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四川省巴中市独立中学高三数学文下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 将函数y=sin(6x+)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,再向右平移个单位,得到的函数的一个对称中心( )
A. B. C.() D.()
参考答案:
A
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的对称性.
【分析】先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式,再根据三角函数的性质进行验证:若f(a)=0,则(a,0)为一个对称中心,确定选项.
【解答】解:函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为
再向右平移个单位得到图象的解析式为=sin2x
当x=时,y=sinπ=0,所以是函数y=sin2x的一个对称中心.
故选A.
【点评】本题考查了三角函数图象变换规律,三角函数图象、性质.是三角函数中的重点知识,在试题中出现的频率相当高.
2. 已知等差数列的公差不为0,等比数列的公比q是小于1的正有理数。若,且是正整数,则q的值可以是( )
A. B.- C.- D.
参考答案:
D
3. 下列说法正确的是( )
A.任何事件的概率总是在(0,1)之间
B.频率是客观存在的,与试验次数无关
C.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率
D.概率是随机的,在试验前不能确定
参考答案:
C
【考点】概率的意义.
【分析】利用频率与概率的意义及其关系即可得出.
【解答】解:由于必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,故A不正确.
频率的数值是通过实验完成的,频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值,故B、D不正确.
频率是不能脱离n次试验的实验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值,
随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率,故C正确.
故选:C.
4. 正项等比数列{an}中,,则的值为( )
A.100 B.10000 C.1000 D.10
参考答案:
B
略
5. 已知a1,a2,b1,b2均为非零实数,集合A={x|a1x+b1>0},B={x|a2x+b2>0},则“”是“A=B”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
B
【考点】充要条件.
【分析】先根据,进行赋值说明此时A≠B,然后根据“M?N,M是N的充分不必要条件,N是M的必要不充分条件”,进行判定即可.
【解答】解:∵
∴取a1=1,a2=﹣1,b1=﹣1,b2=1,A≠B
而A=B?
∴“”是“A=B”的必要不充分条件
故选B
6. 已知函数的图象如图所示,则的值为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
,,,选C
7. 如图1,风车起源于周,是一种用纸折成的玩具。它用高粱秆,胶泥瓣儿和彩纸扎成,是老北京的象征,百姓称它吉祥轮.风车现已成为北京春节庙会和节俗活动的文化标志物之一.图2是用8个等腰直角三角形组成的风车平面示意图,若在示意图内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
8. 若集合则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
9. 设函数f(x)=ax+sinx+cosx.若函数f(x)的图象上存在不同的两点A、B,使得曲线y=f(x)在点A、B处的切线互相垂直,则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.[﹣1,1]
参考答案:
D
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】求出原函数的导函数,设出A,B的坐标,代入导函数,由函数在A,B处的导数等于0列式,换元后得到关于a的一元二次方程,结合线性规划知识求得a的取值范围.
【解答】解:由f(x)=ax+sinx+cosx,得f′(x)=a+cosx﹣sinx,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则f′(x1)=a+cosx1﹣sinx1,f′(x2)=a+cosx2﹣sinx2.
由曲线y=f(x)在点A、B处的切线互相垂直,得
a2+[(cosx1﹣sinx1)+(cosx2﹣sinx2)]a+(cosx1﹣sinx1)(cosx2﹣sinx2)+1=0.
令m=cosx1﹣sinx1,n=cosx2﹣sinx2,
则m∈[﹣,],n∈[﹣,],
∴a2+(m+n)a+mn+1=0.
△=(m+n)2﹣4mn﹣4=(m﹣n)2﹣4,
∴0≤(m﹣n)2﹣4≤4.
当m﹣n=时,m+n=0,
又a=.
∴﹣1≤a≤1.
∴函数f(x)的图象上存在不同的两点A,B,
使得曲线y=f(x)在点A,B处的切线互相垂直,则实数a的取值范围为[﹣1,1].
故选D.
10. 在中,已知,且最大边的长为,则的最小边为 ( )
A.1 B. C. D.3
参考答案:
C
在中,,即,所以,所以,因为,则角A所对的边最小。由可知,由正弦定理,得。
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 抛物线 M:y2=2px(p>0)与椭圆有相同的焦点F,抛物线M与 椭圆N交于A,B,若F,A,B共线,则椭圆N的离心率等于 .
参考答案:
﹣1
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由题意可知:AF⊥x轴, =c,代入抛物线方程即可求得A点坐标,代入椭圆方程,利用离心率公式即可求得椭圆N的离心率.
【解答】解:如图所示由F,A,B共线,
则AF⊥x轴,
由抛物线 M:y2=2px(p>0)与椭圆有相同的焦点F,
∴=c,
把x=,代入抛物线方程可得:y2=2p?,解得:y=p.
∴A(,p),即A(c,2c).
