河北省秦皇岛市青龙木头凳中学高三数学文模拟试卷含解析

河北省秦皇岛市青龙木头凳中学高三数学文模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 参考答案： D 2. 已知函数 的图像在点与点处的切线互相垂直并交于一点P,则点P的坐标可能为（  ）    A.        B.   C     D. 参考答案： D 3. 双曲线的渐近线与抛物线相切，则双曲线的离心率为（    ） A．         B．       C.2         D． 参考答案： D 4. 已知，，则（    ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 由辅助角公式将所求的角化为与已知同角，再利用同角间的三角函数关系，即可求解. 【详解】， ， ， . 故选:C. 【点睛】本题考查三角恒等变换、同角间的三角函数关系求值，应用平方关系要注意角的范围判断，属于中档题. 5. 若，，且当时，恒有1，则以为坐标的点所形成的平面区域的面积是 A．     B．      C．1     D． 参考答案： C 略 6. 参考答案： B 7. 三角形ABC中，若2，且b=2，角A=300，则ΔABC的面积为： A．    1            B．         C．2        D．  参考答案： B 略 8. 在一次独立性检验中，得出2×2列联表如下：   且最后发现，两个分类变量X和y没有任何关系，则m的可能值是   A．200             B．720            C．100                D．180 参考答案： B 9. 设,其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（   ） （注:若，则, ）     A..  7539          B.  6038        C. 7028            D. 6587 参考答案： D 10. 执行右面的程序框图，输出的s是( )     (A) -378     (B) 378     (c) -418     (D) 418 参考答案：   D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”．如图所示，“海宝”从圆心O出发，先沿北偏西arcsin方向行走13米至点A处，再沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处，点B、C都在圆O上．则在以圆心O为坐标原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向的直角坐标系中圆O的方程为　　． 参考答案： x2+y2=225 考点： 圆的标准方程． 专题： 直线与圆． 分析： 如图所示：由题意可得sinθ=，OA=13，利用直角三角形中的边角关系求得cos∠AOD、OD、AD 的值，可得BD 的值，再求得 OB2=OD2+BD2 的值，即可得到圆O的方程． 解答： 解：如图所示：设OA与正北方向的夹角为θ，则由题意可得sinθ=，OA=13， ∴cos∠AOD=sinθ=，OD=OA?cos∠AOD=13×=12，AD=OA?sin∠AOD=13×=5， ∴BD=14﹣AD=9，∴OB2=OD2+BD2=144+81=225， 故圆O的方程为 x2+y2=225， 故答案为 x2+y2=225． 点评： 本题主要考查直角三角形中的边角关系，求圆的标准方程，体现了数形结合的数学思想，属于中档题． 　 12. 已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且，则棱锥的体积为____________ 参考答案： 13. 某单位有员工90人，其中女员工有36人，为做某项调查，拟采用分层抽样抽取容量为15的样本，则男员工应选取的人数是　 　． 参考答案： 9 【考点】分层抽样方法． 【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计． 【分析】总体的个数是90人，要抽一个15人的样本，则每个个体被抽到的概率是，用概率去乘以男员工的人数，得到结果 【解答】解：总体的个数是90人，要抽一个15人的样本，则每个个体被抽到的概率是=， 男员工应选取的人数（90﹣36）×=9人， 故答案为：9． 【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是注意在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解题的依据． 14. 设，则数列的各项和为       参考答案： 15. 一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为     km． 参考答案： 30 【考点】解三角形的实际应用． 【专题】计算题． 【分析】先根据船的速度和时间求得AB的长，进而在△AMB中根据正弦定理利用∠MAB=30°，∠AMB=45°，和AB的长度，求得BM． 【解答】解：如图，依题意有 AB=15×4=60， ∠MAB=30°，∠AMB=45°， 在△AMB中， 由正弦定理得=， 解得BM=30（km）， 故答案为30． 【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．常需利用正弦定理或余弦定理，根据已知的边或角求得问题的答案． 16. 已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=　　． 参考答案： 6 【考点】二项式系数的性质． 【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n的值． 【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n 又各项二项式系数的和为2n 据题意得，解得n=6． 故答案：6 17. 已知点A，B，C，D在球O的表面上，且，，若三棱锥A-BCD的体积为，球心O恰好在棱AD上，则这个球的表面积为_______. 