天津大港第八中学高二数学文上学期期末试卷含解析

天津大港第八中学高二数学文上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的（  ） A.若,,,则  B.若,,,则 C.若,,,则   D．若,,,则 参考答案： D 略 2. 若集合，则集合A∩B的元素个数为(  ) A．0   B．2 C．5    D．8 参考答案： B 3. 定义在R上的函数满足：，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为 A.     B.     C.     D. 参考答案： A 4. 如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 参考答案： A 【考点】异面直线及其所成的角． 【分析】异面直线所成的角通过平移相交，找到平面角，转化为平面三角形的角求解，由题意：E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，连接B1G，FB1，那么∠FGB1就是异面直线A1E与GF所成的角． 【解答】解：由题意：ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，连接B1G， ∵A1E∥B1G， ∴∠FGB1为异面直线A1E与GF所成的角． 连接FB1， 在三角形FB1G中，AA1=AB=2，AD=1， B1F== B1G==， FG==， B1F2=B1G2+FG2． ∴∠FGB1=90°， 即异面直线A1E与GF所成的角为90°． 故选A． 　 5. 记不等式组表示的平面区域为D，过区域D中任意一点P作圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则cos∠PAB的最大值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】7C：简单线性规划． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线和圆相切的性质转化为OP最小，然后利用点到直线的距离公式进行求解即可． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 若cos∠PAB最大，则只需要∠PAB最小，即∠APO最大即可， 则sin∠APO==最大，此时OP最小即可， 此时OP的最小值为O到直线4x+3y﹣10=0的距离， 此时OP===2， ∵OA=1，∴∠APO=，∠PAB=， 则cos∠PAB=， 故选：A 6. 在2008年第29届北京奥运会上，我国代表团的金牌数雄踞榜首．如图是位居金牌榜前十二位的代表团获得的金牌数的茎叶图，则这十二个代表团获得的金牌数的平均数与中位数的差m的值为(　　) A．3.5          B．4            C．4.5              D．5 参考答案： B 略 7. 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于点A、B，若,则   （  ） A. 10            B. 11            C. 9            D.16 参考答案： B 8. 已知复数z满足，则z的虚部为（ ） A. －4 B. C. 4 D. 参考答案： D 试题解析：设 ∴，解得 考点：本题考查复数运算及复数的概念 点评：解决本题的关键是正确计算复数，要掌握复数的相关概念 9. 已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回    归直线方程为（    ） A．      B． C．          D． 参考答案： C 10. 直线y=2x与曲线y=x3围成的封闭图形的面积是（　　） A．1 B．2 C．2 D．4 参考答案： B 【考点】6G：定积分在求面积中的应用． 【分析】根据积分的几何意义即可求出对应的面积． 【解答】解：由得x3=2x， 解得x=0或x=或x=﹣， 则由对称性可知所求面积S=2（2x﹣x3）dx=2（x2﹣x4）| =2（2﹣）=2（2﹣1）=2， 故选：B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 把五进制数2013化为七进制数为______. 参考答案： 略 12. 已知集合，若是的子集，则实数的取值范围为______________； 参考答案： 13. 如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是     。 参考答案： 14. 有下面四个判断： ①命题：“设、，若，则”是一个假命题 ②若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题 ③命题“、”的否定是：“、” ④若函数的图象关于原点对称，则 其中错误的有   . 参考答案： ①  ②   ③  ④ 略 15. （4分）函数y=的值域是　_________　． 参考答案： 16. 在集合M={，，1，2，3}的所有非空子集中任取一个集合，恰满足条件“对?∈A，则∈A”的集合的概率是　　． 参考答案： 考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 专题： 概率与统计． 分析： 先根据集合的定义求出在所有非空子集中任取一个集合，共有25﹣1=31种，再找到满足对?∈A，则∈A”的集合的种数，利用古典概型的概率公式求出概率即可 解答： 解：M={，，1，2，3}的所有非空子集中任取一个集合，共有25﹣1=31种， 其中满足条件“对?