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山西省大同市陈庄乡中学2022年高三数学文模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设点P()满足不等式组,则的最大值和最小值分别为( )
A B C D
参考答案:
A
略
2. 高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体,它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示,则截面所在平面与底面所在平面所成的锐二面角的正切值为( )
A.2 B. C. D.
参考答案:
B
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】根据几何体建立空间直角坐标系,由三视图求出A、C、D、E的坐标,设平面DEC的法向量,根据平面法向量的条件列出方程,求出法向量的坐标,由两平面的法向量求出成的锐二面角的余弦值,由平方关系求出正弦值,由商的关系即可求出正切值.
【解答】解:如图建立空间直角坐标系,截面是平面CDE,
由三视图得,A(0,0,0),E(0,0,2),D(0,2,4),
C(2,0,0),
所以,,
设平面DEC的法向量为,
则,即,
不妨令x=1,则y=﹣1,z=1,
可得,
又为平面ABC的法向量,
设所求二面角为θ,则,
∵θ是锐二面角,∴=,
则,
故选B.
3. 已知抛物线的焦点为F,,直线MF交抛物线于A,B两点,且M为AB的中点,则P的值为( )
A. 3 B. 2或4 C. 4 D. 2
参考答案:
B
设,
两式相减得
为的中点,
代入
解得或
故选
点睛:本题考查了直线与抛物线的位置关系,在解题过程中运用了点差法来求解,先设出两点坐标,代入曲线方程,做减法运算,利用中点坐标,转化为斜率问题,即可求出答案,设而不求,当遇到直线与曲线中含有中点时可以采用点差法。
4. 从[0,10]上任取一个数x,从[0,6]上任取一个数y,则使得的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
5. 函数是函数的导函数,且函数在点处的切线为:,如果函数在区间上的图像如图所示,且,那么 ( )
A.是的极大值点
B.=是的极小值点
C.不是极值点
D.是极值点
参考答案:
B
6. 已知函数,则的值为
A.1 B. C. D.
参考答案:
A
7. 数列{an}的前n项和为Sn,若,则S5=( )
A.1 B. C. D.
参考答案:
D
考点:数列的求和.
专题:计算题.
分析:由=,利用裂项求和法能求出S5.
解答: 解:∵=,
∴S5=a1+a2+a3+a4+a5
=
=1﹣
=.
故选D.
点评:本题考查数列前n项和的求法,是基础题.解题是要认真审题,注意裂项求法的灵活运用.
8. 已知函数 y = f (x) 是定义在R上的增函数,函数 y = f (x-1) 的图象关于点 (1, 0)
对称. 若对任意的 x, y∈R,不等式 f (x2-6x + 21) + f (y2-8y) < 0 恒成立,则当
x > 3 时,x2 + y2 的取值范围是
(A)(3, 7) (B)(9, 25) (C)(13, 49) (D)(9, 49)
参考答案:
C
略
9. 已知是首项为1,公比为2的等比数列,则数列{ an}的第100项等于
A.25050 B.24950 C.2100 D. 299
参考答案:
A
10. 某几何体的正视图和侧视图均如左图所示,则该几何体的俯视图不可能是( )
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (几何证明选做题)如图,已知AB和AC是网的两条弦,过点B作圆的
切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E,
与AB相交于点F,AF=3,FB=1,EF=,则线段CD的长为 .
参考答案:
4/3
略
12. 在中,的内心,若
,则动点的轨迹所覆盖的面积为 .
参考答案:
13. 已知实数x,y满足条件,(为虚数单位),则的最小值是 .
参考答案:
14. 对定义在区间D上的函数f(x)和g(x),如果对任意x∈D,都有|f(x)﹣g(x)|≤1成立,那么称函数f(x)在区间D上可被G(X)替代,D称为“替代区间”.给出以下命题:
①f(x)=x2+1在区间(﹣∞,+∞)上可被g(x)=x2替代;
②f(x)=x可被g(x)=1﹣替代的一个“替代区间”为[,];
③f(x)=lnx在区间[1,e]可被g(x)=x﹣b替代,则e﹣2≤b≤2;
④f(x)=lg(ax2+x)(x∈D1),g(x)=sinx(x∈D2),则存在实数a(a≠0),使得f(x)在区间D1∩D2 上被g(x)替代;
其中真命题的有 .
参考答案:
①②③
考点:函数的值域.
专题:函数的性质及应用;导数的综合应用.
分析:命题①直接由替代的定义得出为真命题;命题②|f(x)﹣g(x)|=,根据导数判断函数x+在区间上的最值,从而可说明|f(x)﹣g(x)|<1,从而可判断该命题正确;命题③,根据替代的定义,|f(x)﹣g(x)|≤1在[1,e]上恒成立,根据导数判断函数lnx﹣x+b在[1,e]上的单调性,根据单调性即可求出函数lnx﹣x+b的值域,该值域应为区间[﹣1,1]的子集,从而可得出b的取值范围,从而判断该命题的正误;命题④可先找出一个D1∩D2区间,可以在此区间找到一个x使对任意a|f(x)﹣g(x)|>1,从而便可判断出该命题错误,这样便可最后找出所有的真命题.
