2022-2023学年天津大沽中学高三数学文上学期期末试卷含解析

2022-2023学年天津大沽中学高三数学文上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知复数，则z的虚部为（　　） A．2i B．3i C．2 D．3 参考答案： C 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】写出代数形式的标准形式，得到复数的虚部． 【解答】解： =3+2i，z的虚部为2， 故选C． 【点评】本题是一个考查复数概念的题目，在考查概念时，题目要先进行乘除运算，复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要一定要得分的题目． 2. 设集合,则（      ）                                     参考答案： C 3. （06年全国卷Ⅱ理）如图，平面平面，与两平面、所成的角分别为和。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为、则(   )        （A）　　　　（B）        （C）　　　　（D） 参考答案： 答案：A 解析:连接,设AB=a,可得AB与平面所成的角为,在,同理可得AB与平面所成的角为,所以,因此在,所以,故选A 4. 复数 ,则                                   （  ） A．25 B． C．5 D． 参考答案： C 略 5. 将参数方程化为普通方程为（    ） A．   B．   C．   D． 参考答案： C  解析： 转化为普通方程：，但是 6. 设为等比数列的前项和，已知,则公比 (    ). A．            B．                C．           D． 参考答案： B 略 7. （理科做）函数在[-1,3]上的最大值为（    ）     A、11          B、10           C、2             D、12 参考答案： A 8. 过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10，则抛物线方程是（　　） A．y2=4x B．y2=2x C．y2=8x D．y2=6x 参考答案： C 【考点】抛物线的简单性质；抛物线的标准方程． 【分析】利用抛物线的定义可得，|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2 +，把线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10代入可得P值，然后求解抛物线方程． 【解答】解：设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F， 由抛物线的定义可知， |PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2 +=（x1+x2）+p， 线段PQ中点的横坐标为3， 又|PQ|=10，∴10=6+p，可得p=4 ∴抛物线方程为y2=8x． 故选：C． 9. 将函数的图象向左平移0 ＜2的单位后，得到函数y=sin的图象，则等于(    ) A．         B．        C．           D． 参考答案： C 10. 使“”成立的一个充分不必要条件是                     （    ） A．  B．　　C．    D．1 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现在分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为            ． 参考答案： 12. 已知数列的前项和为，，且点在直线上  （1）求k的值； （2）求证是等比数列； （3）记为数列的前n项和，求的值. 参考答案： （3），     . 13. 如图，BE、CF分别为钝角△ABC的两条高，已知AE=1，AB=3，CF=4，则BC边的长为      ． 参考答案： 考点：相似三角形的性质． 专题：选作题；立体几何． 分析：先求出BE，再利用△BEA∽△CFA，求出AC，可得EC，利用勾股定理求出BC． 解答： 解：依题意，AE=1，AB=3，得， 因△BEA∽△CFA得，所以AF=2，AC=6， 所以EC=7， 所以． 故答案为：． 点评：本题考查相似三角形的性质，考查学生的计算能力，正确运用相似三角形的性质是关键． 14. （5分）如图，点P为圆O的弦AB上的一点，连接PO，过点P作PC⊥OP，且PC交圆O于C．若AP=4，PC=2，则PB=　　． 参考答案： 考点： 与圆有关的比例线段． 专题： 计算题；几何证明． 分析： 根据题设中的已知条件，利用相交弦定理，直接求解． 解答： 解：延长CP，交圆于D，则 ∵AB是⊙O的一条弦，点P为AB上一点，PC⊥OP，PC交⊙O于C， ∴PC=PD， ∴利用相交弦定理可得AP×PB=PC×PD=PC2， ∵AP=4，PC=2， ∴PB=1． 故答案为：1 点评： 本题考查与圆有关的比例线段的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意相交弦定理的合理运用． 15. 给定集合，定义中    所有不同值的个数为集合元素和的容量，用表示.若，则           ；若数列是等差数列， 公差不为，设集合   （其中，为常数），则关于的表达式                    .   参考答案： 略 16. 已知实数x，y满足，则目标函数u=x+2y的取值范围是　　． 