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2022-2023学年四川省成都市公兴中学高三数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 定义域为[a,b]的函数y=f(x)图象的两个端点为A、B,M(x,y)是f(x)图象上任意一点,其中x=λa+(1﹣λ)b∈[a,b],已知向量,若不等式恒成立,则称函数f(x)在[a,b]上“k阶线性近似”.若函数在[1,2]上“k阶线性近似”,则实数k的取值范围为( )
A.
[0,+∞)
B.
C.
D.
参考答案:
D
考点:
函数与方程的综合运用.3794729
专题:
压轴题;新定义.
分析:
本题求解的关键是得出M、N横坐标相等,将恒成立问题转化为求函数的最值问题.
解答:
解:由题意,M、N横坐标相等,恒成立即k恒大于等于,则k≥的最大值,所以本题即求的最大值.
由N在AB线段上,得A(1,0),B(2,)
AB方程y=(x﹣1)
由图象可知,MN=y1﹣y2=x﹣﹣(x﹣1)=﹣(+)≤(均值不等式)
故选D.
点评:
解答的关键是将已知条件进行转化,同时应注意恒成立问题的处理策略.
2. 下列函数中,既是偶函数又在单调递增的函数是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
3. 函数在上为减函数,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
4. 已知命题p:,,则( )
A.:, B.:,
C.:, D.:,
参考答案:
B
由含有一个量词的命题的否定可知存在性命题的否定是全称命题,故应选B.
5. 设三次函数的导函数,且,则函数的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
D
6. 函数的零点有
A. 0个 B. 1个 C.2个 D.3个
参考答案:
A
7. 已知,则复数z=( )
A.1﹣3i B.﹣1﹣3i C.﹣1+3i D.1+3i
参考答案:
A
【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出.
【解答】解:,∴ =(1+i)(2+i)=1+3i.
则复数z=1﹣3i.
故选:A.
8. 执行如图所示的程序框图,则输出的结果为( )
A.2 B.1 C.﹣1 D.﹣2
参考答案:
B
【考点】程序框图.
【分析】模拟程序框图的运行过程,得出该程序是以6为周期的计算S值的循环程序,结合i的值即可得出结果.
【解答】解:模拟程序框图的运行过程,得;
i=0,S=1,A=2;
i=1,S=1×2=2,A=1﹣=;
i=2,S=2×=1,A=1﹣2=﹣1;
i=3,S=1×(﹣1)=﹣1,A=1+1=2;
i=4,S=﹣1×2=﹣2,A=1﹣=;
i=5,S=﹣2×=﹣1,A=1﹣2=﹣1;
i=6,S=﹣1×(﹣1)=1,A=1+2=2;…;
∴该程序是以6为周期的计算S值的循环程序;
∴当i=2016=336×6时,S=1,A=2,终止循环;
即该程序运行后输出的是S=1.
故选:B.
9. 已知函数,若对于任意,都有 成立,则的取值范围是
A.B.C.D.
参考答案:
A
略
10. 设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,给出下列条件,能得到的是
A., B.m⊥, C.m⊥n, D.m∥n,
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在的展开式中,若第项的系数为,则 .
参考答案:
3
略
12. 某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品,其中一等奖奖品3件,二等奖奖品6件. 制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同,但工艺不同,故价格有所差异. 现有甲、乙两家工厂可以制作奖品(一等奖、二等奖奖品均符合要求),甲厂收费便宜,但原料有限,最多只能制作4件奖品,乙厂原料充足,但收费较贵,其具体收费情况如下表:
奖品
收费(元/件)
工厂
一等奖奖品
二等奖奖品
甲
500
400
乙
800
600
则组委会定做该工艺品的费用总和最低为 元.
参考答案:
试题分析:设在甲厂做一等奖奖品件,二等奖奖品件,则,组委会定做该工艺品的费用总和为,可行域为一个直角梯形内整数点(包含边界),其中当直线过点时费用总和取最小值:
考点:线性规划求最值
13. 已知函数f(x)=x3+(1﹣a)x2﹣a(a+2)x(a∈R)在区间(﹣2,2)不单调,则a的取值范围是 .
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【专题】综合题;导数的综合应用.
【分析】由题意可得f′(x)=3x2+(2﹣2a)x﹣a(a+2)=0在区间(﹣2,2)上有解,再利用二次函数的性质分类讨论求得a的范围.
【解答】解:由题意可得f′(x)=3x2+(2﹣2a)x﹣a(a+2)=0在区间(﹣2,2)上有解,
故有①,或 f′(﹣2)f(2)<0 ②.
可得,a的取值范围是.
故答案为:.
【点评】本题主要考查函数的单调性与导数的关系,二次函数的性质应用,属于中档题.
