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2022-2023学年吉林省长春市茨梅林中学高一数学文测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 圆上的点到直线的距离最大值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
2. 设,,,则( )
A.
a<b<c
B.
c<b<a
C.
c<a<b
D.
b<a<c
参考答案:
A
3. 若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
4. 过点A(1,-1)与B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程为 ( )
A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x-1)2+(y-1)2=4 C.(x+3)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4
参考答案:
B
5. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移个单位,得到的图象对应的僻析式是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C 解析:
6. 将函数y=sin(x+)cos(x+)的图象沿x轴向右平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的取值不可能是( )
A.B.C. D.
参考答案:
C
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】化简函数解析式,再利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,结合题意,可求得φ的值.
【解答】解:∵y=sin(x+)cos(x+)=sin(2x+φ),
将函数y的图象向右平移个单位后得到f(x﹣)=sin(2x﹣+φ),
∵f(x﹣)为偶函数,
∴﹣+φ=kπ+,k∈Z,
∴φ=kπ+,k∈Z,
故选:C.
7. 已知a>0,b>0,并且,,成等差数列,则a+4b的最小值为( )
A.2 B.4 C.5 D.9
参考答案:
D
【考点】7F:基本不等式.
【分析】根据等差数列的性质,得到+=1,由乘“1”法,结合基本不等式的性质求出a+4b的最小值即可.
【解答】解:∵,,成等差数列,
∴+=1,
∴a+4b=(a+4b)(+)=5++≥5+2=9,
当且仅当a=2b即a=3,b=时“=“成立,
故选:D.
8. 首项为b,公比为a的等比数列{an}的前n项和为Sn,对任意的n∈N*,点(Sn,Sn+1)在( )
A.直线y=ax+b上 B.直线y=bx+a上
C.直线y=bx-a上 D.直线y=ax-b上
参考答案:
A
当a≠1时,Sn=,
Sn+1=,
∴点(Sn,Sn+1)为:(,),
显然此点在直线y=ax+b上.当a=1时,显然也成立.
9. 如果A为锐角, =( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】诱导公式的作用;同角三角函数间的基本关系.
【专题】计算题.
【分析】由于sin(π+A)=﹣sinA=﹣,cos(π﹣A)=﹣cosA,A为锐角,可求得其值,从而可求得cos(π﹣A).
【解答】解:∵sin(π+A)=﹣sinA=﹣,
∴sinA=,又A为锐角,
∴A=;
∴cos(π﹣A)=﹣cosA=﹣cos=﹣.
故选D.
【点评】本题考查诱导公式的作用,关键在于掌握诱导公式及其应用,属于基础题.
10. 已知数列的前项的乘积为,其中为常数,,若,则().
A.4 B.3 C.2 D.1
参考答案:
A
,
∴.
选.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 对每一实数对(x, y),函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2,试求满足f(a)=a的所有整数a=__________.
参考答案:
1或-2。
解析:令x=y=0得f(0)=-1;令x=y=-1,由f(-2)=-2得,f(-1)=-2,
又令x=1, y=-1可得f(1)=1,再令x=1,得f(y+1)=f(y)+y+2①,所以f(y+1)-f(y)=y+2,即y为正整数时,f(y+1)-f(y)>0,由f(1)=1可知对一切正整数y,f(y)>0,因此y∈N*时,f(y+1)=f(y)+y+2>y+1,即对一切大于1的正整数t,恒有f(t)>t,由①得f(3)=-1, f(4)=1。
下面证明:当整数t≤-4时,f(t)>0,因t≤-4,故-(t+2)>0,由①得:f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0,
即f(-5)-f(-4)>0,f(-6)-f(-5)>0,……,f(t+1)-f(t+2)>0,f(t)-f(t+1)>0
相加得:f(t)-f(-4)>0,因为:t≤4,故f(t)>t。综上所述:满足f(t)=t的整数只有t=1或t=2。
12. 设a=,b=,c=cos81°+sin99°,将a,b,c用“<”号连接起来 .
参考答案:
b<c<a
【考点】三角函数的化简求值.
【分析】利用二倍角公式化简a,b,再由两角和的正弦化简c,然后结合正弦函数的单调性得答案.
【解答】解:∵a==sin140°=sin40°,
b===sin35.5°,
c=cos81°+sin99°==sin39°,
且y=sinx在[0°,90°]内为增函数,
∴b<c<a.
故答案为:b<c<a.