参考答案： [2，4] 【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用u的几何意义，利用数形结合即可得到结论． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由u=x+2y得y=x+， 平移直线y=x+，由图象可知当直线y=x+经过点A（2，1）时， 直线y=x+的截距最大，此时z最大，为u=2+2=4， 当直线y=x+经过点B（2，0）时， 直线y=x+的截距最小，此时z最小，为u=2， 故2≤u≤4 故答案为：[2，4]； 17. 某班开展一次智力竞赛活动，共a，b，c三个问题，其中题a满分是20分，题b，c满分都是25分．每道题或者得满分，或者得0分．活动结果显示，全班同学每人至少答对一道题，有1名同学答对全部三道题，有15名同学答对其中两道题．答对题a与题b的人数之和为29，答对题a与题c的人数之和为25，答对题b与题c的人数之和为20．则该班同学中只答对一道题的人数是　  ；该班的平均成绩是　 　． 参考答案： 4，42 【考点】众数、中位数、平均数． 【分析】利用方程组求出答对题a，题b，题c的人数，再计算答对一题的人数和平均成绩． 【解答】解：设xa、xb、xc分别表示答对题a，题b，题c的人数， 则有， 解得xa=17，xb=12，xc=8； ∴答对一题的人数为37﹣1×3﹣2×15=4， 全班人数为1+4+15=20； 平均成绩为×（17×20+12×25+8×25）=42． 故答案为：4，42． 　 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，四棱锥中，，，，，，，点为中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 参考答案： （1）证明：取中点，连接、， ∵，， ∴，， ∵， ∴平面，平面， ∴，又∵， ∴. （2）解：过做于， ∵平面，平面， ∴，∵，∴平面. 过做交于，则、、两两垂直， 以、、分别为、、轴建立如图所示空间直角坐标系， ∵，，，，点为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，，. ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴，，，， ∵为中点， ∴， ∴，，. 设平面的法向量， 由，得， 令，得， 则， 则与所成角设为，其余角就是直线与平面所成角，设为， ， ∴直线与平面所成角的正弦值为.   19. [选修4?4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为． （1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值． 参考答案： 解：（1）因为，且，所以C的直角坐标方程为. l的直角坐标方程为. （2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）. C上的点到l的距离为. 当时，取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.   20. 某工厂生产某种水杯，每个水杯的原材料费、加工费分别为元、元（为常数，且），设每个水杯的出厂价为元（），根据市场调查，水杯的日销售量与（为自然对数的底数）成反比例，已知每个水杯的出厂价为元时，日销售量为个. （Ⅰ）求该工厂的日利润（元）与每个水杯的出厂价（元）的函数关系式； （Ⅱ）当每个水杯的出厂价为多少元时，该工厂的日利润最大，并求日利润的最大值. 参考答案： 略 21. 已知数列{an}共有2k（k≥2，k∈Z）项，a1=1，前n项和为Sn，前n项乘积为Tn，且an+1=（a﹣1）Sn+2（n=1，2，…，2k﹣1），其中a=2，数列{bn}满足bn=log2， （Ⅰ）求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）若|b1﹣|+|b2﹣|+…+|b2k﹣1﹣|+|b2k﹣|≤，求k的值． 参考答案： 【考点】数列的求和． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】（1）由已知条件推导出an+1﹣an=（a﹣1）an，从而，由此能求出数列{bn}的通项公式． （2）令，当n≤k时，，当n≥k+1时，，由此能求出k的值． 【解答】（本小题满分13分） 解：（1）当n=1时，a2=2a，则； 当2≤n≤2k﹣1时，an+1=（a﹣1）Sn+2，an=（a﹣1）Sn﹣1+2， 所以an+1﹣an=（a﹣1）an，故=a，即数列{an}是等比数列，， ∴Tn=a1×a2×…×an=2na1+2+…+（n﹣1）=， bn==．… （2）令，则n≤k+，又n∈N*，故当n≤k时，， 当n≥k+1时，．… |b1﹣|+|b2﹣|+…+|b2k﹣1﹣|+|b2k﹣| =+（）+…+（）… =（k+1+…+b2k）﹣（b1+…+bk） =[+k]﹣[] =， 由，得2k2﹣6k+3≤0，解得，… 又k≥2，且k∈N*，所以k=2．… 【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和构造法的合理运用． 22. 选修4－1：几何证明选讲 在中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆 交于点P，交BC延长线于点D。    （1）求证： ；    （2）若AC=3，求的值。 参考答案： 解：（1），    ～，        又                                                                     （5分）    （2）～，                                   （10分） 略