代入椭圆的方程可得:,
又b2=a2﹣c2,
∴,由椭圆的离心率e=,
整理得:e4﹣6e2+1=0,0<e<1.
解得:e2=3﹣2,
∴e=﹣1,
故答案为:﹣1.
12. 设,若函数有小于零的极值点,则实数的取值范围是___________.
参考答案:
略
13. 已知向量,,其中||=,||=2,且(+)⊥,则向量,的夹角是 .
参考答案:
【考点】9R:平面向量数量积的运算.
【分析】利用向量垂直的条件,结合向量数量积公式,即可求向量,的夹角
解:设向量,的夹角为θ,
∵||=,||=2,且(+)⊥,
∴(+)?=+=+||?||cosθ=2+2cosθ=0,
解得cosθ=﹣,
∵0≤θ≤π,
∴θ=,
故答案为:
14. 若抛物线(p>0)的焦点与双曲线的左焦点重合,则的值为________ .
参考答案:
6
15. z=(1+i)(1﹣2i)的实部为
参考答案:
3
考点: 复数代数形式的乘除运算.
专题: 数系的扩充和复数.
分析: 利用复数的运算法则、实部的定义即可得出.
解答: 解:复数z=(1+i)(1﹣2i)=1﹣2i+i+2=3﹣i,
∴z的实部为3.
故答案为:3.
点评: 本题考查了复数的运算法则、实部的定义,属于基础题.
16. 在中,内角的对边分别是,若,,则
参考答案:
17. 在△ABC三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c2sinA=5sinC,(a+c)2=16+b2,则△ABC的面积是 .
参考答案:
2
【考点】HR:余弦定理;HP:正弦定理.
【分析】由正弦定理化简已知等式可得ac=5,由余弦定理可求cosB=,利用同角三角函数基本关系式解得sinB,进而根据三角形面积公式即可计算得解.
【解答】解:∵c2sinA=5sinC,
∴ac2=5c,可得:ac=5,
∵(a+c)2=16+b2,可得:b2=a2+c2+2ac﹣16,
∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB,可得:2ac﹣16=﹣2accosB,整理可得:2ac(1+cosB)=16,
∴cosB=,解得sinB==,
∴S△ABC=acsinB==2.
故答案为:2.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在锐角中,
(I)求角;
(Ⅱ)若,求的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)由
且
(Ⅱ)
又
,
19. 在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,且满足.
(1)判断△ABC的形状;
(2)若,,CD为角C的平分线,求CD的长.
参考答案:
(1)直角三角形;(2).
【分析】
(1)利用两角和与差的正弦公式化简已知条件,求得,由此判断也即三角形为直角三角形.(2)根据勾股定理求得和,由此求得,根据正弦定理列方程,解方程求得的长.
【详解】(1)由,得,
∴,∴,∴.
故为直角三角形.
(2)由(1)知,又,,∴,,.
由正弦定理得,∴.
【点睛】本小题主要考查两角和与差的余弦公式,考查勾股定理,考查正弦定理解三角形,属于基础题.
20. (本小题满分12分)甲、乙、丙三位同学彼此独立地从五所高校中,任选2所高校参加自主招生考试(并且只能选2所高校),但同学甲特别喜欢高校,他除选校外,在中再随机选一所;同学乙和丙对5所高校没有偏爱,都在5所高校中随机选2所即可
(I)求甲同学未选中高校且乙、丙都选中高校的概率;
(II)记为甲乙丙三名同学中参加校自主招生考试的人数,求的分布列及数学期望。
参考答案:
21. (本小题满分14分)
已知函数,曲线在点处的切线方程为.
(1)求a,b的值;
(2)如果当x>0,且时,,求k的取值范围.
参考答案:
(1)
由于直线的斜率为,且过点,
故即 解得,。
(2)由(Ⅰ)知,所以
。
考虑函数,则。
(i) 设,由知,当时,。而,
故当时,,可得;
当x(1,+)时,h(x)<0,可得 h(x)>0
从而当x>0,且x1时,f(x)-(+)>0,即f(x)>+.
(ii)设00,故 (x)>0,而
h(1)=0,故当x(1,)时,h(x)>0,可得h(x)<0,与题设矛盾。
(iii)设k1.此时(x)>0,而h(1)=0,故当x(1,+)时,h(x)>0,可得 h(x)<0,与题设矛盾。
综合得,k的取值范围为(-,0] …………………………14分
22. 已知定点、,直线AM、BM相交于点M,且它们的斜率之积为,记动点M的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)设直线l与曲线C交于P、Q两点,若直线AP与AQ斜率之积为,求证:直线l过定点,并求定点坐标.
参考答案:
(Ⅰ)设动点,则,
,即,
化简得: ,由已知,
故曲线的方程为.
(Ⅱ)由已知直线斜率为0时,显然不满足条件。
当直线 斜
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