湖北省荆州市太岳中学高二数学文下学期期末试卷含解析

湖北省荆州市太岳中学高二数学文下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标平面的距离都是2，那么该定点到原点的距离是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】空间中的点的坐标． 【分析】设该定点坐标为（x，y，z），由题设推导出|x|=|y|=z|=2，由此能求出该定点到原点的距离． 【解答】解：设该定点坐标为（x，y，z）， ∵在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标平面的距离都是2， ∴|x|=2，|y|=2，|z|=2， ∴该定点到原点的距离是： =2． 故选：B． 2. 已知log2（x+y）=log2x+log2y，则的最小值是(     ) A．16 B．25 C．36 D．81 参考答案： B 考点：基本不等式；对数的运算性质． 专题：不等式的解法及应用． 分析：根据对数的运算法则得到+=1，然后将进行化简整理为=9x+4y，然后利用基本不等式进行求解． 解答： 解：∵log2（x+y）=log2x+log2y， ∴log2（x+y）=log2（xy）， 即x+y=xy＞0，且x＞0，y＞0， 即=1， 即+=1，则=1﹣，=1﹣， 则=+=+=9x+4y， ∵9x+4y=（9x+4y）（+）=9+4++≥13+2=13+2×6=25， 当且仅当=，即4y2=9x2，即2y=3x时取等号， ∴的最小值是25． 故选：B 点评：本题主要考查函数最值的求解以及对数的运算法则，根据基本不等式是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度． 3. 已知函数，若，则实数的值等于（ ） A. B. C. D. 参考答案： A 试题分析：对函数求导得，所以，故选A． 考点：导数的运算． 4. 设A，B在圆x2+y2=1上运动，且|AB|=，点P在直线3x+4y﹣12=0上运动，则|+|的最小值为（　　） A．3 B．4 C． D． 参考答案： D 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】设AB的中点为D，则由题意， +=+++=2+2=2，当且仅当O，D，P三点共线时，|+|取得最小值，此时OP⊥直线3x+4y﹣12=0，OP⊥AB． 【解答】解：设AB的中点为D，则 由题意， +=+++=2+2=2， ∴当且仅当O，D，P三点共线时，|+|取得最小值，此时OP⊥直线3x+4y﹣12=0，OP⊥AB， ∵圆心到直线的距离为=，OD==， ∴|+|的最小值为2（﹣）=． 故选D． 5. 若实数x，y满足不等式组，则3x+4y的最小值是（　　） A．13 B．15 C．20 D．28 参考答案： A 【考点】简单线性规划． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】我画出满足不等式组的平面区域，求出平面区域中各角点的坐标，然后利用角点法，将各个点的坐标逐一代入目标函数，比较后即可得到3x+4y的最小值． 【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示： 由图可知，当x=3，y=1时 3x+4y取最小值13 故选A 【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解． 6. 在高三下学期初，某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动，已知现有3名教师对4名学生家庭问卷调查，若这3名教师每位至少到一名学生家中问卷调查，又这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查，那么不同的问卷调查方案的种数为（  ） A. 36 B. 72 C. 24 D. 48 参考答案： A 【分析】 分为两步进行求解，即先把四名学生分为1,1,2三组，然后再分别对应3名任课老师，根据分步乘法计数原理求解即可． 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①先把4名学生分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有种分组方法； ②将分好的3组对应3名任课教师，有种情况； 根据分步乘法计数原理可得共有种不同的问卷调查方案． 故选A． 【点睛】解答本题的关键是读懂题意，分清是根据分类求解还是根据分布求解，然后再根据排列、组合数求解，容易出现的错误时在分组时忽视平均分组的问题．考查理解和运用知识解决问题的能力，属于基础题． 7. 已知直线的方程为，则该直线的斜率为（   ） A.               B.              C.2           D.－2 参考答案： A 8. 过点M（－2,4）作圆C：（x－2）2＋（y－1）2＝25的切线l，且直线l1：ax＋3y＋2a＝0与l平行，则l1与l间的距离是 A．          B．            C．    D． 参考答案： D 9. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、…这样的数称为“正方形数”．从如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是（　　） A．16=3+13 B．25=9+16 C．36=10+26 D．49=21+28 参考答案： D 【考点】F1：归纳推理． 