2022年安徽省滁州市仁和乡中学高三数学理月考试题含解析

2022年安徽省滁州市仁和乡中学高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（      ） A．充分不必要条件      B．充要条件 C．必要不充分条件       D．即不充分也不必要条件 参考答案： B 2. 设全集，集合，，则等于（     ） A．            B．           C．          D．  参考答案： 答案：B 3. 若定义在R上的二次函数在区间［0，2］上是增函数，且，则实数的取值范围是 (     ） A．     B．      C．         D．或 参考答案： A 4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【分析】由三视图得到几何体为半个圆锥与四棱锥的组合体，根据图中数据计算体积． 【解答】解：由三视图得到几何体为半个圆锥与四棱锥的组合体， 其中圆锥的底面半径为1，高为， 四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为， 所以几何体的体积为： =； 故选C． 5. 已知是定义在R上的函数，且恒成立，当时，，则当时，函数的解析式为 （      ） A．      B．         C．      D． 参考答案： D 6. 函数(0≤x≤9)的最大值与最小值的和为(       ). A.          B.0             C.－1             D. 参考答案： A 7. P?Q为三角形ABC中不同的两点,若, ,则为（   ） A．       B．         C．       D． 参考答案： B 令为的中点,化为,即,可得,且点在边上,则, 设点分别是的中点,则由可得,设点是的中点,则,设点是的中点, 则,因此可得,所以，故选B.   8. 已知圆O为Rt△ABC的内切圆，AC=3，BC=4，∠C=90°，过圆心O的直线l交圆O于P，Q两点，则的取值范围是（　　） A．（﹣7，1） B．．[0，1] C．[﹣7，0] D．[﹣7，1] 参考答案： D 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】以O为坐标原点，与直线BC平行的直线为x轴，与直线AC平行的直线为y轴，建立直角坐标系，设△ABC的内切圆的半径为r，运用面积相等可得r=1，设出圆的方程，求得交点P，Q，讨论直线的斜率k不存在和大于0，小于0的情况，运用向量的坐标运算，结合数量积的坐标表示和不等式的性质，计算即可得到范围． 【解答】解：以O为坐标原点，与直线BC平行的直线为x轴， 与直线AC平行的直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示； 设△ABC的内切圆的半径为r， 运用面积相等可得，×3×4=×r×（3+4+5）， 解得r=1， 则B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1）， 即有圆O：x2+y2=1， 当直线PQ的斜率不存在时，即有P（0，1），Q（0，﹣1）， =（3，3），=（﹣1，0），即有=﹣3． 当直线PQ的斜率存在时，设直线l：y=kx，（k＜0）， 代入圆的方程可得P（﹣，﹣），Q（，）， 即有=（3﹣，1﹣），=（﹣1， +1）， 则有=（3﹣）（﹣1）+（1﹣）（+1） =﹣3+， 由1+k2≥1可得0＜≤4， 则有﹣3＜﹣3+≤1； 同理当k＞0时，求得P（，），Q（﹣，﹣）， 有═﹣3﹣， 可得﹣7≤﹣3+＜﹣3； 综上可得， ?的取值范围是[﹣7，1]． 故选：D． 9. 设函数，对任意恒成立，则实数的取值范围是（　　）    A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 参考答案： C 略 10. 某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正               方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（   ）     A．      B.         C.       D.  参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知点P在圆x2+y2=1上运动，则P到直线3x+4y+15=0的距离的最小值为　　． 参考答案： 2 略 12. 已知集合A={x|x2≤2x}，B={y|y＞1}，则A∩B等于　　． 参考答案： {x|1＜x≤2} 【考点】交集及其运算． 【专题】集合． 【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可． 【解答】解：∵A={x|x2≤2x}={x|0≤x≤2}，B={y|y＞1}， ∴A∩B={x|0≤x≤2}∩{y|y＞1}={x|1＜x≤2}． 故答案为：{x|1＜x≤2}． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 13. 设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=　   　． 参考答案： [0，1]． 14. 对于命题：若是线段上一点，则有将它类比到平面的情形是：   若是△内一点，则有将它类比到空间的情形应该是：若是四面体内一点，则有           ． 参考答案： 略 15. 已知，，，，则=    ▲    ． 参考答案： 试题分析：因为，，所以；因为，，所以， 考点：三角函数求值 16. 已知函数f（x）=，若对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）＜f（x1），则满足条件的实数a的取值范围是　　． 参考答案： a≥0 【考点】函数单调性的性质． 【分析】对于定义域内的任意x1 总存在x2使得f（x2）＜f（x1），即为f（x）在x≠﹣a处无最小值；讨论a=0，a＞0，a＜0，求得单调区间和极值即可求出a的范围． 