2022年四川省成都市第三十七中学高三数学文测试题含解析

2022年四川省成都市第三十七中学高三数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设是向量，命题“若，则∣∣= ∣∣”的逆命题是（　　）          A．若，则∣∣∣∣                 B．若，则∣∣∣∣          C．若∣∣∣∣，则                        D．若∣∣=∣∣，则=― 参考答案： D 2. 已知集合，则 (A){一2）      (B){3)       (C)(-2，3}       (D) 参考答案： B 3. 设[x]表示不小于实数x的最小整数，如[2.6]=3，[﹣3.5]=﹣3．已知函数f（x）=[x]2﹣2[x]，若函数F（x）=f（x）﹣k（x﹣2）+2在（﹣1，4]上有2个零点，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】52：函数零点的判定定理． 【分析】根据[x]的定义，分别作出函数y=f（x）和y=k（x﹣2）﹣2的图象，利用数形结合即可得到结论． 【解答】解：令F（x）=0得f（x）=k（x﹣2）﹣2， 作出函数y=f（x）和y=k（x﹣2）﹣2的图象如下图所示： 若函数F（x）=f（x）﹣k（x﹣2）+2在（﹣1，4]上有2个零点， 则函数f（x）和g（x）=k（x﹣2）﹣2的图象在（﹣1，4]上有2个交点， 经计算可得kPA=5，kPB=10，kPO=﹣1，kPC=﹣， ∴k的范围是[﹣1，﹣）∪[5，10）． 故选：B． 【点评】本题考查了对新定义的理解，函数零点的个数与函数图象的关系，数形结合解题思想，属于中档题． 4. 双曲线的左右焦点分别为、，点P是双曲线右支上一点，若双曲线的一条渐近线垂直平分，则该双曲线的离心率是 A．     B．    C．2    D．5 参考答案： B 5. 已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（   ） A．                B．                  C．                  D． 参考答案： C 6. 已知，满足且的最大值为7，最小值为1，则        ． 参考答案： 略 7.   （     ）      A  充分不必要条件           B  必要不充分条件        C  充要条件                            D  既不充分也不必要条件 参考答案： A 8. 已知抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B，设|AF|=m，|BF|=n，则m+n的最小值为（　　） A．2 B．3 C． D．4 参考答案： D 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】由抛物线y2=4x与过其焦点（1，0）的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A（x1，y1）、B（x2，y2）两点坐标，再依据抛物线的定义，由韦达定理可以求得答案． 【解答】解：由题意知，抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）， 当斜率k存在时，设直线AB的方程为y=k（x﹣1）， 联立抛物线方程，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0． 设出A（x1，y1）、B（x2，y2） 则 x1+x2=2+，x1x2=1． 依据抛物线的定义得出m+n=x1+x2+2＞4， 当斜率k不存在时，m+n=4． 则m+n的最小值是4． 故选D． 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是联立抛物线方程与过其焦点的直线方程，利用韦达定理予以解决，属于中档题．需要注意对斜率不存在的情况加以研究． 9. 已知双曲线﹣（a＞b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则其离心率为（　　） A． B． C． D．2 参考答案： A 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得其焦点的位置，进而可得其渐近线的方程为y=±x，结合题意可得=，即b=a，由a、b、c的关系可得c==a，由离心率公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，已知双曲线的标准方程为：﹣（a＞b＞0）， 其焦点在x轴上， 则其渐近线的方程为：y=±x， 又由题意，该双曲线的一条渐近线方程为y=x， 则有=，即b=a， 则c==a， 则其离心率e==； 故选：A． 10. 将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式                                                            （    ） A．   B．         C．    D． 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数（e为常数）是奇函数，则a=　　． 参考答案： 略 12. 设，，则          ；          ． 参考答案： ， 13. 的展开式中第4项的值是-40，则       。 参考答案： 14. 已知函数，设，若，则的取值范围是____________. 参考答案： 略 15. 如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是_____________ ①BD∥平面CB1D1； ②　AC1⊥平面CB1D1； ③　AC1与底面ABCD所成角的正切值是； ④　CB1与BD为异面直线； 参考答案： （1）、(2)、(4) 16. 