【分析】题目中“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21…“正方形数”的规律为1、4、9、16、25…，根据题目已知条件：从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．可得出最后结果． 【解答】解：这些三角形数的规律是1，3，6，10，15，21，28，36，45，55， 且正方形数是这串数中相邻两数之和， 很容易看到：恰有21+28=49． 故选D． 10. 在△ABC中,,且,则内角C的余弦值为(     ) A.1               B.      C.    D. 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若.则的最大值是         . 参考答案： 略 12. 曲线与直线及x轴围成的图形的面积为          ． 参考答案： 由曲线与直线及轴围成的图形的面积为   13. 某田径队有男运动员42人，女运动员30人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为n的样本．若抽到的女运动员有5人，则n的值为　   　． 参考答案： 12 【考点】B3：分层抽样方法． 【分析】根据男女运动员的人数比例确定样本比例为42：30=7：5，然后根据比例进行抽取即可． 【解答】解：田径队有男运动员42人，女运动员30人，所男运动员，女运动员的人数比为：42：30=7：5， 若抽到的女运动员有5人，则抽取的男运动员的人数为7人， 则n的值为7+5=12 故答案为：12． 14. 如果不等式的解集为A，且，那么实数a的取值范围是 ____ 参考答案： 【分析】 将不等式两边分别画出图形，根据图像得到答案. 【详解】不等式的解集为，且 画出图像知： 故答案为： 【点睛】本题考查了不等式的解法，将不等式关系转化为图像是解题的关键. 15. 商场每月售出的某种商品的件数是一个随机变量, 其分布列如右图. 每售出一件可获利 元, 如果销售不出去, 每件每月需要保养费100元. 该商场月初进货9件这种商品, 则销售该商品获利的期望为____. 参考答案： 1500 16. 已知函数在处有极大值，则            ． 参考答案： 6 17. 设P（x0，y0）是椭圆+=1上一动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则?的最大值为　 　． 参考答案： 4 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=8，且|PF1|＞0，|PF2|＞0，由此利用均值定理能求出?的最大值． 【解答】解：∵P（x0，y0）是椭圆+=1上一动点，F1，F2是椭圆的两个焦点， ∴|PF1|+|PF2|=8，且|PF1|＞0，|PF2|＞0， ∴?≤==4， ∴当且仅当|PF1|=|PF2|=4时， ?取最大值4． 故答案为：4． 【点评】本题考查椭圆的定义的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数图像上的点处的切线方程为． （1）若函数在时有极值，求的表达式； （2）函数在区间上单调递增，求实数的取值范围。   参考答案： （1）f′（x）=-3x2+2ax+b，由题意可得 解得  经验证满足条件， ∴f（x）=-x3-2x2+4x-3．     ---------- ----------------------6分       （2）由f′（1）=-3，得2a=-b． ∵函数f（x）在区间[-2，0]上单调递增，∴f′（x）=-3x2-bx+b≥0恒成立， ∴b≥在区间[-2，0]上恒成立． 令g(x)= ，则 ， ∴g（x）在区间[-2，0]上单调递增，得g（x）max=0． ∴b≥0．---------------------------12分         略 19. 已知函数 . （1）当时，求函数的单调区间； （2）函数在(2,4)上是减函数，求实数a的取值范围. 参考答案： (1)减区间为（0，），（1，+∞），增区间为（，1）；(2) 分析：（1）求导得，得到减区间为（0，），（1，+∞），增区间为（，1）； （2），在x∈（2，4）上恒成立，等价于上恒成立，即可求出实数a的取值范围 详解：（1）      函数的定义域为（0，+∞），在区间（0，），（1，+∞）上f ′（x）＜0. 函数为减函数；在区间（，1）上f ′（x）＞0. 函数为增函数. （2）函数在（2，4）上是减函数，则，在x∈（2，4）上恒成立. 实数a的取值范围 点睛：本题考查导数的综合应用。导数的基本应用就是判断函数的单调性，，单调递增，，单调递减。当函数含参时，则一般采取分离参数法，转化为已知函数的最值问题，利用导数求解. 20. 已知全集U=R，集合，集合. (1)求； (2)若集合,且集合A与集合C满足,求实数a的取值范围. 参考答案： （1）（2） 【分析】 (1)先根据指数不等式求出集合，再利用集合的补集和并集运算求解; (2)根据集合的交集运算和子集关系列出不等式组，注意是否取等号. 【详解】 ∵， 【点睛】本题考查集合的交、并、补运算，属于基础题. 21. 已知椭圆的左,右焦点分别为，其中也是抛物线的焦点，是与在第一象限的交点，且 （1）求椭圆的方程； （2）已知点是椭圆上一点，是椭圆上的两个动点，若直线的斜率与的斜率互为相反数，探求直线的斜率是否为定值？如果是，求出定值；反之，请说明理由. 参考答案： 解：（I）设 由抛物线定义，[来源:高&考%资(源#网KS5U.COM]                                                       M点C1上， 舍去. 椭圆C1的方程为                                            （II）设直线的方程为代人椭圆方程得 设 ，可得 ，故 22. 如图，在梯形ABCD中，A