2022-2023学年四川省成都市公兴中学高三数学文上学期期末试题含解析

2022-2023学年四川省成都市公兴中学高三数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b∈[a，b]，已知向量，若不等式恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为（　　） 　 A． [0，+∞） B． C． D． 参考答案： D 考点： 函数与方程的综合运用．3794729 专题： 压轴题；新定义． 分析： 本题求解的关键是得出M、N横坐标相等，将恒成立问题转化为求函数的最值问题． 解答： 解：由题意，M、N横坐标相等，恒成立即k恒大于等于，则k≥的最大值，所以本题即求的最大值． 由N在AB线段上，得A（1，0），B（2，） AB方程y=（x﹣1） 由图象可知，MN=y1﹣y2=x﹣﹣（x﹣1）=﹣（+）≤（均值不等式） 故选D． 点评： 解答的关键是将已知条件进行转化，同时应注意恒成立问题的处理策略． 2. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（    ） A．        B．        C．        D． 参考答案： C 3. 函数在上为减函数，则的取值范围是（    ） A.        B.        C.      D. 参考答案： B 4. 已知命题p：，，则（   ） A．：，               B．：， C．：，               D．：， 参考答案： B 由含有一个量词的命题的否定可知存在性命题的否定是全称命题,故应选B. 5. 设三次函数的导函数,且,则函数的零点个数为（    ） A．0       B．1       C．2      D．3 参考答案： D 6. 函数的零点有   A. 0个     B. 1个    C.2个     D.3个 参考答案： A 7. 已知，则复数z=（　　） A．1﹣3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i 参考答案： A 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 【解答】解：，∴ =（1+i）（2+i）=1+3i． 则复数z=1﹣3i． 故选：A． 8. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（　　）   A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 参考答案： B 【考点】程序框图． 【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序是以6为周期的计算S值的循环程序，结合i的值即可得出结果． 【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得； i=0，S=1，A=2； i=1，S=1×2=2，A=1﹣=； i=2，S=2×=1，A=1﹣2=﹣1； i=3，S=1×（﹣1）=﹣1，A=1+1=2； i=4，S=﹣1×2=﹣2，A=1﹣=； i=5，S=﹣2×=﹣1，A=1﹣2=﹣1； i=6，S=﹣1×（﹣1）=1，A=1+2=2；…； ∴该程序是以6为周期的计算S值的循环程序； ∴当i=2016=336×6时，S=1，A=2，终止循环； 即该程序运行后输出的是S=1． 故选：B． 9. 已知函数，若对于任意，都有     成立，则的取值范围是   Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ.   参考答案： A 略 10. 设m，n是两条不同的直线,是两个不同的平面，给出下列条件,能得到的是 A．， B．m⊥， C．m⊥n,  D．m∥n, 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在的展开式中，若第项的系数为，则         . 参考答案： 3 略 12. 某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件. 制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异. 现有甲、乙两家工厂可以制作奖品（一等奖、二等奖奖品均符合要求)，甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费情况如下表：                  奖品     收费(元／件) 工厂 一等奖奖品      二等奖奖品 甲 500         400 乙 800         600 则组委会定做该工艺品的费用总和最低为          元. 参考答案： 试题分析：设在甲厂做一等奖奖品件，二等奖奖品件，则,组委会定做该工艺品的费用总和为，可行域为一个直角梯形内整数点（包含边界）,其中当直线过点时费用总和取最小值： 考点：线性规划求最值 13. 已知函数f（x）=x3+（1﹣a）x2﹣a（a+2）x（a∈R）在区间（﹣2，2）不单调，则a的取值范围是         ． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【专题】综合题；导数的综合应用． 【分析】由题意可得f′（x）=3x2+（2﹣2a）x﹣a（a+2）=0在区间（﹣2，2）上有解，再利用二次函数的性质分类讨论求得a的范围． 【解答】解：由题意可得f′（x）=3x2+（2﹣2a）x﹣a（a+2）=0在区间（﹣2，2）上有解， 故有①，或 f′（﹣2）f（2）＜0 ②． 可得，a的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查函数的单调性与导数的关系，二次函数的性质应用，属于中档题． 14. 