广东省揭阳市仙庵中学高二数学文上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若函数是偶函数,定义域为R,且时,,则满足的实数m的取值范围是( )
A. [0,1) B. (-1,1) C. [0,2) D. (-2,2)
参考答案:
B
【分析】
根据题意,分析得函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,计算得f(1)=1,则原不等式可以转化为||<1,解可得m的取值范围,即可得答案.
【详解】根据题意,当x≥0时,f(x)=,
则函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,
且f(1)=log22=1,
则?||<1,
即﹣1<m<1,
故选:B
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,关键是分析函数f(x)的单调性及特殊值.
2. 一个质点在如图所示的平面直角坐标系中移动,每秒移动一步,第一个四步:第一步,从原点出发向右移动一个单位长度,第二步,向上移动一个单位长度,第三步,向左移动一个单位长度,第四步,向上移动一个单位长度,第二个四步:与前四步方向一致,但移动长度都增加一个单位长度.第三个四步:与前四步方向一致,但移动长度都增加一个单位长度,照此规律,该质点第101秒所在的坐标为( )
A.(25,625) B.(25,650) C.(26,625) D.(26,650)
参考答案:
D
【考点】F4:进行简单的合情推理.
【分析】由题意,前四秒质点向上移动了2个单位长度,第五至八秒,质点向上移动了4个单位长度,第三个四步:与前四步方向一致,但移动长度都增加一个单位长度,照此规律,由101=4×25+1,能求出该质点第101秒所在的坐标.
【解答】解:由题意,前四秒质点向上移动了2个单位长度,
第五至八秒,质点向上移动了4个单位长度,
第三个四步:与前四步方向一致,但移动长度都增加一个单位长度,照此规律,
由101=4×25+1,该质点第101秒所在的坐标为:(26,),即(26,650).
∴该质点第101秒所在的坐标为(26,650).
故选:D.
【点评】本题考查排列、组合的综合应用,关键是分类讨论“移动4次又回到原点”的可能情况,考查学生分析解决问题的能力,考查函数的性质及应用,是中档题.
3. 函数的一个单调递增区间是( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
A
略
4. 若曲线在点处的切线方程是,则( )
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
A
略
5. 如图,给出的是计算的值的程序框图,其中判断框内应填入的是( )
A.i≤2021 B.i≤2019 C.i≤2017 D.i≤2015
参考答案:
C
考点:程序框图.
专题:图表型;算法和程序框图.
分析:根据流程图写出每次循环i,S的值,和比较即可确定退出循环的条件,得到答案.
解答: 解:根据流程图,可知
第1次循环:i=2,S=;
第2次循环:i=4,S=;
第3次循环:i=6,S=…
…
第1008次循环:i=2016,S=;
此时,i=2018,设置条件退出循环,输出S的值.
故判断框内可填入i≤2016.
对比选项,
故选:C.
点评:本题主要考察程序框图和算法,属于基础题.
6. 定义为个正数的“均倒数”.若已知正数数列的前项的“均倒数”为,又,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
7. 在△ABC中,若,则与的大小关系为 ( )
A. B.
C. ≥ D. 、的大小关系不能确定
参考答案:
A
略
8. 给出右边的程序,输入时,输出的结果是( )
A.2013 B.2015 C.0 D.
参考答案:
B
9. 如果不等式|x-a|<1成立的充分非必要条件是
或a< C.≤a≤ D.a≥或a≤
参考答案:
C
10. 已知定点M(﹣3,0),N(2,0),如果动点P满足|PM|=2|PN|,则点P的轨迹所包围的图形面积等于( )
A. B. C. D.9π
参考答案:
A
【考点】轨迹方程.
【分析】设P(x,y),则由|PM|=2|PN|,得(x+3)2+y2=4[(x﹣2)2+y2],从而求出点P的轨迹所包围的图形是以(,0)为圆心,以为半径的圆,由此能求出点P的轨迹所包围的图形面积.
【解答】解:设P(x,y),则由|PM|=2|PN|,得(x+3)2+y2=4[(x﹣2)2+y2],
化简得3x2+3y2﹣22x+7=0,
整理,得(x﹣)2+y2=,
点P的轨迹所包围的图形是以(,0)为圆心,以为半径的圆,
∴点P的轨迹所包围的图形的面积S==.
故选:A.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 给出以下4个命题:
①,则是以为周期的周期函数;
②满足不等式组, 的最大值为5;
③定义在R上的函数在区间(1,2)上存在唯一零点的充要条件是;
④已知所在平面内一点(与都不重合)满足,则与的面积之比为3。
其中命题正确的序号是_______
参考答案:
略
12. 设,函数,若对任意的,都有成立,则的取值范围为______________.
参考答案:
略
13. 已知抛物线方程,则它的焦点坐标为_______
参考答案:
(0, )
略
14. 已知取值如下表:从所得的散点图分析,与线性相关,且,则 .