若=﹣，则sin2α=　　． 参考答案： 【考点】三角函数的化简求值． 【分析】由三角函数的诱导公式公式及正弦函数的和差化积公式化简已知式子可得，平方可得答案． 【解答】解：若= =， ∴． ∴平方可得1+sin2α=． ∴sin2α= 故答案为：． 17. 若ai，j表示n×n阶矩阵中第i行、第j列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为1，2，3，…，n，且ai+1，j+1=ai+1，j+ai，j（i、j=1，2，…，n﹣1），则a3，n=　　． 参考答案：   考点： 数列的应用；矩阵变换的性质．3804980 专题： 综合题；等差数列与等比数列． 分析： 依题意，可求得a3，1=3，a3，2=5，a3，3=8，a3，4=12，…由于后一项减去前一项的差构成等差数列，利用累加法即可求得a3，n． 解答： 解：依题意，a3，1=3，a3，2=a3，1+a2，1=3+2=5，a3，3=a3，2+a2，2=5+3=8，a3，4=a3，3+a2，3=8+4=12，… ∴a3，2﹣a3，1=5﹣3=2，（1） a3，3﹣a3，2=8﹣5=3，（2） a3，4﹣a3，3=12﹣8=4，（3） … a3，n﹣a3，n﹣1=n，（n﹣1） 将这（n﹣1）个等式左右两端分别相加得：a3，n﹣a3，1=2+3+…+（n﹣1）==n2+n﹣1， ∴a3，n=n2+n﹣1+3=n2+n+2． 故答案为：n2+n+2． 点评： 本题考查数列的通项，考查矩阵变换的性质，突出累加法求通项的考查，属于难题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设函数 (k∈N*，a∈R)． (1) 若，，求函数的最小值； (2) 若是偶数，求函数的单调区间． 参考答案： 解：（1）因为，，所以，（）， 由得，且当时，，在上是增函数；当时，，在上是减函数．故．（5分） （2）当是偶数时，，． 所以当时，，在上是增函数；（9分） 当时，由得，且当时，，当时，，所以在上是减函数，在上是增函数．（13分） 综上可得当时，的增区间为； 当时，的减区间为，增区间为．（14分） 19. 已知首项都是1的数列满足. （1）令，求数列{cn}的通项公式； （2）若数列{bn}为各项均为正数的等比数列，且，求数列{an}的前n项和Sn.   参考答案： （1）；（2） 试题分析：（1）由题意得，进而可得，由此可推出数列是以首项为1，公差为3的等差数列，进而求出数列的通项公式； （2）设出数列的公比为，由已知得，，从而可得，由于该通项公式为一个等差数列与一个等比数列的乘积的形式，于是可利用错位相减法求出数列的前项和． 试题解析：（1）由题意可得，，两边同除以，得， 又，，又，数列是首项为，公差为的等差数列． ，． （2）设数列的公比为，，， 整理得：，，又，，， …………① …………② ①—②得： ． 20. （本小题满分13分）    已知：数列的前项和为，且满足，． （Ⅰ）求：，的值； （Ⅱ）求：数列的通项公式； （Ⅲ）若数列的前项和为，且满足，求数列的 前项和． 参考答案：                                      解：（Ⅰ）          令 ，解得；令，解得     ……………2分    （Ⅱ）          所以，（）          两式相减得                       ……………4分          所以，（）       ……………5分          又因为          所以数列是首项为，公比为的等比数列  ……………6分          所以，即通项公式 （）   ……………7分          （Ⅲ），所以       所以              ……9分       令    ①            ②         ①－②得                                      ……………11分                ……………12分        所以  ……13分   21. （本题满分12分） 设椭圆C：的离心率，右焦点到直线的距离，O为坐标原点.（1）求椭圆C的方程； （2）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A,B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值。 参考答案： (1) (2)设A，当直线AB的斜率不存在时，，又，解得，即O到直线AB的距离，当直线的斜率存在时，直线AB的方程为y=kx+m,与椭圆联立消去y得，，即，整理得O到直线AB的距离当且仅当OA=OB时取“=”有得,即弦AB的长度的最小值是 22. .设函数(为自然对数的底数)， （1）证明：； （2）当时，比较与的大小，并说明理由； （3）证明：（）． 参考答案： 解：（1）证明：设，所以 当时，，当时，，当时，． 即函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得唯一极小值 因为，所以对任意实数均有 ．即， 所以 -----------------------------4分 （2）解：当时，．用数学归纳法证明如下： ①当时，由（1）知。 ②假设当（）时，对任意均有， 令，， 因为对任意的正实数，， 由归纳假设知，． 即在上为增函数，亦即， 因为，所以．从而对任意，有． 即对任意，有．这就是说，当时，对任意，也有．由①、②知，当时，都有． 证明1：先证对任意正整数，． 由（2）知，当时，对任意正整数，都有．令，得．所以．再证对任意正整数， ． 要证明上式，只需证明对任意正整数，不等式成立． 即要证明对任意正整数，不等式（*）成立……………………10分 以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式 ①当时，成立，所以不等式（*）成立． ②假设当（）时，不等式（*）成立，即．……………11分 则． 因为  所以．………………………………………13分 这说