若不等式组所表示的平面区域被直线分成面积相等的两部分，则k的值为                      。 参考答案： 15. 已知，且，则的值为__________ 参考答案： 16. 函数的定义域为_____ 参考答案： 略 17. 若函数是定义在（0，+）上的增函数，且对一切x>0,y>0满足，则不等式的解集为        参考答案： （0，+） 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数， （1）若函数，求函数的单调区间； （2）设直线为函数的图像上点A（，）处的切线，证明：在区间（1，+）上存在唯一，直线与曲线相切. 参考答案： 解：（1），故        显然当且时都有，故函数在和均单调递增。    （2）因为，所以直线的方程为            设直线与的图像切于点，因为， 所以 ，从而，      所以直线的方程又为  故 ，从而有 由（1）知，在区间单调递增， 又因为， 故在区间上存在唯一的零点， 此时，直线与曲线相切. 略 19. 某机构组织语文、数学学科能力竞赛，每个考生都参加两科考试，按照一定比例淘汰后，按学科分别评出一二三等奖．现有某考场的两科考试数据统计如下，其中数学科目成绩为二等奖的考生有12人． 数学二等奖 学生得分   语文二等奖 学生得分       7 9         1 4 8 9 4 7 6 2 0 3 9           （Ⅰ）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数； （Ⅱ）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取5人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图（如图），求两类样本的平均数及方差并进行比较分析； （Ⅲ）已知该考场的所有考生中，恰有3人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取2人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率． 参考答案： （Ⅰ）依题意：获数学二等奖的考生的比例是，…..1分          所以考生总人数为：（人）． ………………………………………2分          所以该考场考生中语文成绩为一等奖的人数为： （人）． ………………………………………3分   （Ⅱ）设数学和语文两科的平均数和方差分别为、、、，         ，……………………………………………4分         ，……………………………………………5分         ， …………………………………………6分         ． …………………………………………7分         所以数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差． ……………………………………………8分 （Ⅲ）两科均为一等奖共有人，仅数学一等奖有人，仅语文一等奖有人 ……………………………………………9分 设两科成绩都是一等奖的人分别为、、，只有数学一科为一等奖的人分别是、,只有语文一科为一等奖的人是，所以随机抽取两人的基本事件为：、、、、、、、、、、、、、 共种．    …………………………………10分 而两人两科成绩均为一等奖的基本事件为：、、共种． …………11分 所以两人的两科成绩均为一等奖的概率.  …………………………12分 20. 已知函数在上的最小值是. （1）．求数列的通项公式； （2）．证明：<． （3）．在点列…….中是否存在两点Ai ,Aj 其中i, j∈N+ ．，使直线AiAj的斜率为1，若存在，求出所有数对i, j ．，若不存在，说明理由． 参考答案： 【知识点】导数的应用  数列求和  B12  D4 （1）；（2）略；（3）不存在这样的点列. （1）．由，得 =……………1分． 令 ，得……………………2分． 当．时，．当时， ． ∴在上有极小值 ∴数列的通项公式…………………………………5分． （2）．∵………………………6分．． ∴= ………………8分． （3）．依题意，设．其中．是点列中的任意两点，则经过这两点的直线的斜率是：k= ……………………9分． =1……………………11分． ∴不存在这样的点列，使直线的斜率为1……………………12分．． 【思路点拨】（1）求出原函数的导函数，得到原函数的极小值点，求得极小值，则数列的通项公式可求； （2）因为，所以采用裂项相消法对求和即可证明；（3）设出点列中的两点．代入两点求斜率公式可得答案． 21. （Ⅰ）叙述并证明平面向量基本定理： （Ⅱ)在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。   参考答案： 解：（Ⅰ）平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使. 证明：在平面内任取一点，作过点作平行于直线的直线，与直线交于点；过点作平行于直线的直线，与直线交于点.由向量的线性运算性质可知，存在实数，使得，.由于,所以.                                    .................6分 （Ⅱ）由已知可得在ACD中，AC=BC=30，  AD=DC=10， ADC =180-4,      = .   因为   sin4=2sin2cos2 cos2=,得   2=30 =15，      在RtADE中，AE=ADsin60=15 答：所求角为15，建筑物高度为15m           ..................12分 22. （本小题满分12分） 已知椭圆的中心在坐标原点，离心率，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点的动直线交椭圆于两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案：