∈A，则∈A”的有{，3}，{，2}，{1}，{1，，3}，{1，，2}，{，，2，3}，{，，1，2，3}共7种， 故恰满足条件“对?∈A，则∈A”的集合的概率是 故答案为： 点评： 本题考查了根据古典概型的概率公式计算随机事件的概率，属于基础题 17. 点P是椭圆+=1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1||PF2|=12，则∠F1PF2的大小　　． 参考答案： 60° 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理，已知条件，转化求解即可． 【解答】解：椭圆+=1， 可得2a=8，设|PF1|=m，|PF2|=n， 可得， 化简可得：cos∠F1PF2= ∴∠F1PF2=60° 故答案为：60°． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆C：的一个焦点F与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为3. （1）求该椭圆C的方程； （2）若过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且点M恰为弦AB的中点，求直线l的方程. 参考答案： 解：（1）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1， ∴a2﹣b2=1 ①， 又椭圆截抛物线的准线x=﹣1所得弦长为3， ∴可得上面的交点为（﹣1， ），∴ ② 由①代入②得4b4﹣9b2﹣9=0，解得b2=3或b2= （舍去）， 从而a2=b2+1=4，∴该椭圆的方程为 （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程可得， 3x12+4y12=12，3x22+4y22=12， 相减可得3（x1﹣x2）（x1+x2）+4（y1﹣y2）（y1+y2）=0， 由x1+x2=2，y1+y2=1，可得直线AB的斜率为， 即直线AB的方程为 ，即为3x+2y﹣4=0． 19. 已知抛物线C；y2=2px（p＞0）过点A（1，﹣2）； （1）求抛物线C的方程，并求其准线方程； （2）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使直线l与抛物线C有公共点，直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程，说明理由． 参考答案： 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】（1）将（1，﹣2）代入抛物线方程求得p，则抛物线方程可得，进而根据抛物线的性质求得其准线方程． （2）先假设存在符合题意的直线，设出其方程，与抛物线方程联立，根据直线与抛物线方程有公共点，求得t的范围，利用直线AO与L的距离，求得t，则直线l的方程可得． 【解答】解：（1）将（1，﹣2）代入y2=2px， 得（﹣2）2=2p?1，所以p=2． 故所求的抛物线C的方程为y2=4x，其准线方程为x=﹣1． （2）假设存在符合题意的直线l， 其方程为y=﹣2x+t，代入抛物线方程得y2+2y﹣2t=0． 因为直线l与抛物线C有公共点， 所以△=4+8t≥0，解得t≥﹣． 另一方面，由直线OA到l的距离d= 可得=，解得t=±1． 因为﹣1?[﹣，+∞），1∈[﹣，+∞）， 所以符合题意的直线l存在，其方程为2x+y﹣1=0． 【点评】本题小题主要考查了直线，抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合的思想，化归与转化思想，分类讨论与整合思想． 20. （13分）计算下列各式： (1)  (2) 参考答案： （1）原式= =     (2) 原式=1 略 21. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱BB1和DD1的中点，M为棱DC的中点． （1）求证：平面FB1C1∥平面ADE； （2）求证：D1M⊥平面ADE； （3）求二面角A1﹣DE﹣A的余弦值． 参考答案： 【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定． 【分析】（1）只需证得FDEB1为平行四边形，即可得D1E∥BF．平面FB1C1∥平面ADE （2）建立如图所示坐标系，正方体棱长为2，则A（2，0，0），D（0，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），M（0，1，0），E（2，2，1），利用向量法求二面角的余弦值 【解答】证明：（1）∵AD∥B1C1又B1E∥DF且B1E=DF ∴FDEB1为平行四边形∴D1E∥BF． 又B1F∩B1C1=B1，DE∩AD=D ∴平面FB1C1∥平面ADE （2）建立如图所示坐标系，正方体棱长为2． A（2，0，0）D（0，0，0）C（0，2，0）D1（0，0，2）∴M（0，1，0）E（2，2，1） 既，，   ∵，，∴D1M⊥DE，D1M⊥DA ∴D1M⊥平面ADE； （3）∵， 设平面A1DE的法向量 ∵，可取 而平面ADE的法向量为 ∴== 即二面角的余弦值为 【点评】本题考查了空间面面平行的判定，向量法求面面角，属于中档题． 22. 已知p：，q：． （1）若p是q充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 参考答案： 解：：，：  ⑴∵是的充分不必要条件， ∴是的真子集．  ． ∴实数的取值范围为．               ⑵∵“非”是“非”的充分不必要条件， ∴是的充分不必要条件．                  ．                 ∴实数的取值范围为． 略