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2022~2023学年度第二学期开学摸底联考高二数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知直线倾斜角为，直线经过点和，且直线与垂直，的值为（ ）
A. 1 B. 6 C. 0或6 D. 0
2 已知数列满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点P中，在平面内的是（ ）
A. B. C. D.
4. 我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长．这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就，现作出圆的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为（ ）
A. B.
C. D.
5. 抛物线的焦点为F，其准线与双曲线的渐近线相交于A，B两点，若的周长为，则（ ）
A. 2 B. C. 8 D. 4
6. 已知四面体，G是的重心，P是线段OG上的点，且，若，则为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知数列满足，，，则数列第2023项为（ ）
A. B. C. D.
8. 设P，Q分别为圆和椭圆上的点，则P，Q两点间的最大距离是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为,焦距为，离心率为，P为椭圆左半边上一点，连接交y轴于点N，，其中O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆的长轴长为3
B.
C. 若点Q在椭圆C上，则的最大值为
D. 点P到x轴的距离为
10. 已知圆和两点，．若以为直径的圆与圆有公共点，则可能的取值为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
11. 在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列1，，，，…，,2．记，数列的前n项和为，则（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为4，M为DD1的中点，N为ABCD所在平面上一动点，N1为A1B1C1D1所在平面上一动点，且NN1⊥平面ABCD，则下列命题正确的是（ ）
A. 若MN与平面ABCD所成角为，则点N的轨迹为圆
B. 若三棱柱NAD﹣N1A1D1的表面积为定值，则点N的轨迹为椭圆
C. 若点N到直线BB1与直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线
D. 若D1N与AB所成的角为，则点N的轨迹为双曲线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，，则在方向上投影向量为______．
14. 已知数列的前n项和为，且有，．则______，数列的前n项和为，则______．
15. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD，，，点Q是侧棱PD的中点，点M，N分别在边AB，BC上，当空间四边形PMND的周长最小时，点Q到平面PMN的距离为______．
16. 已知，是椭圆的两个焦点，且椭圆上存在一点，使得，若点，分别是圆D：和椭圆C上的动点，则当椭圆的离心率取得最小值时，的最大值是___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知数列的首项，前n项和为，且数列是公差为的等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
18. 已知直线l：（为任意实数），圆C的圆心在y轴上，且经过，两点．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求直线l被圆C截得的弦长的取值范围，并求出弦长最短时的直线l的方程．
19. 如图，在直三棱柱中，，，，点P，R分别是棱，CB的中点，点Q为棱上的点，且满足．
（1）证明：平面AQR；
（2）求平面PQR与平面AQR夹角的正切值．
20. 抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．对于抛物线C：给出如下三个条件：①焦点为；②准线为；③与直线相交所得弦长为2．
（1）从以上三个条件中选择一个，求抛物线C的方程；
（2）已知是（1）中抛物线的“阿基米德三角形”，点Q是抛物线C在弦AB两端点处的两条切线的交点，若点Q恰在此抛物线的准线上，试判断直线AB是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由．
21. 已知正项数列的前n项和为，对任意的正整数n，都有恒成立．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为，试比较与的大小并加以证明．
22. 已知M，N两点的坐标分别为，直线MQ，NQ相交于点Q，且它们的斜率之积为．
（1）求点Q的轨迹方程；
（2）设过点的直线l与点Q的轨迹交于D，E两点，问在x轴上是否存在定点P，使得为常数？若存在，求出点P的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由．
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