参考答案:
2.6
15. 某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为:x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则的值为 ▲ .
参考答案:
4
略
16. 已知a,b∈R,i是虚数单位.若(a+i)·(1+i)=bi,则|a+bi|=________.
参考答案:
1+2i
由复数相等的定义求得a,b的值,即得复数.
由(a+i)(1+i)=bi可得(a-1)+(a+1)i=bi,因此a-1=0,a+1=b,解得a=1,b=2,故a+bi=1+2i.
17. 若空间中两点分别为A(1,0,1),B(2,1,-1),则|AB|的值为__________.
参考答案:
,
.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (13分)已知F1为椭圆+=1的左焦点,过F1的直线l与椭圆交于两点P,Q.
(Ⅰ)若直线l的倾斜角为45°,求|PQ|;
(Ⅱ)设直线l的斜率为k(k≠0),点P关于原点的对称点为P′,点Q关于x轴的对称点为Q′,P′Q′所在直线的斜率为k′.若|k′|=2,求k的值.
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(Ⅰ)直线l的倾斜角为45°,直线l的方程为y=x+1,代入椭圆方程,由韦达定理及弦长公式即可求得|PQ|;
(Ⅱ)设直线l:y=k(x+1),代入椭圆方程,利用韦达定理及直线的斜率公式求得丨k′丨=丨丨=丨丨=2,即可求得k的值.
【解答】解:(Ⅰ)椭圆+=1,a=2,b=,c=1,
椭圆的左焦点F1(﹣1,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2),
又直线l的倾斜角为45°,
∴直线l的方程为y=x+1,…(1分)
由,整理得:7x2+8x﹣8=0,…(3分)
则x1+x2=﹣,x1?x2=﹣.…(4分)
丨PQ丨=?=?=,
∴|PQ|=;…
(Ⅱ)由,整理得:(3+4k2)x2+8k2x+4k2﹣12=0,…(6分)
则x1+x2=﹣,x1?x2=,…(8分)
依题意P′(﹣x1,﹣y1),Q′(x2,﹣y2),且y1=k(x1+1),y2=k(x2+1),
∴丨k′丨=丨丨=丨丨,…(10分)
其中丨x1﹣x2丨==,…(11分)
∴丨k′丨=丨丨=2.…(12分)
解得:7k2=9,k=±,
k的值±..…(13分)
【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理,弦长公式及直线的斜率公式的应用,考查计算能力,属于中档题.
19. 已知圆C的圆心在直线上且在第一象限,圆C与相切, 且被直线截得的弦长为.
(1)求圆C的方程;
(2)若是圆C上的点,满足恒成立,求的范围.
参考答案:
(1) 设圆心为
被直线截得的弦长为,
……………①
圆心在直线上且在第一象限
……………②
圆与相切……………③
由①②③解得
(2)由题知, 的最大值.
设
则
20. (本小题满分12分)
某种产品的广告费支出与销售额(单位:百万元)之间有如下对应数据:
2
4
5
6
8
30
40
60
50
70
(Ⅰ)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;
(Ⅱ)预测当广告费支出为9百万元时的销售额.
最小二乘法:,
其中, .
参考答案:
(Ⅰ)(Ⅱ)76百万元
(Ⅰ)设回归直线方程由题意可得,
∵,
∴,
∴线性回归方程为
(Ⅱ)当时,
即预测当广告费支出为9百万元时的销售额为76百万元.
21. 已知动点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比为,则点M的轨迹方程是 .
参考答案:
(x﹣1)2+y2=4
【考点】轨迹方程.
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】设出M的坐标,直接由M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比为列式整理得方程.
【解答】解:设M(x,y),由点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比为,得
,整理得:(x+1)2+y2=4.
∴点M的轨迹方程是(x+1)2+y2=4.
故答案为:(x+1)2+y2=4.
【点评】本题考查了轨迹方程的求法,考查了两点间的距离公式,是中低档题.
22. 已知m=(cosωx+sinωx,cosωx),n=(cosωx-
sinωx,2sinωx),其中ω>0,设函数f(x)=m·n,且函数f(x)的周期为π.
(1)求ω的值;
(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且a,b,c成等差数列.当f(B)=1时,判断△ABC的形状.
参考答案:
(1)∵m=(cosωx+sinωx,cosωx),
n=(cosωx-sinωx,2sinωx)(ω>0)
∴f(x)=m·n=cos2ωx-sin2ωx+2cosωxsinωx
=cos2ωx+sin2ωx.
∴f(x)=2sin(2ωx+).
∵函数f(x)的周期为π,∴T==π.∴ω=1.
(2)在△ABC中,f(B)=1,∴2sin(2B+)=1.
∴sin(2B+)=.
又∵0
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