解答: 解:①∵|f(x)﹣g(x)|=<1;
f(x)可被g(x)替代;
∴该命题为真命题;
②|f(x)﹣g(x)|=;
设h(x)=,h′(x)=;
∴时,h′(x)<0,x∈(]时,h′(x)>0;
∴是h(x)的最小值,又h()=,h()=;
∴|f(x)﹣g(x)|<1;
∴f(x)可被g(x)替代的一个替代区间为[];
∴该命题是真命题;
③由题意知:|f(x)﹣g(x)|=|lnx﹣x+b|≤1在x∈[1,e]上恒成立;
设h(x)=lnx﹣x+b,则h′(x)=;
∵x∈[1,e];
∴h′(x)≤0;
∴h(x)在[1,e]上单调递减;
h(1)=b﹣1,h(e)=1﹣e+b;
1﹣e+b≤h(x)≤b﹣1;
又﹣1≤h(x)≤1;
∴;
∴e﹣2≤b≤2;
∴该命题为真命题;
④1)若a>0,解ax2+x>0得,x,或x>0;
可取D1=(0,+∞),D2=R;
∴D1∩D2=(0,+∞);
可取x=π,则|f(x)﹣g(x)|=aπ2+π>1;
∴不存在实数a(a>0),使得f(x)在区间D1∩D2 上被g(x)替代;
2)若a<0,解ax2+x>0得,x<0,或x;
∴可取D1=(﹣∞,0),D2=R;
∴D1∩D2=(﹣∞,0);
取x=﹣π,则|f(﹣π)﹣g(﹣π)|=|aπ2﹣π|>1;
∴不存在实数a(a<0),使得f(x)在区间D1∩D2 上被g(x)替代;
综上得,不存在实数a(a≠0),使得f(x)在区间D1∩D2 上被g(x)替代;
∴该命题为假命题;
∴真命题的有:①②③.
故答案为:①②③.
点评:考查对替代定义的理解,根据函数导数判断函数单调性、求函数在闭区间上最值的方法,以及根据对数的真数大于0求函数定义域的方法,解一元二次不等式,在说明f(x)不能被g(x)替代的举反例即可.
15. 过双曲线x2-=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点,若实数λ使得|AB| =λ的直线l恰有3条,则λ= .
参考答案:
4
解:右支内最短的焦点弦==4.又2a=2,故与左、右两支相交的焦点弦长≥2a=2,这样的弦由对称性有两条.故λ=4时
设AB的倾斜角为θ,则右支内的焦点弦λ==≥4,当θ=90°时,λ=4.
与左支相交时,θ=±arccos时,λ===4.故λ=4.
16. 不等式的解集为A,不等式的解集为B,若BA,则a 的取值集合是 .
参考答案:
17. 某校共有学生2000名,各年级男、女生人数如表.已知在全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的可能性0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为 .
一年级
二年级
三年级
女生
373
C2
C1
男生
377
370
C2
参考答案:
16
【考点】分层抽样方法.
【分析】由题意,二年级女学生数为2000×0.19=380人,由此可计算三件及学生数和三年级学生所占的比例,按此比例即可求出三年级抽取的学生人数.
【解答】解:由题意,二年级女学生数为2000×0.19=380人,
所以三年级的学生数为;2000﹣373﹣377﹣380﹣370=500人,所占比例为
所以应在三年级抽取的学生人数为 64×=16
故答案为:16
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)设椭圆方程为=1,求点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、B,O为坐标原点,点P满足,当l绕点M旋转时,求动点P的轨迹方程.
参考答案:
解析:设P(x,y)是所求轨迹上的任一点,①当斜率存在时,直线l的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立并消元得:(4+k2)x2+2kx-3=0, x1+x2=-y1+y2=,由 得:(x,y)=(x1+x2,y1+y2),即:
消去k得:4x2+y2-y=0当斜率不存在时,AB的中点为坐标原点,也适合方程
所以动点P的轨迹方程为:4x2+y2--y= 0.
19. 已知函数f(x)=lnx,g(x)=(m>0).
(Ⅰ)若函数y=f(x)与y=g(x)在x=1处有相同的切线,求m的值;
(Ⅱ)若函数y=f(x)﹣g(x)在定义域内不单调,求m﹣n的取值范围;
(Ⅲ)若?x>0,恒有|f(x)|≥|g(x)|成立,求实数m的最大值.
参考答案:
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】(I)直接利用导数的几何意义即可求出m值;
(II)首先对y求导y'=f'(x)﹣g'(x)=,因为y=f(x)﹣g(x)在定义域内不单调,所以h(x)=x2+[2﹣m(1﹣n)]x+1 在(0,+∞)内有至少一个实根且曲线与x不相切.
(III)当x=1时,由|f(1)|≥|g(1)|得n=1,当x>1时,f(x)>0,g(x)>0;当0<x<1时,f(x)<0,g(x)<0;
令k(x)=f(x)﹣g(x),则问题转化为:当x>1时,k(x)≥0恒成立,当0<x<1时,k(x)≤0恒成立;
【解答】解:(I)函数y=f(x)在x=1处的切线方程为y=x﹣1,
由g(1)=0得n=﹣1,由g'(1)=1得m=2;
(II)y'=f'(x)﹣g'(x)=,
因为y=f(x)﹣g(x)在定义域内不单调,所以
h(x)=x2+[2﹣m(1﹣n)]x+1 在(0,+∞)内有至少一个实根且曲线与x不相切.
因为h(0)=1>0,于是[2﹣m(1﹣n)]2﹣4>0;
∴m(1﹣n)>4或m(1﹣n)<0;
由m(1﹣n)>4知m+(1﹣n)≥2>,所以m﹣n>3;
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