广东省揭阳市仙庵中学高二数学文上学期期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若函数是偶函数，定义域为R,且时，，则满足的实数m的取值范围是（ ）
A. [0，1) B. (-1，1) C. [0，2) D. (-2，2)
参考答案：
B
【分析】
根据题意，分析得函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，计算得f（1）＝1，则原不等式可以转化为||＜1，解可得m的取值范围，即可得答案．
【详解】根据题意，当x≥0时，f（x）＝，
则函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
且f（1）＝log22＝1，
则?||＜1，
即﹣1＜m＜1，
故选：B
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数f（x）的单调性及特殊值．
2. 一个质点在如图所示的平面直角坐标系中移动，每秒移动一步，第一个四步：第一步，从原点出发向右移动一个单位长度，第二步，向上移动一个单位长度，第三步，向左移动一个单位长度，第四步，向上移动一个单位长度，第二个四步：与前四步方向一致，但移动长度都增加一个单位长度．第三个四步：与前四步方向一致，但移动长度都增加一个单位长度，照此规律，该质点第101秒所在的坐标为（ ）
A．（25，625） B．（25，650） C．（26，625） D．（26，650）
参考答案：
D
【考点】F4：进行简单的合情推理．
【分析】由题意，前四秒质点向上移动了2个单位长度，第五至八秒，质点向上移动了4个单位长度，第三个四步：与前四步方向一致，但移动长度都增加一个单位长度，照此规律，由101=4×25+1，能求出该质点第101秒所在的坐标．
【解答】解：由题意，前四秒质点向上移动了2个单位长度，
第五至八秒，质点向上移动了4个单位长度，
第三个四步：与前四步方向一致，但移动长度都增加一个单位长度，照此规律，
由101=4×25+1，该质点第101秒所在的坐标为：（26，），即（26，650）．
∴该质点第101秒所在的坐标为（26，650）．
故选：D．
【点评】本题考查排列、组合的综合应用，关键是分类讨论“移动4次又回到原点”的可能情况，考查学生分析解决问题的能力，考查函数的性质及应用，是中档题．
3. 函数的一个单调递增区间是（ ）
A、 B、 C、 D、
参考答案：
A
略
4. 若曲线在点处的切线方程是，则（ ）
（A） (B)
(C) (D)
参考答案：
A
略
5. 如图，给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )
A．i≤2021 B．i≤2019 C．i≤2017 D．i≤2015
参考答案：
C
考点：程序框图．
专题：图表型；算法和程序框图．
分析：根据流程图写出每次循环i，S的值，和比较即可确定退出循环的条件，得到答案．
解答： 解：根据流程图，可知
第1次循环：i=2，S=；
第2次循环：i=4，S=；
第3次循环：i=6，S=…
…
第1008次循环：i=2016，S=；
此时，i=2018，设置条件退出循环，输出S的值．
故判断框内可填入i≤2016．
对比选项，
故选：C．
点评：本题主要考察程序框图和算法，属于基础题．
6. 定义为个正数的“均倒数”.若已知正数数列的前项的“均倒数”为,又,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
7. 在△ABC中，若，则与的大小关系为 ( )
A. B.
C. ≥ D. 、的大小关系不能确定
参考答案：
A
略
8. 给出右边的程序，输入时，输出的结果是（ ）
A.2013 B．2015 C．0 D．
参考答案：
B
9. 如果不等式|x－a|<1成立的充分非必要条件是
或a< C．≤a≤ D．a≥或a≤
参考答案：
C
10. 已知定点M（﹣3，0），N（2，0），如果动点P满足|PM|=2|PN|，则点P的轨迹所包围的图形面积等于（ ）
A． B． C． D．9π
参考答案：
A
【考点】轨迹方程．
【分析】设P（x，y），则由|PM|=2|PN|，得（x+3）2+y2=4[（x﹣2）2+y2]，从而求出点P的轨迹所包围的图形是以（，0）为圆心，以为半径的圆，由此能求出点P的轨迹所包围的图形面积．
【解答】解：设P（x，y），则由|PM|=2|PN|，得（x+3）2+y2=4[（x﹣2）2+y2]，
化简得3x2+3y2﹣22x+7=0，
整理，得（x﹣）2+y2=，
点P的轨迹所包围的图形是以（，0）为圆心，以为半径的圆，
∴点P的轨迹所包围的图形的面积S==．
故选：A．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 给出以下4个命题：
①，则是以为周期的周期函数；
②满足不等式组， 的最大值为5；
③定义在R上的函数在区间（1，2）上存在唯一零点的充要条件是；
④已知所在平面内一点（与都不重合）满足，则与的面积之比为3。
其中命题正确的序号是_______
参考答案：
略
12. 设，函数，若对任意的，都有成立，则的取值范围为______________．
参考答案：
略
13. 已知抛物线方程，则它的焦点坐标为_______
参考答案：
(0, )
略
14. 已知取值如下表：从所得的散点图分析，与线性相关，且，则 .