14. 若不等式组所表示的平面区域被直线分成面积相等的两部分,则k的值为 。
参考答案:
15. 已知,且,则的值为__________
参考答案:
16. 函数的定义域为_____
参考答案:
略
17. 若函数是定义在(0,+)上的增函数,且对一切x>0,y>0满足,则不等式的解集为
参考答案:
(0,+)
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数,
(1)若函数,求函数的单调区间;
(2)设直线为函数的图像上点A(,)处的切线,证明:在区间(1,+)上存在唯一,直线与曲线相切.
参考答案:
解:(1),故
显然当且时都有,故函数在和均单调递增。
(2)因为,所以直线的方程为
设直线与的图像切于点,因为,
所以 ,从而,
所以直线的方程又为
故 ,从而有
由(1)知,在区间单调递增,
又因为,
故在区间上存在唯一的零点,
此时,直线与曲线相切.
略
19. 某机构组织语文、数学学科能力竞赛,每个考生都参加两科考试,按照一定比例淘汰后,按学科分别评出一二三等奖.现有某考场的两科考试数据统计如下,其中数学科目成绩为二等奖的考生有12人.
数学二等奖
学生得分
语文二等奖
学生得分
7
9
1
4
8
9
4
7
6
2
0
3
9
(Ⅰ)求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数;
(Ⅱ)用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取5人,进行综合素质测试,将他们的综合得分绘成茎叶图(如图),求两类样本的平均数及方差并进行比较分析;
(Ⅲ)已知该考场的所有考生中,恰有3人两科成绩均为一等奖,在至少一科成绩为一等奖的考生中,随机抽取2人进行访谈,求两人两科成绩均为一等奖的概率.
参考答案:
(Ⅰ)依题意:获数学二等奖的考生的比例是,…..1分
所以考生总人数为:(人). ………………………………………2分
所以该考场考生中语文成绩为一等奖的人数为:
(人). ………………………………………3分
(Ⅱ)设数学和语文两科的平均数和方差分别为、、、,
,……………………………………………4分
,……………………………………………5分
, …………………………………………6分
. …………………………………………7分
所以数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高,但是稳定性较差.
……………………………………………8分
(Ⅲ)两科均为一等奖共有人,仅数学一等奖有人,仅语文一等奖有人
……………………………………………9分
设两科成绩都是一等奖的人分别为、、,只有数学一科为一等奖的人分别是、,只有语文一科为一等奖的人是,所以随机抽取两人的基本事件为:、、、、、、、、、、、、、
共种. …………………………………10分
而两人两科成绩均为一等奖的基本事件为:、、共种. …………11分
所以两人的两科成绩均为一等奖的概率. …………………………12分
20. 已知函数在上的最小值是.
(1).求数列的通项公式;
(2).证明:<.
(3).在点列…….中是否存在两点Ai ,Aj 其中i, j∈N+ .,使直线AiAj的斜率为1,若存在,求出所有数对i, j .,若不存在,说明理由.
参考答案:
【知识点】导数的应用 数列求和 B12 D4
(1);(2)略;(3)不存在这样的点列.
(1).由,得 =……………1分.
令 ,得……………………2分.
当.时,.当时, .
∴在上有极小值
∴数列的通项公式…………………………………5分.
(2).∵………………………6分..
∴=
………………8分.
(3).依题意,设.其中.是点列中的任意两点,则经过这两点的直线的斜率是:k=
……………………9分.
=1……………………11分.
∴不存在这样的点列,使直线的斜率为1……………………12分..
【思路点拨】(1)求出原函数的导函数,得到原函数的极小值点,求得极小值,则数列的通项公式可求;
(2)因为,所以采用裂项相消法对求和即可证明;(3)设出点列中的两点.代入两点求斜率公式可得答案.
21. (Ⅰ)叙述并证明平面向量基本定理:
(Ⅱ)在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为,沿BE方向前进30m,至点C处测得顶端A的仰角为2,再继续前进10m至D点,测得顶端A的仰角为4,求的大小和建筑物AE的高。
参考答案:
解:(Ⅰ)平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数使.
证明:在平面内任取一点,作过点作平行于直线的直线,与直线交于点;过点作平行于直线的直线,与直线交于点.由向量的线性运算性质可知,存在实数,使得,.由于,所以. .................6分
(Ⅱ)由已知可得在ACD中,AC=BC=30, AD=DC=10,
ADC =180-4, = .
因为 sin4=2sin2cos2 cos2=,得 2=30
=15, 在RtADE中,AE=ADsin60=15
答:所求角为15,建筑物高度为15m ..................12分
22. (本小题满分12分)
已知椭圆的中心在坐标原点,离心率,且其中一个焦点与抛物线的焦点重合.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点的动直线交椭圆于两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点,使得无论如何转动,以为直径的圆恒过点?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案:
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