13. 已知两个点A(-3,-1)和B(4,-6)分布在直线-3x+2y+a=0的两侧,则a的取值范围为 .
参考答案:
略
14. 设,则的大小关系为_____(用“”号连结)
参考答案:
15. 已知与的夹角为,且则的值为 __.
参考答案:
16. 在正项等比数列中,,则_______。
参考答案:
解析:
17. 函数y=的定义域是____不填____.
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知AD=4,,AB=2CD=8.
(1)设M是PC上的一点,证明:平面MBD⊥平面PAD;
(2)当M点位于线段PC什么位置时,PA∥平面MBD?
参考答案:
【考点】LY:平面与平面垂直的判定;LS:直线与平面平行的判定.
【分析】(1)欲证平面MBD⊥平面PAD,根据面面垂直的判定定理可知在平面MBD内一直线与平面PAD垂直,而根据题意可得BD⊥平面PAD;
(2)欲证PA∥平面MBD,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PA与平面MBD内一直线平行,根据比例关系可知PA∥MN,而MN?平面MBD,满足定理条件.
【解答】证明:(1)在△ABD中,
∵AD=4,,AB=8,∴AD2+BD2=AB2.
∴AD⊥BD.
又∵平面PAD⊥平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,BD?平面ABCD,
∴BD⊥平面PAD.又BD?平面MBD,
∴平面MBD⊥平面PAD.
(2)当M点位于线段PC靠近C点的三等分点处时,PA∥平面MBD.
证明如下:连接AC,交BD于点N,连接MN.
∵AB∥DC,所以四边形ABCD是梯形.
∵AB=2CD,∴CN:NA=1:2.
又∵CM:MP=1:2,
∴CN:NA=CM:MP,∴PA∥MN.
∵MN?平面MBD,∴PA∥平面MBD.
【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的判定,以及线面平行的判定,属于基础题.
19. 设函数。
(1)当k>0时,判断上的单调性;
(2)讨论的极值点。
参考答案:
解: ………… 3分
(Ⅰ)当时,在恒成立,
所以在上单调递增. …………………… 6分
(Ⅱ)函数的定义域是.
令,得,所以
当时,在没有根,没有极值点;
当时,在有唯一根,
因为在上,在上,
所以是唯一的极小值点. …………………… 12分
20. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x﹣1,
(1)求f(﹣1)的值.
(2)求当x<0时f(x)的解析式.
参考答案:
【考点】函数奇偶性的性质;函数解析式的求解及常用方法.
【专题】计算题;转化思想;函数的性质及应用.
【分析】(1)先求出f(1)=1,进而根据奇函数的性质,可得f(﹣1)=﹣f(1);
(2)根据已知可得f(x)为奇函数,可得f(0)=0,当x<0时,﹣x>0,f(x)=﹣f(﹣x)得到x<0时,f(x)的解析式,综合可得答案.
【解答】解:(1)∵当x>0时,f(x)=2x﹣1,
∴f(1)=1,
又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(﹣1)=﹣f(1)=﹣1;
(2)当x<0时,﹣x>0,
f(x)=﹣f(﹣x)=﹣2﹣x+1,
当x=0时,
f(0)=0,
∴f(x)=.
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,熟练掌握函数奇偶性的性质,是解答的关键.
21. 已知函数(,且).
(1)若函数在上的最大值为2,求的值;
(2)若,求使得成立的的取值范围.
参考答案:
(1)当时,在上单调递增,
因此,,即;(3分)
当时,在上单调递减,
因此,,即.(6分)
综上,或.(7分)
(2)不等式即.(9分)
又,则,即,(11分)
所以,故的取值范围. (12分)
22. 已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=﹣x2+2x
(1)求函数f(x)在R上的解析式;
(2)写出f(x)单调区间(不必证明)
参考答案:
【考点】函数奇偶性的性质;函数解析式的求解及常用方法;函数的单调性及单调区间.
【分析】(1)求出x<0时的解析式,即可求函数f(x)在R上的解析式;
(2)根据函数f(x)在R上的解析式,写出f(x)单调区间.
【解答】解:(1)设x<0,则﹣x>0,f(﹣x)=﹣(﹣x)2+2(﹣x)=﹣x2﹣2x.
又f(x)为奇函数,所以f(﹣x)=﹣f(x).
于是x<0时f(x)=x2+2x
所以f(x)=
(2)由f(x)=
可知f(x)在[﹣1,1]上单调递增,在(﹣∞,﹣1)、(1,+∞)上单调递减
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