参考答案： 16π 【分析】 根据条件可知球心是侧棱中点.利用三棱锥的体积公式，求得设点到平面的距离，又由球的性质，求得，利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】由题意，满足，所以为直角三角形， 根据条件可知球心是侧棱中点. 设点到平面的距离为，则，解得， 又由球的性质，可得球半径为，满足， 所以，所以这个球的表面积. 【点睛】本题主要考查了球的表面积的计算，以及球的组合体的应用，其中解答中正确认识组合体的结构特征，合理利用球的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，∠PCA=90°，E，H分别为AP，AC的中点，AP=4，BE=． （Ⅰ）求证：AC⊥平面BEH； （Ⅱ）求直线PA与平面ABC所成角的正弦值． 参考答案： 考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定． 专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角． 分析：（Ⅰ）证明：BH⊥AC，EH⊥AC，即可证明AC⊥平面BEH； （Ⅱ）取BH得中点G，连接AG，证明∠EAG为PA与平面ABC所成的角，即可求直线PA与平面ABC所成角的正弦值． 解答： （Ⅰ）证明：因为△ABC是边长为2的正三角形， 所以BH⊥AC．… 又因为E，H分别为AP，AC的中点，得EH∥PC， 因为∠PCA=90°， 所以EH⊥AC．… 故AC⊥平面BEH．… （Ⅱ）解：取BH得中点G，连接AG．… 因为EH=BH=BE=，所以EG⊥BH． 又因为AC⊥平面BEH，所以EG⊥AC， 所以EG⊥平面ABC． 所以∠EAG为PA与平面ABC所成的角．… 在直角三角形EAG中，AE=2，EG=， 所以\sin∠EAG==．… 所以PA与平面ABC所成的角的正弦值为． 点评：本题考查线面垂直的判定，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确利用线面垂直的判定定理是关键． 19. 选修4—1：几何证明选讲 在中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆 交于点P，交BC延长线于点D。    （1）求证： ；    （2）若AC=3，求的值。 参考答案： （1）  证明：连结BP，∵四边形ABCP内接于圆， ∴∠PCD=∠BAD 又∠PDC=∠BDA ∴△PCD～△BAD ∴ 又∵AB=AC ∴           （5分） （2）连结BP。∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB   又∵四边形ABCP内接于圆 ∴∠ACB=∠APB 从而∠ABC=∠APB  又∠BAP=∠BAD ∴△PAB～BAD  ∴    ∴ 又∵AB=AC=3  ∴=          （10分）   略 20. （本小题满分16分）设各项均为正数的数列的前n项和为Sn，已知，且对一切都成立． （1）若λ = 1，求数列的通项公式； （2）求λ的值，使数列是等差数列． 参考答案： (1)；(2)． 试题分析：(1)本题已知条件是，我们要从这个式子想办法得出与的简单关系式，变形为，这时我们联想到累乘法求数列通项公式的题型，因此首先由得 ∴当时，．② ② - ①，得， ∴（）．              ………………… 6分   所以λ = 0时，数列是等差数列．                       ………………… 16分 考点：递推公式，累乘法，与的关系，等差数列． 21. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以BC为直径的圆O交   AC于点D，设E为AB的中点．    （1）求证：直线DE为圆O的切线；    （2）设CE交圆O于点F，求证：CD·CA＝CF·CE． 参考答案： 略 22. （本小题12分） 如图，在棱长均为4的三棱柱中，、分别是、的中点 (1)求证:平面； (2) 若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC=60°，求三棱锥的体积. 参考答案： 【知识点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．G4  G1 【答案解析】（1）证明：略；（2）8. 解析：（1）证明：连接DD1，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中， ∵D、D1分别是BC和B1C1的中点．           ∴B1D1∥BD，且B1D1=BD ∴四边形B1BDD1为平行四边形 ∴BB1∥DD1，且BB1=DD1 又因AA1∥BB1，AA1=BB1 所以AA1∥DD1，AA1=DD1 所以四边形AA1D1D为平行四边形，所以A1D1∥AD   又A1D1平面AB1D，AD平面AB1D 故A1D1∥平面AB1D； （2）在△ABC中，棱长均为4，则AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC 因为平面ABC⊥平面B1C1CB，交线为BC，AD?平面ABC 所以AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱锥A﹣B1BC的高 在△ABC中，AB=AC=BC=4得AD=2 在△B1BC中，B1B=BC=4，∠B1BC=60° 所以△B1BC的面积为4 ∴三棱锥B1﹣ABC的体积即为三棱锥A﹣B1BC的体积V=××=8 【思路点拨】（1）欲证A1D1∥平面AB1D，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1D1与平面AB1D内一直线平行，连接DD1，根据中位线定理可知B1D1∥BD，且B1D1=BD，则四边形B1BDD1为平行四边形，同理可证四边形AA1D1D为平行四边形，则A1D1∥AD 又A1D1平面AB1D，AD平面AB1D，满足定理所需条件； （2）根据面面垂直的性质定理可