【解答】解：对于定义域内的任意x1 总存在x2使得f（x2）＜f（x1），即为f（x）在x≠﹣a处无最小值； ①a=0时，f（x）=无最小值显然成立； ②a＞0时，f（x）的导数为f'（x）=，可得f（x）在（﹣∞，﹣a）上递减，在（﹣a，3a）上递增，在（3a，+∞）递减， 即有f（x）在x=3a处取得极大值； 当x＞a时，f（x）＞0；x＜a时，f（x）＜0．取x1＜a，x2≠﹣a即可； 当x＜﹣a时，f（x）在（﹣∞，﹣a）递减，且x1＜＜﹣a， f（x1）＞f（＜），故存在x2=x1+|x1+a|，使得f（x2）＜f（x1）； 同理当﹣a＜x1＜a时，令x2=x1﹣|x1+a|，使得f（x2）＜f（x1）也符合； 则有当a＞0时，f（x2）＜f（x1）成立； ③当a＜0时，f（x）在（﹣∞，3a）上递减，在（3a，a）上递增，在（﹣a，+∞）上递减，即有f（x）在x=3a处取得极小值， 当x＞a时，f（x）＞0； x＜a时，f（x）＜0． f（x）min=f（3a），当x1=3a时，不存在x2，使得f（x2）＜f（x1）成立． 综上可得，a的取值范围是：[0，+∞） 故答案为：a≥0． 17. 已知，则=_____________ 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数定义域为（）,     设．     1）试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；     （2）求证:；     （3）求证:对于任意的,总存在,满足,并确定                       这样的的个数．   参考答案： （1） 因为 由；由, 所以在上递增,在上递减 欲在上为单调函数,则            -----------------3分 （2）因为在上递增,在上递减, 所以在处取得极小值  又,所以在上的最小值为  从而当时,,即                -----------------6分 （3）因为,所以即为,  令,从而问题转化为证明方程                  =0在上有解,并讨论解的个数  --------7分                   因为, ,             --------------8分 所以 ① 当时,,所以在上有解,且只有一解 ② 当时,,但由于, 所以在上有解,且有两解 ③ 当时,,所以在上有且只有一解； ④ 当时,在上也有且只有一解    ------------10分 综上所述, 对于任意的,总存在,满足, 且当时,有唯一的适合题意； 当时,有两个适合题．                     -----12分   19. 已知,点在曲线上且      （Ⅰ）求证:数列为等差数列,并求数列的通项公式； （Ⅱ）设数列的前n项和为,若对于任意的,使得恒成立,求最小正整数t的值．           参考答案： 解：（1）由题意得：           （2）由                  20. 已知在正项数列{an}中，Sn表示前n项和且2＝an＋1，数列的前n项和, (I) 求; (II)是否存在最大的整数t,使得对任意的正整数n均有总成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由,   参考答案： （Ⅰ）由2＝an＋1，得Sn＝2， 当n＝1时，a1＝S1＝2，得a1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2－2，整理，得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， ∵数列{an}各项为正，∴an＋an－1>0.∴an－an－1－2＝0. ∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．∴an＝a1＋(n－1)×2＝2n－1. (Ⅱ)由(Ⅰ)知               于是 易知数列是递增数列，故T1=是最小值，只需，即，因此存在符合题意。 略 21. 正整数数列{an}满足，其中Sn为数列{an}的前n项和． （1）若p=1，q=0，求证：{an}是等差数列 （2）若数列{an}为等差数列，求p的值． （3）证明：a2016=2016a1的充要条件是p=． 参考答案： 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等差数列的性质． 【分析】（1）p=1，q=0时， =n，可得Sn=nan，n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，化为：an=an﹣1，即可证明． （2）设等差数列{an}的公差为d，可得Sn=na1+d，an=a1+（n﹣1）d． 又=pn+q，可得na1+d=（pn+q）[a1+（n﹣1）d]（*）．比较两边的系数可得： =pd，对d 分类讨论，进而得出． （3）由=p+q=1，可得q=1﹣p．由Sn=（pn+1﹣p）an，利用递推关系可得：p（n﹣1）an=（pn+1﹣2p）an﹣1，即．必要性：当p=时，（n≥2）可得a2016=2016a1．充分性：反证法，当p时，可得，不满足a2016=2016a1．当p时，同理可证明，不满足a2016=2016a1． 【解答】（1）证明：p=1，q=0时， =n，可得Sn=nan，n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=nan﹣（n﹣1）an﹣1， 化为：an=an﹣1， ∴an=a1，∴{an}是等差数列． （2）解：设等差数列{an}的公差为d，∴Sn=na1+d，an=a1+（n﹣1）d． 则==pn+q，∴na1+d=（pn+q）[a1+（n﹣1）d]（*）． 比较两边的系数可得： =pd， 当d=0时，na1=a1（pn+q），解得p=1，q=0． 此时，Sn=nan，由（1）可得：{an}是等差数列． 当d≠0时，p=．由（*）比较常数项可得：0