得为直角三角形，故，且，结合，联立可得，即得解 【详解】由题意，故为直角三角形 又， 又为直角三角形，故 即 故答案为： 三、解答题 17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B的大小； （2）若，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦函数公式，化简得，求得，即可求解； （2）由余弦定理可得，结合，求得，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 因为，则，所以， 因为，所以. （2）因为，， 由余弦定理可得，整理得， 又，解得， 所以. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 18．在中，A，B，C的对边分别是a，b，c，， （1）求角B的大小； （2）若，，求边上的高； 【答案】（1）（2） 【分析】（1）由正弦定理将已知等式边化角，可得的值，即可求出角； （2）根据余弦定理结合已知条件求出，进而求出的面积，即可求出边上的高. 【详解】（1）在中，因为， 由正弦定理得，， 因为,，所以， 所以， 因为，所以. （2）设边上的高为， 因为，，， 所以， 即，所以， ，， 所以边上的高. 【点睛】本题考查正余弦定理、面积公式解三角形，考查运算求解、逻辑推理能力，属于中档题. 19．如图，在直角中，，，，点在线段上. （1）若，求的长； （2）点是线段上一点，，且，求的值. 【答案】（1）3；（2）. 【解析】（1）在中，利用正弦定理即可得到答案； （2）由可得，在中，利用及余弦定理得，解方程组即可. 【详解】（1）在中，已知，，，由正弦定理， 得，解得. （2）因为，所以，解得. 在中，由余弦定理得， ， 即， ， 故. 【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的计算能力，是一道中档题. 20．在中，已知且. （1）试确定的形状； （2）求的取值范围. 【答案】（1）直角三角形；（2）. 【分析】（1）根据正弦定理化简整理得到即可判断三角形的形状；（2）由正弦定理将表示成，接着根据三角函数的知识求解取值范围即可. 【详解】解：（1）由正弦定理得：， 所以① 因为， 所以 所以，② 把②代入①得 所以是直角三角形 （2）由（1）知，所以 所以. 根据正弦定理得 因为，所以 即的取值范围是. 21．在中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小 (2)若，点是的重心，且，求内切圆的半径． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用正弦定理将边转化成角，可得到，结合角的范围即可求解； （2）利用点是的重心得到，平方可得，接着利用余弦定理可得，然后用等面积法即可求解 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 即， 又，所以，所以，即， 又，所以，所以，解得 （2）因为点是的重心，所以， 所以， 即，解得或舍． 由余弦定理得，解得． 设内切圆的圆心，半径为，则 即， 即， 解得，即内切圆的半径为． 22．中，角对应的边分别是，已知． (1)求角的大小； (2)若的面积，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得的值，可得的值． (2)利用余弦定理求得，再利用正弦定理求得的值． 【详解】（1）由， 得：， 即， 即， 解得或（舍去） 因为，所以． （2）由， 得，又，解得， 由余弦定理： ， 故， 又由正弦定理：， 所以， ， 所以.