参考答案：
2.6
15. 某人5次上班途中所花的时间（单位:分钟）分别为：x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为 ▲ .
参考答案：
4
略
16. 已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)·(1＋i)＝bi，则|a＋bi|＝________.
参考答案：
1＋2i
由复数相等的定义求得a，b的值，即得复数．
由(a＋i)(1＋i)＝bi可得(a－1)＋(a＋1)i＝bi，因此a－1＝0，a＋1＝b，解得a＝1，b＝2，故a＋bi＝1＋2i.
17. 若空间中两点分别为A(1,0,1)，B(2,1,－1)，则|AB|的值为__________．
参考答案：
，
．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （13分）已知F1为椭圆+=1的左焦点，过F1的直线l与椭圆交于两点P，Q．
（Ⅰ）若直线l的倾斜角为45°，求|PQ|；
（Ⅱ）设直线l的斜率为k（k≠0），点P关于原点的对称点为P′，点Q关于x轴的对称点为Q′，P′Q′所在直线的斜率为k′．若|k′|=2，求k的值．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）直线l的倾斜角为45°，直线l的方程为y=x+1，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式即可求得|PQ|；
（Ⅱ）设直线l：y=k（x+1），代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得丨k′丨=丨丨=丨丨=2，即可求得k的值．
【解答】解：（Ⅰ）椭圆+=1，a=2，b=，c=1，
椭圆的左焦点F1（﹣1，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），
又直线l的倾斜角为45°，
∴直线l的方程为y=x+1，…（1分）
由，整理得：7x2+8x﹣8=0，…（3分）
则x1+x2=﹣，x1?x2=﹣．…（4分）
丨PQ丨=?=?=，
∴|PQ|=；…
（Ⅱ）由，整理得：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，…（6分）
则x1+x2=﹣，x1?x2=，…（8分）
依题意P′（﹣x1，﹣y1），Q′（x2，﹣y2），且y1=k（x1+1），y2=k（x2+1），
∴丨k′丨=丨丨=丨丨，…（10分）
其中丨x1﹣x2丨==，…（11分）
∴丨k′丨=丨丨=2．…（12分）
解得：7k2=9，k=±，
k的值±．．…（13分）
【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及直线的斜率公式的应用，考查计算能力，属于中档题．
19. 已知圆C的圆心在直线上且在第一象限，圆C与相切, 且被直线截得的弦长为.
(1)求圆C的方程;
(2)若是圆C上的点,满足恒成立,求的范围.
参考答案：
(1) 设圆心为
被直线截得的弦长为,
……………①
圆心在直线上且在第一象限
……………②
圆与相切……………③
由①②③解得
(2)由题知, 的最大值.
设
则
20. （本小题满分12分）
某种产品的广告费支出与销售额（单位：百万元）之间有如下对应数据：
2
4
5
6
8
30
40
60
50
70
（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（Ⅱ）预测当广告费支出为9百万元时的销售额.
最小二乘法：,
其中, .
参考答案：
（Ⅰ）（Ⅱ）76百万元
（Ⅰ）设回归直线方程由题意可得，
∵，
∴,
∴线性回归方程为
（Ⅱ）当时，
即预测当广告费支出为9百万元时的销售额为76百万元.
21. 已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为，则点M的轨迹方程是 ．
参考答案：
（x﹣1）2+y2=4
【考点】轨迹方程．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设出M的坐标，直接由M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为列式整理得方程．
【解答】解：设M（x，y），由点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为，得
，整理得：（x+1）2+y2=4．
∴点M的轨迹方程是（x+1）2+y2=4．
故答案为：（x+1）2+y2=4．
【点评】本题考查了轨迹方程的求法，考查了两点间的距离公式，是中低档题．
22. 已知m＝(cosωx＋sinωx，cosωx)，n＝(cosωx－
sinωx,2sinωx)，其中ω>0，设函数f(x)＝m·n，且函数f(x)的周期为π.
(1)求ω的值；
(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a，b，c成等差数列．当f(B)＝1时，判断△ABC的形状．
参考答案：
(1)∵m＝(cosωx＋sinωx，cosωx)，
n＝(cosωx－sinωx,2sinωx)(ω>0)
∴f(x)＝m·n＝cos2ωx－sin2ωx＋2cosωxsinωx
＝cos2ωx＋sin2ωx.
∴f(x)＝2sin(2ωx＋)．
∵函数f(x)的周期为π，∴T＝＝π.∴ω＝1.
(2)在△ABC中，f(B)＝1，∴2sin(2B＋)＝1.
∴sin(2B＋)＝．
又∵0
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